2024-2025学年广州市海珠区绿翠现代实验学校九年级（上）期中数学试题含答案

试题试题2024学年第一学期九年级数学科期中综合练习（二）（问卷）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，是中心对称图形是（）A. B.C. D.2.如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B. C. D.3.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（）A25° B.30° C.35° D.40°4.关于的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由的值确定5.如图，是直径，是的弦．若，则的度数是（）A. B. C. D.6.某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）A. B.C. D.7.关于抛物线，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为B.对称轴是直线C.当时，y随x的增大而减小D.开口方向向上8.如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，其中点分别是点的对应点，且点在斜边上，交于点，则旋转角的度数是（）A. B. C. D.9.若直角三角形的两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（）A B. C. D.10.如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）A.2 B.3 C. D.3二、填空题（每小题3分，共18分）11.点关于原点的对称点的坐标是______．12.若x=3是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是_____．13.抛物线的顶点坐标是_____．14.，，三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为______．（用“”或“”连接）15.如图，在中，，将线段绕点旋转得到线段，连接，则的度数为______．16.如图，抛物线与轴交于点，，其中，下列结论正确的是（填序号）______．①②③④不等式的解集为三、解答题（共72分）17.解方程：18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在格点上．（1）画出关于原点中心对称的；（2）画出绕点顺时针旋转后得到．19.如图，为的弦，为直线上两点，，求证：．20.如图，已知抛物线与轴交于两点，交轴于点，对称轴是直线．（1）求抛物线的解析式及点的坐标．（2）直接写出时，的取值范围．21.如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？23.已知关于一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．24.如图，点是外（直线的下方）的一个动点，且（1）若，那么______．（2）连接，若，求证：（3）若点关于直线的对称点为，连接，试探究三者之间满足的数是关系，并证明你的结论．25.已知抛物线与轴交于点（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于点C．（1）如图1，若①求点A、点C的坐标．②若抛物线上有一点，，求点的坐标（2）如图2，经过点的直线交抛物线于两点，连接，分别交y轴于点，求的值．2024学年第一学期九年级数学科期中综合练习（二）（问卷）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，是中心对称图形是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；B、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；C、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；D、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．2.如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】解：抛物线向下平移1个单位，抛物线的解析式为，即．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减．3.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（）A.25° B.30° C.35° D.40°【答案】B【解析】【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故选B．4.关于的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.实数根的个数由的值确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根，故选：．5.如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可．【详解】解：∵，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OA=OB，∴=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，故选C．【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．6.某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据矩形的面积公式结合题意中的面积，可列方程．【详解】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为米，根据题意得，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找准相等关系，列出方程．7.关于抛物线，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为B.对称轴是直线C.当时，y随x的增大而减小D.开口方向向上【答案】C【解析】【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，∴时，y随x的增大而增大．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．8.如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，其中点分别是点的对应点，且点在斜边上，交于点，则旋转角的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，由旋转可得，，，即得，进而求出即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：由旋转可得，，，，∴，∴，∴旋转角等于，故选：．9.若直角三角形的两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，三角形的面积，设是方程的两根，由根和系数的关系得，进而即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：设是方程的两根，由根和系数的关系得，，∴该直角三角形的面积是，故选：．10.如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）A.2 B.3 C. D.3【答案】A【解析】【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可.解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC=2.故选A.点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长.二、填空题（每小题3分，共18分）11.点关于原点的对称点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标都变成相反数解答即可，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是，故答案为：．12.若x=3是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是_____．【答案】2【解析】【分析】根据x=3是已知方程的解，将x=3代入方程即可求出m的值．【详解】解：将x=3代入方程得：9-3m-3=0，解得：m=2．故答案：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13.抛物线的顶点坐标是_____．【答案】【解析】【分析】根据顶点坐标公式求解即可．【详解】∵二次函数中，，∴，∴抛物线的顶点坐标是．故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知抛物线的顶点坐标为：是解答此题的关键．14.，，三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为______．（用“”或“”连接）【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得对称轴为直线，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为直线，∵，∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，∵，∴，故答案为：．15.如图，在中，，将线段绕点旋转得到线段，连接，则的度数为______．【答案】##55度【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由得，，由旋转得，，，即得，，，得到，最后根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，由旋转得，，，∴，，，∴，∴，故答案为：．16.如图，抛物线与轴交于点，，其中，下列结论正确的是（填序号）______．①②③④不等式的解集为【答案】①④【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，由图象可得，，，据此可判断①；当时，，据此可判断②；由抛物线过点，得，进而得，可判断③；设，，则两函数的图象都过点，，画出函数图象，根据图象可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴正半轴相交，∴，，，∴，∴，故①正确；∵当时，，∴，故②错误；∵抛物线过点，∴，∴，∴，故③错误；设，，则两函数的图象都过点，，如图，由图象知，当时，，即不等式的解集为，故④正确；综上，结论正确的是①④，故答案为：①④．三、解答题（共72分）17.解方程：【答案】，【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴或，∴，．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在格点上．（1）画出关于原点中心对称的；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】【分析】（）根据中心对称图形的性质作图即可；（）根据旋转的性质作图即可；本题考查了作中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题的关键．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求．19.如图，为弦，为直线上两点，，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】证明：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴，即．20.如图，已知抛物线与轴交于两点，交轴于点，对称轴是直线．（1）求抛物线的解析式及点的坐标．（2）直接写出时，的取值范围．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，利用对称性可求出点的坐标；（）当时，二次函数图象位于轴的上方，结合函数图象即可求解；本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与轴的交点坐标，二次函数与不等式，掌握以上知识点是解题的关键．【小问1详解】解：由题意得，，解得，∴抛物线的解析式为，∵两点关于对称轴对称，∴；【小问2详解】解：当时，二次函数图象位于轴的上方，由图象可得，的取值范围为或．21.如图，在中，，将绕着点B顺时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再根据旋转的性质可得，然后根据等腰三角形的性质求解即可得；（2）先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】解：∵在中，，，，∵将绕着点顺时针旋转得到，，．【小问2详解】解：∵在中，，，，∵将绕着点顺时针旋转得到，，，在中，．【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．22.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？【答案】（1）10%；（2）每件商品应降价2.5元；（3）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可；（3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，根据题意得到函数解析式，即可得到最大值．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4，解得x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；（3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，由题意得，W＝（40﹣30﹣y）（4×+48）＝﹣8y2+32y+480＝﹣8（y﹣2）2+512，故每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．23.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；（）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解；本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键．【小问1详解】证明：∵，∴该方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵，∴，∴或，∴，，∵，∴，∵该方程的两个实数根的差为，∴，解得．24.如图，点是外（直线下方）的一个动点，且（1）若，那么______．（2）连接，若，求证：（3）若点关于直线的对称点为，连接，试探究三者之间满足的数是关系，并证明你的结论．【答案】（1）（2）证明见解析（3），证明见解析【解析】【分析】（）由可得，，进而利用勾股定理即可求解；（）作，交延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可求证；（）过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，由轴对称可得，，，即得，得到是等腰直角三角形，即可得，，进而得，再证明