利用导数求极值与最值（精讲）（原卷版）

4.3利用导数求极值与最值（精讲）一．函数的极值1.定义满足条件极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极值与极值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2.求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二．函数的最值1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得．2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．二．根据函数极值求参数1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2.验证：求解后验证根的合理性．注意：对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三．导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤1.求函数f(x)的导数f′(x)；2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值；3.求f(x)在给定区间上的端点值；4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．四．恒成立问题向最值转化的方法1.要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则不等式f(x)<h恒成立；2.要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．考法一利用导数求函数的极值或极值点【例11】（2023春·新疆）函数有（

）A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4C．极小值，极大值3 D．极小值0，极大值4【例12】（2023春·湖北武汉）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有三个极值点 B．为函数的极大值C．有一个极大值 D．为的极小值【一隅三反】1．（2023春·湖南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值02．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）A．在上有增也有减B．有2个极小值点C．D．有1个极大值点3．（2023春·天津武清）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．为的极小值点D．为的极大值点考法二已知极值（点）求参数【例21】（2023春·吉林）已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值0【例22】（2023春·内蒙古）已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值0【例23】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·海南）已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值02．（2023·辽宁）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．3．（2023春·黑龙江）已知函数在处有极大值，则______.考法三利用导数求函数的最值【例3】（2023春·云南）函数在区间上的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．1【一隅三反】1．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．2．（2023春·湖北）已知函数的图象与直线相切.(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值.3．（2023春·重庆永川）设(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值．考法四已知最值求函数的参数【例41】（2023春·吉林长春）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.【例42】（2023春·新疆）已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（

）【例43】（2023·甘肃金昌）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在时取得最值，则图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2023春·山东聊城·高二山东省聊城第三中学校考期中）若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（）A． B． C． D．1考法五极值最值综合运用【例51】（2023春·上海松江）函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：①是函数的极小值点；②是函数的最小值点；③在区间上严格增；④在处切线的斜率小于零.以上所有正确命题的序号是__________.【例52】（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数，为的导函数，则（

）A．的最小值为2 B．在单调递增C．直线与曲线相切 D．直线与曲线相切【例53】（2023春·吉林）已知函数(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性；(3)若，求在区间的最小值.【一隅三反】1．（2023春·北京海淀）已知函数在区间的极小值也是最小