2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-高考解答题专项三　数列中的综合问题

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI数列中的综合问题高考解答题专项三2026考情分析数列是高考考查的重点内容,在近几年的高考试卷中,数列解答题的命题趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,以考查数列的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.考点一数列中的结构不良试题例1.(2024河南郑州一模)设n∈N*,有三个条件:①an是2与Sn的等差中项;②a1=2,Sn+1=a1(Sn+1);③Sn=2n+1-2.在这三个条件中任选一个,补充在下列问题的横线上,再作答.若数列{an}的前n项和为Sn,且

.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)若{anbn}是以2为首项,4为公差的等差数列,求数列{bn}的前n项和Tn.解

(1)选条件①时,由于an是2与Sn的等差中项,所以2an=2+Sn,①当n=1时,解得a1=2;当n≥2时,2an-1=2+Sn-1,②①-②得,2an-2an-1=an,整理得an=2an-1,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2×2n-1=2n(首项符合通项),所以an=2n;选条件②时,由于a1=2,Sn+1=a1(Sn+1),所以Sn+1=2Sn+2,①当n≥2时,Sn=2Sn-1+2,②①-②得,an+1=2an,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2×2n-1=2n(首项符合通项),所以an=2n;选条件③时,因为Sn=2n+1-2,所以当n=1时,a1=S1=22-2=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,因为n=1时也满足an=2n,所以an=2n.(2)因为{anbn}是以2为首项,4为公差的等差数列,方法点拨解决结构不良试题的基本策略

对点训练1在①Sn+1=2Sn+1,②a2=2,③Sn=an+1-1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足

,

,又知等差数列{bn}为递增数列,且满足b1=2,b1,b2,b5成等比数列.

(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.解

方案一:选择条件①②.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1.又a2=2,∴a1=1.当n≥2时,由Sn+1=2Sn+1,可得Sn=2Sn-1+1,两式相减,可得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d.∵b1,b2,b5成等比数列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,则Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1方案二:选择条件①③.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1,将n=1代入Sn=an+1-1,可得a1=a2-1,此时选择条件①③并不能计算出a1或a2的值,无法计算出数列{an}的通项公式,故方案二不成立.方案三:选择条件②③.(1)由题意,当n=1时,a1=S1=a2-1=2-1=1.当n≥2时,由Sn=an+1-1,可得Sn-1=an-1,两式相减得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d∵b1,b2,b5成等比数列,∴

=b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,则Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1考点二通项与求和问题例2.(2024河北保定二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且

名师点析解决数列中奇偶项问题的方法(1)求奇偶分列的数列的通项公式时,首先要确定奇数项和偶数项的首项,其次要重点确定好通项公式中的项数n与an所在奇数项、偶数项中的项数之间的关系.一般地,当n为奇数时,an在奇数项组成的数列中为第

项;当n为偶数时,an在偶数项组成的数列中为第

项.(2)求奇偶分列的数列的前n项和时,可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,然后相加,也可以采用整体思想,把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k;还可以寻求奇数项和与偶数项和的关系,转化为求奇数项(或偶数项)和的问题.考点三数列中的综合问题考向1.数列与不等式的综合

所以Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①所以2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,②①-②得,-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1,所以λTn≤(n2+9)·2n,即λn·2n+1≤(n2+9)·2n,名师点析数列与不等式综合问题的求解策略(1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性或借助数列对应函数的单调性比较大小.(2)解决数列中不等式恒成立问题时,仍可采用分离参数求最值的方法,但要注意变量n的取值为正整数.对点训练3(2024山东青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+2.(1)求数列{an}的通项公式;考向2.数列与函数、不等式的综合例4.在各项均为正数的数列{an}中,a1=1,证明

(1)先证明ln(x+1)<x对x∈(0,+∞)恒成立.所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,f(x)<ln(0+1)-0=0,所以当x∈(0,+∞)时,ln(x+1)<x.名师点析数列与函数、不等式的综合问题数列与函数、不等式的综合问题,多以不等式的证明、求最值等问题的形式呈现,解决方法:(1)通过放缩,结合裂项相消求和法进行证明;(2)构造函数,借助导数研究其单调性,再通过变量替换进行证明.所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,又2Tn=1·22+2·23+3