2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-课时规范练18　利用导数证明不等式

课时规范练18利用导数证明不等式1.已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+322.已知函数f(x)=(x-1)ex,g(x)=ax2+xlnx-12(1)判断是否存在实数a,使得g(x)在x=1处取得极值?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由;(2)若a≤12,当x≥1时,求证:f(x)≥g(x)3.(2024广西模拟)设函数f(x)=lnx+ax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=6x-3.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)>-25x-4.已知函数f(x)=(x+1)lnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:ln21+ln76+…+ln(n2-2)

课时规范练18利用导数证明不等式1.(1)解f'(x)=aex-1,x∈R.①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln1a=-lna随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表:x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间是(-lna,+∞),单调递减区间是(-∞,-lna).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-lna,+∞),单调递减区间是(-∞,-lna).(2)证明当a>0时,要证f(x)>2lna+32恒成立,即证f(x)min>2lna+32当a>0时,由(1)知,f(x)的极小值同时也是最小值,是f(-lna),下面证明f(-lna)>2lna+3f(-lna)=a(e-lna+a)-(-lna)=1+a2+lna.令g(a)=f(-lna)-2lna-32=a2-lna-12,a∈(0,+∞),则g'(a)=2a-令g'(a)=0,得a=2随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表:a0,22222,+∞g'(a)-0+g(a)↘极小值↗所以在a=22时,g(a)取最小值g(a)min=g22=12-ln22-12=-ln12=ln2>ln因此f(-lna)>2lna+32成立因此当a>0时,f(x)>2lna+32.(1)解假设存在这样的实数a,则有g'(1)=2a+1=0,解得a=-1当a=-12时,g(x)=-x22+xlnx-12,则g'(x)=-x+ln令t(x)=-x+lnx+1,x>0,则t'(x)=-1+1令t'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,t'(x)>0;当x>1时,t'(x)<0,所以t(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以t(x)max=t(1)=0,即g'(x)≤0,所以函数g(x)在区间(0,+∞)上为减函数,因此不存在这样的实数a.(2)证明因为x2≥0,a≤12,所以ax2≤1要证f(x)≥g(x),即证(x-1)ex≥12x2+xlnx-即证(x-1)ex-12x2-xlnx+12令m(x)=(x-1)ex-12x2-xlnx+12,x≥1,则m'(x)=xex-x-lnx-1=ex+lnx-(x+lnx)-令t=x+lnx,t∈[1,+∞),h(t)=et-t-1,则h'(t)=et-1.因为当t≥1,h'(t)>0,所以函数h(t)在区间[1,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(1)=e-2>0,所以m'(x)>0,从而得函数m(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以m(x)min=m(1)=0,所以m(x)≥0,即f(x)≥g(x)得证.3.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+a,将x=1代入y=6x-3,解得y=3,即f(1)=3,由切线方程y=6x-3,可知切线斜率f'(1)=6,故a+b=3,1+a=6,解得a=5,b=-2(2)证明由(1)知f(x)=lnx+5x-2,要证f(x)>-25x-1,即证lnx+5x-1+25设g(x)=lnx+5x-1+25x,则g'(x)=令g'(x)=0,解得x=15或x=-25(当x∈0,15时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈15,+∞时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g15=2-ln5>0,所以g(x)>0,即f(x)>-25x-14.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+x+1x,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=2,又因为f(1)=0,所以该切线方程为y=2(x-(2)证明设F(x)=(x+1)lnx-2x+2(x>1),则F'(x)=lnx+1x-1令g(x)=F'(x),x>1,则g'(x)=1x-1x2=x-1x2,所以g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,又因为g(1)=0,所以g(x)=F'(x)>0,即F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以F(x)>F(1)=0,故当x>1时,(x+1)lnx>2(