考点07函数的单调性与最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）原卷版

考点07函数的单调性与最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．【知识点】1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．【核心题型】题型一确定函数的单调性确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．命题点1函数单调性的判断【例题1】（2023·浙江·二模）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2024·北京西城·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·陕西西安·二模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．命题点2利用定义证明函数的单调性【例题2】（2023·上海奉贤·一模）函数在定义域上是（

）A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数【变式1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·浙江台州·二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(

)A． B．C． D．【变式3】（2023·山东·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．题型二函数单调性的应用(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．命题点1比较函数值的大小【例题3】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．【变式1】（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，给出如下结论：①是偶函数；②;③是最小正周期为4的周期函数；④．其中正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4命题点2求函数的最值【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，，则（

）A．17 B．18 C．20 D．24【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知点在直线上，若，则下列选项正确的是（

）A．有最大值，最小值4 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，但有最小值4 D．没有最大值也没有最小值【变式2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是.【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)若为正实数，且，求的最小值.命题点3解函数不等式【例题5】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·北京延庆·一模）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·青海·一模）已知函数，则不等式的解集为．命题点4求参数的取值范围【例题6】（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是.【变式1】（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林·二模）已知函数，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．3．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·湖北·模拟预测）已知，，且，则（

）A．， B．C．的最小值为，最大值为4 D．的最小值为126．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．在上单调递增C．的解集为D．若对恒成立，则实数的取值范围为三、填空题7．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数，令则a，b，c的大小关系为.8．（2024·安徽淮北·一模）记不超过的最大整数为.若函数既有最大值也有最小值，则实数的值可以是（写出满足条件的一个的值即可）.四、解答题9．（2023·山东·模拟预测）若函数在上是增函数，且，求的取值范围．10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数．(1)求的最小值；(2)若时，恒成立，求的最小值．11．（2023·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数满足下列条件：①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．(1)求证：对于任意正实数、，；(2)证明：在上是单调减函数；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．12．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数．(1)若a＝0，求函数的最值；(2)若a＝1，函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．综合提升练一、单选题1．（2024·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（

）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递减 D．在单调递减3．（2024·甘肃·一模）已知函数，则（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在R上单调递增D．函数在上单调递增5．（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．6．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川绵阳·三模）设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数，则（

）A．函数在上单调递增B．函数是奇函数C．函数与的图象关于原点对称D．10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A． B．C． D．11．（2024·甘肃陇南·一模）已知，关于x的不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，其中是的导函数，则；的解集为．13．（2024·湖南·二模）已知，若，则实数的取值范围是，14．（2024·辽宁大连·一模）已知函数在区间有2个零点和4个极值点，则a的取值范围是.四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象，并根据图象直接写出函数的最大值；(2)解不等式．16．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知函数有两个极值点，且.(1)求的取值范围；(2)若，证明：17．（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．(1)求的取值范围；(2)求关于的不等式的解集．18．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：；(3)若且，求证：．19．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：（i）当时，在单调递减;（ii）拓展冲刺练一、单选题1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·辽宁丹东·二模）设函数由关系式确定，函数，则（

）A．为增函数 B．为奇函数C．值域为 D．函数没有正零点3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·江苏·一模）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．不等式无解 D．的最大值为6．（2023·河南·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在定义域上是增函数B．的值域为C．D．若，，，则三、填空题7．（2024·河北·模拟预测）若，则的大小关系为（用“<”号连接）．8．（2024·重庆·模拟预测）已知对，，，当时，都有，则实数的取值范围是