2024-2025学年广州市番禺区金海岸实验学校九年级（上）期中数学试题含答案

试题试题2024学年第一学期期中检测初三年级数学（问卷）一、选择题（每题3分，共30分）1.在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.3.一元二次方程的根的情况是（）A.方程没有实数根B.方程有两个不相等的实数根C.方程有两个相等的实数根D.方程有一个实数根4.如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段，则（）A. B. C. D.5.若分别是一元二次方程的两个根，则的值是（）．A.6 B. C.5 D.6.关于一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A. B. C.或 D.7.抛物线上有三个点，那么的大小关系是（）A B. C. D.8.把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.9.如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）m．A12 B.10 C.8 D.210.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每题3分，共18分）11.若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________；12.二次函数y＝2（x－3）2－4的对称轴是________．13.往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是，水面宽，则水的最大深度是__________．14.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则点C的坐标是________．15.如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为_________．16.如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______．三、解答题（共72分）17解方程：．18.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面上升，求水面宽度减少多少？19.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．20.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求出，，点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，的直径与弦交于点E，，求的长．22.已知抛物线的关系式为．（1）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；x…0123…y…__________________________________________________…（3）根据图象回答：x取什么值时，函数值．（4）画直线，根据图象回答：x取什么值时，函数值？23.某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示：统计时间累计驶入车辆数辆累计驶出车辆数辆在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系．（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；（2）当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？（3）当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？24.如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段．（1）判断与的数量关系并证明；（2）将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点（不与点，重合）．①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；②若，，直接写出的长．（用含，的式子表示）25.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根．（2）若抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数图象过两点，点在抛物线上．①若，且，求点坐标．②点在直线下方，求四边形的面积的最大值．

2024学年第一学期期中检测初三年级数学（问卷）一、选择题（每题3分，共30分）1.在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意；D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：C．2.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键．【详解】解：，故选：．3.一元二次方程的根的情况是（）A.方程没有实数根B.方程有两个不相等的实数根C.方程有两个相等的实数根D.方程有一个实数根【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程没有实数根，据此即可作答．【详解】解：∵一元二次方程，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．4.如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，∴，，∴是等边三角形，∴，故选：．5.若分别是一元二次方程两个根，则的值是（）．A.6 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵分别是一元二次方程的两个根，∴，∴．故选A．6.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．【详解】解：把代入一元二次方程得：，解得，，∵，∴的值为，故选：．7.抛物线上有三个点，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得二次函数的开口方向以及对称轴，从而得出抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，由此即可出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．【详解】解：，，抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，，，故选：D．8.把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可进行解答．【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握：左加右减，上加下减．9.如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）m．A.12 B.10 C.8 D.2【答案】B【解析】【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【详解】解：把代入得：，解之得：．又，解得．故选：B．10.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误；②函数的对称轴是，开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故②正确；③当时有一根和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，则，故③错误；④抛物线的顶点为，∴方程没有实数根时，∴抛物线顶点在x轴下方，故④正确，所以正确的选项有②④，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共18分）11.若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________；【答案】．【解析】【分析】关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可．【详解】解：点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是（-4，2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．12.二次函数y＝2（x－3）2－4的对称轴是________．【答案】x=3【解析】【分析】根据二次函数的顶点式得到其顶点坐标即可得对称轴；【详解】解：由二次函数y＝2（x－3）2－4可知，其顶点坐标为：（3，-4）；∴对称轴为：x=3；故答案为：x=3．【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式及对称轴，掌握二次函数的相关知识是解题的关键．13.往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是，水面宽，则水的最大深度是__________．【答案】14【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，过点作，交于点，由题意易得，然后根据勾股定理可求，进而问题可求解．【详解】解：连接，过点作，交于点，交圆于，如图所示：，，，∴水的最大深度为．故答案为：14．14.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则点C的坐标是________．【答案】【解析】【分析】过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，可证明，可得，再由点B的坐标是，，可得，即可求解．【详解】解：如图，过点C作轴于点D，过点B作轴于点E，则，∴，根据题意得：，∴，∴，∴，∴，∵点B坐标是，∴，∵，∴，∴点C的坐标为．故答案为：【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，根据题意得到是解题的关键．15.如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】连接，由四边形是边长为的正方形得到，，过点B作轴于D，则，,，得到点B的坐标为，代入解析式即可得到a的值．【详解】如图，连接，∵四边形是边长为的正方形，∴，，过点B作轴于D，∵与x轴正半轴的夹角为，∴，∴,,∴点B的坐标为，∵点B在抛物线的图象上，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了正方形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、待定系数法等知识，求出点B的坐标是解题的关键．16.如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______．【答案】①②③⑤【解析】【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点，将的面积转化为计算即可判断⑤．【详解】解：连接，过点作，垂足为，由旋转得：，，是等边三角形，，，，，，可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；由旋转得：，，是等边三角形，，点与的距离为4；故②正确；是等边三角形，，，，，是直角三角形，，，故③正确；在中，，，故④错误；如图所示，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，则，故结论⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（共72分）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】利用配方法求解一元二次方程即可．【详解】解：或∴，【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．18.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面上升，求水面宽度减少多少？【答案】【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得：点在此抛物线上，则：，解得：，∴，依题意，当，即时，解得：，∴此时水面的宽度为m．∴水面宽度减少了19.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）20%．【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=02=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求出，，点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）、、；（2）或或或或．【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理；（1）对于，当时，，令，则或，即可求解；（2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解．【小问1详解】解：对于，当时，，令，则或，即，，点的坐标分别为：、、；小问2详解】存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，由、、的坐标得，，，，当时，则，则，即点或；当或时，同理可得：或，则或，即点或或；综上，或或或或．21.如图，的直径与弦交于点E，，求的长．【答案】【解析】【分析】如图，过O作，交于点F，连接；由垂径定理可得，再根据题意求得圆的直径，则半径，进而求得；然后根据直角三角形的性质可得,再根据勾股定理可求得，最后结合即可解答．【详解】解：如图，过O作，交于点F，连接，∴F为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，根据勾股定理得：，则．【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键．22.已知抛物线的关系式为．（1）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象；x…0123…y…__________________________________________________…（3）根据图象回答：x取什么值时，函数值．（4）画直线，根据图象回答：x取什么值时，函数值？【答案】（1）对称轴为，顶点坐标为；（2）见详解（3）当或时，函数值（4），函数值【解析】【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可求解；（2）先利用函数解析式求出函数值，然后描点、连线即可作出图象；（3）结合（2）中过程得出抛物线与x轴的交点坐标为，，结合图象即可得出结果．（4）先画出函数，观察两个函数的交点坐标，进行作答即可．本题主要考查一次函数的图象性质，二次函数的基本性质，待定系数法确定函数解析式及数形结合思想，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．【小问1详解】解：，∴抛物线的对称轴为：直线，顶点坐标为；【小问2详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；01233003描点、连线，如图所示：【小问3详解】根据（2）中表格及函数图象得：抛物线与x轴的交点坐标为，，结合图象得：当或时，函数值．【小问4详解】解：依题意，令，则；令，则；即函数经过，如图所示：∴根据图象，函数与二次函数的交点为和，∴函数值时，则．23.某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示：统计时间累计驶入车辆数辆累计驶出车辆数辆在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系．（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；（2）当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？（3）当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？【答案】（1）；；（2）从第4分钟将触发拥堵黄色预警（3）不会触发拥堵红色预警【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用（1）分别设出关于的函数解析式和关于的函数解析式，然后用待定系数法求解析式即可；（2）根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数，列出方程，解方程即可；（3）当，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数列出函数解析式，由函数性质求最大值，再与比较即可．【小问1详解】解：设关于的函数解析式为，把，，代入解析式得：，解得，关于的函数解析式为；设关于的函数解析式为，把，代入解析式得：，解得，关于的函数解析式为