专题2.3用公式法与因式分解法求解一元二次方程2025~2026学年九年级数学上册（北师大版）

3．直通中考（选择题3题，填空题3题，解答题2题）若b2-4ac≥0，2-4ac≥0时，【变式】(1)x22-4ac=0，原方程有两个相等的实数根情况是()6．已知关于x的—元二次方程x2-px-6-p=0．(2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．7．已知关于x的一元二次方程x2+4x+k-2=0有两个不相等的实数根．8．已知关于x的一元二次方程(a-b)x2+(c-a)xb，c互不相等，则下列结论一定成立的是()(1)x2-4x-5=0；14．利用换元法解方程(x2-x)2+7(x2-x)-(1)2x4-3x2-2=0；x2-x)2-5(x2-x)+4=0．17．一元二次方程x2-1=0的根为()A．-1B．1C．1或-1D．018．用公式法解方程x2-3x+1=0时，计算b2-4ac的值为()A．-5B．5C．-10D．1019．关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是()20．若关于x的一元二次方程2x2-x-m=0无实数根，则m2A．x2-bx+10=0B．x2-bx-10=0C．x2+bx-5=0D．x2-bx-5=022．关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有实数根，则m的取值范围是()24．方程x2-5x-1=2的根的判别式的26．从-4，-2，2，3，4这五个数中随机选择一个数，能成为方程x2-2x-8=0的解的概28．已知a、b、c是△ABC的三边长，那么关于x的方程x2-(a-b)x+c2=0的根的情况(1)x4-3x2-4=0．x2-2)2-11(x2-2)+18=0．31．已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0．(2)若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．33．利用公式法解得一元二次方程3x2-11x-1=0的两个根为a,b，且a>b，则a的值为()34．已知m为实数，关于x的两个方程x2+mx-3=0，x2+x-3m=0公共的实数根的个数为()35．已知x是实数，且满足(x2+4x)2+3(x2+4xA．3B．3或-6C．-3或6D．-6上可以表示为()37．若Rt△ABC的两边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为()(1)2x2-4x-1=0（公式法）(2)3(x-2)2=x2-4（因式分解法）(1)若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法3．直通中考（选择题3题，填空题3题，解答题2题）49．下列方程中，有两个不相等的实数根的是()2A．-4B．-1C．1D．451．关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是()53．不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=056．若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围571）解一元二次方程：x2-4x+3=0；58．已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围．所以x1=-7，x2=2．【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式．2（2）解：x2-x+1=0，:原方程无实数根，根据根的判别式，再分类讨论即可判断得解．解题时要熟练掌握【详解】解：Δ=b2-4a(-a-b)222，:原方程没有实数根．（1）把x=0代入一元二次方程得到-6-p=0，然后解一次方程即可；（2）先计算根的判别式的值得到Δ=(-p)2-4×(-6-p)，则利用非负【详解】（1）解：把x=0代入方程x2-px-6-p=0得-6-p=0，解得p=-6，即p的值为-6；（2）证明：QΔ=(-p)2-4×(-6-p)2:无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．解得k<6；:实数k的取值范围是k<6；（2）解：:k为正整数，且方程的根均为整数，:6-k是平方数【详解】解：:关于x的一元二次方程(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0有两个相等的实数根，:Δ=(c-a)2-4(b-c)(a-b)=0，且a-b≠0，:a2+4b2+c2-4ab+2ac-4bc=0，2-4ac，当方程有两个不相等的实数根时，2【详解】解：x2-3x-28=0【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法．（2）方程运用因式分解法求解即可．3x(x-1)-2(x-1)=0，（2）解：2x2-7x+3=0，2x-1=0,x-3=0【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设x2-x=t，于是原方程化为t2:x2-x-2=0，当t=-9时，x2-x=-9，:x2-x+9=0，2可根据方程特点设y=x2-2x，则原方程可化为y2-y-6=0，解一元二次方程求y，再求x．【详解】设y=x2-2x，则原方程化为y-=1:y2-y-6=0，当y1=-2时，x2-2x=-2，该方程无解，当y2=3时，x2-2x=3．当x2=-1时，原方程左边右边，:原方程的根是x1=3，x2=-1．2【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（2）设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．当y=-时，x2=-，此时方程无解，:原方程的解是x1=，x2=-．:y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，:原方程的解是【详解】解：:x2-3x+1=0，【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．:方程有两个不相等的实数根，选项中只有-满足，【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关2-4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有实数根，解得：且m≠0，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把x2看做一个整体，把方程左边因式分解得到x2:(x2∵x2:x2-2=0，【详解】解：∵x2-5x-1=2:x2-5x-3=025．2【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可．故答案为：2．【详解】解：x2-2x-8=0，即-2和4是方程x2-2x-8=0的解，:从-4，-2，2，3，4这五个数中随机选择一个数，能成为方程x2-2x-8=0的解的概率27．1或2第三象限的条件，直线y=-3x-a不经过第三象限，则-a=0或-a>0，分这两种情形判断【详解】解：∵直线y=-3x-a不经过第三象限，:-a=0或-a>0，:a=0或a<0,当a=0时，原方程为-3x+1=0,是一元一次方程，故有一个实数根；:Δ=(-3)2-4a=9-4a,:-4a>0,:9-4a>0,:Δ>0,:方程有两个不相等的实数根，关于x的方程:关于x的方程x2-(a-b)x+c2=0无实数根，【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2-4ac=(-4)2-4´1´1=12>0，:方程有两个不相等的实数根，（2）解：x2-5x+6=0，因式分解，得(x-2)(x-3)22则原方程可化为y2-3y-4=0，解得y1=4，y2当y=4时，x2=4当y=-1时，x2=-1，此方程无解．:x2=4，:x=±2；:x=±.(2)k=-1，方程的另一个根为-1的定义和方程求解（或韦达定理）得出k和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（1）根的判别式应用：通过计算得：Δ=k2+8，利用平或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”2:不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．即方程的另一个根为-1．【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程ax22-4ac≥0Û方程有两实根，b2-4ac>0Û方程有两不等实根，b2-4ac=0Û方程有两相等实根，b2-4ac<0Û方程没有实根．:b2-4ac=-4×1×(k:Δ≥0，:方程总有两个实数根．:3-k>0，:k<3．【详解】解：Q3x2-11x-1=0，Q一元二次方程3x2-11x-1=0的两个根为a,b，且a>b，:a的值为，【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，:方程有两个不相等的实数根，综上，两个方程有3个公共根．【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设y2-42-4:y2+3y-18=0，:x2+4x=3，解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨【详解】解：解方程x2-10x+24=0，2中有n2个正方形，4n个小黑点，进而根据第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，建【详解】解：根据图形的变化可得：第n个图形中有n2个正方形，4n个小黑点，依题意，n2-4n=52:b2=4a2，叫做同类二次根式，求出x,y的值，再根据二次函数的性质，进行化简即可．【详解】解：Q3x2-7x+m=0的根的判别式的值是6，:Δ=b2-4ac=6，:方程有两个不相等的实数根， 243．1或7【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点C作CD丄AB于点D，由题意可设BD=CD=x，则有AD=4-x，然后根据勾股定理可得x2+(4-x)2=52， 7 7【详解】解：如图，过点C作CD丄AB于点D，:BD=CD，则AD=AB-BD=4-x，在Rt△ACD中，由CD2+AD2=AC2可得x2+(4-x)2=52，:BC的长度为1或7，【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件、根与系数的关系、提公因根据分母不为零以及根与系数的关系进行分析计算即可．:16k2-12k<0，≠4k-3，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．:2x+1=0或3x-2=0，23【分析】本题考查了解一元二次方程．（2）3(x-2)2=x2-4因式分解得3(x-2)2=(x+2)(x-2)移项得3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0，:2b+c=-4a，:ac=b-1，:方程有两个实数根．（1）由求根公式得到与根对应相等得到