北京市东城区东直门中学2025-2026学年高三上学期学期初限时训练数学试题（答案完整）

北京市东城区东直门中学2025-2026学年高三上学期学期初限时训练数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若（a，，i为虚数单位），则的值为（）A.2 B.1 C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.在中，点是线段上一点，若，，则实数（）A B. C. D.5.2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（）A.与的样本相关系数B.C.表中维修费用的第60百分位数为6.5D.该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元6.已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（）A.65 B.17 C. D.8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知的展开式中共有7项，则（）A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共4项10.已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A.曲线C的轨迹方程为B.曲线C的图象关于y轴对称C.若点曲线C上，则D.曲线C上的点到直线的距离的最大值为1211.已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（）AB.函数的最小值为C.为R上的增函数D.关于x的不等式的解集为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______．13.已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为______．14.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，．则三棱锥的外接球的表面积为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：技艺展示量x（单位：个）212324272932市场消费收入y（单位：万元）61120275777（1）若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数参考数据：，，，线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．16.如图，在长方体中，，点E是棱的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值．17已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若为函数的极值点，求a的值；（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．18.已知非零等差数列前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；（3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．19.已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值；（3）已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围．参考答案1-8.【答案】C【答案】A【答案】D【答案】D【答案】B【答案】A【答案】C【答案】A9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ACD12.【答案】##0.9513.【答案】14.【答案】25π15.【小问1】由题意，则，，，，y关于x的线性回归方程为．【小问2】对于线性回归模型，，，决定系数为，因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好．16.【小问1】证明：连接AC与BD交于点O，连接OE．则O为AC的中点，又点E是棱的中点，所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．【小问2】解法一：以DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，则点，，，，则，，，设平面BDE的法向量为，则得，令，得平面BDE的一个法向量为，设直线与平面BDE所成角的大小为，则，故直线与平面BDE所成角的正弦值是．解法二：（几何法）设直线与平面BDE所成角为，则，其中d为点到平面BDE的距离，即点C到平面BDE的距离．设，过C作于点H，则平面BDE，所以．在中，易求得，又，∴．17.【小问1】的定义域为，，令，得，故函数在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，解得，故实数a的取值范围是．【小问2】令，得；令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．【小问3】由（1）知：当时，函数有最小值，若，则，又因为对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，函数的图象开口向上，对称轴为，当，即时，则在上单调递增，故的最小值为，解得，故；当，即时，则在上单调递减，故的最小值为，解得，故；当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，解得或．故或，综上所述，实数b的取值范围是．18.【小问1】设等差数列的公差为d，因为，由，得，当时，由，得，得，得．所以，所以．【小问2】因为是和的等差中项，所以，又，所以，得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即；令，可知，因为，所以，两式相减得，所以．【小问3】由（2）可得，由于，所以．因为，所以，当时，，综上，成立．19.【小问1】由题意可得，，则直线的斜率，直线的斜率．因为直线，的斜率之积为1，所以，解得．因为点在双曲线上，所以，解得．故双曲线的标准方程为．【小问2】设点G所在圆的圆心为H，则，由双曲线的定义可得，，所以，因为，所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值，又因为的最小值为，所以的最小值是．【小问3】由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为