数列通项公式的求法-高中数学必背公式大全-等比数列公式-高中数学知识点总结

数列通项公式的求法

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数),

这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列,

而这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

如果｛cn｝,cn=an-bn,其中｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，那么这个数列就叫做差比数列.

等差数列

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(1)通项公式:an=ai+(n1)d

(2)通项公式的推广：任意两项

an

的关系为

an

aw+(n-m)d

(3)从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

+%=02+%-d=03+%-2d=・・・=办+%-(k-1)d

,ke｛1,2,...,n｝

(4)若m,n,p,q£N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

(5)若m,n,peN*,H.m+n=2p,则有am+Sn=2ap

(6)等差中项公式：若

a,Atb

成等差数列，则有

a+b

A=~

(7)前n项和公式为：Sn=nai+[n(n1)/2]d或Sn=(ai+an)n/2

等比数列

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(1)等比数列的通项公式是：

%=fljxq"T

若通项公式变形为an=a1/q*qAn(n£N*),Sq>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)

是由线y=a1/q*qAx上的一群孤立的点。

(2)任意两项am,an的关系为

au

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

a1an=a2an1=a3an2=...=akank+1,ke｛l,2,...,n｝

(4)等比中项:aq-ap=arA2,ar则为ap,aq等比中项。

记nn=a1a2…an,则有TT2n1=(an)2n1,n2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个笠差教列；反之，以任一个正数

C为底，用一个等差数列的各项做指数构造凝Can,则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正

项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若m、n、p、qeN*,且m+n=p+q,则am・an=ap・aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项"“Gq=ab(GRO)

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1qAn)/(1q)或Sn=(a1an*q)/(1q)(q#1)Sn=n*a1(q=1)

在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.

注意：上述公式中Aq表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)人存期

差比数列

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定义｛Cn｝,Cn=an-bn,其中佰八｝为等差数列，｛>｝为等比数歹山那么这个数列就叫做差比数列.由差比

数列的定义可知，等差数列即当bn公比为1时差比数列的特殊形式，等比数列即当an公差为0时

差比数列的特殊形式.⑴差比数列的性质，就是由成倍递增的一组数所组成的数列.求和公式，可用错

位相减法⑶推出。

ac-(<?+d(.n-\)]eqdeq^deq

SB=i,(匚力

差比数列公式

对称公式

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对称数列的通项公式：

对称数列总的项数个数:用字母s表示

对称数列中项：用字母C表示

等差对称数列公差：用字母d表示

等比对称数列公比：用字母q表示

设，k=(s+1)/2

相关信息

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一股通项

一般有：

3n=SnSn1(哈2)

累和法(-1=...anlan2=...a2al=…将以上各项相加可得3n

逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)o

化归法(将数列变形，使原数列的倒数或与某同一量数的和成等差或等比数列)。

特别的：

在等差数列中，总有SnS2nSnS3ns2n

2(S2nSn)=(S3nS2n)+Sn

即三者是等差数列，同样在等二匕数列中。三者成等比数列

不动点法(常用于分式的通项递推关系)

特殊常见的

①数列1,234,5,6,7,8……选项为

an=n

②数歹ij1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......通项为an列1

③2,4,6,8,10,12,14…….通项为an=2n

@1,3,5,7,9,11,13,15.....通项为an=2n1

@1,1,1,1,1,1,1,1......通项为an=(1)An

@1,1,1,1,1,1,1,1,1……通项为an=(1)A(n+1)

©1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....通项为an=[(1)A(n+1)+1]/2

@1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0.....通项为an=cos(n1)n/2=sinnn/2

⑨9,99,999,9999,99999,........通项为an=(10An)1

⑩1,11,111,1111,11111.......通项为an=[(10An)1]/9

(11)1,4,9,16,25,36,49,.……通项为an=M2

⑫1,2,4,8,16,32......通项为an=2A(n1)(3】

前N项和

(一)1.等差数列：

通项公式an=a1+(n1)d首项a1,公差d,an第n项数

an=ak+(nk)dak为第k项数

若a,A,b构成等差数列贝ijA=(a+b)/2

2.等差数列前n项和：

设等差数列的前n项和为Sn

即Sn=a1+a2+...+an;

那么Sn=na1+n(n1)d/2

=dM2(即n的2次方)/2+(a1d/2)n

还有以下的求和方法：1,不完全归纳法2累加法3倒序相加法

(二)1.等比数列：

通项公式an=a1*qA(n1)(BPq的n1次方)a1为首项,an为第n项

an=a1*qA(n1),am=a1*qA(m1)

贝ijan/am=qA(nm)

(1)an=am*qA(nm)

(2)a,G,b若构成等比中项，则GA2=ab(a,b,G不等于0)

(3)若m+n=p+q则amxan=apxaq

设a1,a2,a3...an构成等比数列

前n项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a「q+a1*qA2+....a1*qA(n2)+a1*qA(n1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求

前n项和是很难用下面那个公式推导的，这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要

理解)

Sn=a1(1qAn)/(1q)=(a1an*q)/(1q);

注:q不等于1;

Sn=na1注:q=1

求和一般有以下5个方法：1,完全归纳法(即数学归纳法)2累乘法3错位相减法4倒序求和法

5裂项相消法

例1已知数列｛4｝满足。2=%,+3x2”，q=2,求数列｛4｝的通项公式。“

解：­=况+3x2"两访做2'得得哼g则言-学《故物列争晕

以为首项，以《为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得争=1+(1)：,

所以数列｛q｝的通项公式为％=(；〃一!*"。,

评注：本题解题的关键是把递推关系式4-=%0+3心/专协赛,说明数列

｛祭｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出M=1+(〃T)：，由湎求出数列

｛4｝的通项公式。〉

2.

例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列｛4｝满足

q=l,q=。1+物+3。3+…+（〃-1）q-1（〃之2）,求｛4｝的通项公式。~

解：因为冬=々1+2生+3生+…+（〃-①。

所以&_1=q+2a?+3%+…+（力-1）/_1+丹4②+1

用②式一①式得4+1-=也丁一

则3=（力+1）%（〃之2）“

故生』+1（〃22）~

所以4_...%=[H1）...4x3k=—a..（2K

由q=q+2a：+3g+…+（〃-N2）,取〃=2得％=q+%”则％=q,又知