专题2.5应用一元二次方程2025~2026学年九年级数学上册（北师大版）

2；毒，那每轮传染中平均一个人传染了6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均染了x个人，则下列结论不正确的是()下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了()A．a%B．1-2a%C．(1+a%)a%D．(1-2a%)a%靠墙问题盒子折叠问题AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部14．如图，取一张长与宽之比为2:1的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为20cm方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm3（纸板一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与BC=28cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一向点B以2cm/s的速度移动，同时点N从点B出发沿一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当△MBN的面积为45cm2时，运动时间为A．2s则这个两位数是()21．若一个数的平方与45的差等于这个数的4倍，则这个数为．设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为()产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了2设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．28．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l=t2+t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为2每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚31．淇淇同学在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值是()多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为()33．关于x的分式方程有增根x=-1，则k的值为()A．2B．-2C．1D．-1计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为()C．80(1-x)2=50D．50(1+x)+50(1+x)2=80面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是()36．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160A．每顶帐篷单价为x元B．降价后平均每天可出售(200-x)顶长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种42．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC-CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB-BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ=2S△BPQ时，BP(1)用含x的代数式表示BC的长．(2)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明44．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调()人46．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为2.5万充电桩总数达到3.6万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个()A．4.32B．4.25C．4.15D．4.08（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为()A．2cmB．3cmC．4cmD．21cm24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为()49．九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出301元，则每天可多卖出5件，如果降价x元，每天盈利800元，那么可列方程为()A．(60-x-40)(30-5x)=800B．(60-x)(30+5x)=800C．(60-x)(30-5x)=800D．(60-x-40)(30+5x)=800在边BC上以2cm/s的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿B－A－D－C的路径匀图2所示．则下列说法正确的是()②△BMN的面积的最大面积为24cm2；52．如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，已知前k行共有210个点，则k的值为．元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，售利润为5600元，每件文化衫应定价．56．三角形的两边长分别是3和5，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的面积57．学校购买一批奖品．已知A种奖品的单价比B种奖品单价便宜9奖品的数量和用272元购买B种奖品的数量总共是32个．(2)该校计划购买A、B两种奖品共80个，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，58．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．59．某电器商场从厂家购进了A，B两种型号(2)在销售过程中，A型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停B型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出5台，在此基础上，售价每降低100元将多售出1台，如果每天该商场销售B型洗衣机的利润为54 与时间t的函数图象如图1所示，可以发现在0≤t≤t0．这段时间内路程s的数值等于图中 阴影部分的面积（即v轴、t轴、直线t=t0及直线v=v0围成的矩形的面积）的数值，同理， 的速度v与时间t的函数图象，点A(0,2)，B(3,6)．(2)求出发后，甲、乙速度相等的时间t；(3)求出发后，甲、乙相遇的时间t．一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为()阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为A．x(60-x)=864B．x(x-60)=86463．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程()A．x(24-2x)=40B．x(24-x)=40C．2x(24-2x)=40D．2x(24-x)=40面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是()硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为cm．等于四边形ABCD面积的2倍，则．70．如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四去分母得，(x-1)2-4x2=3x(x-1)，整理得，6x2-x-1=0，经检验，x1=，x2=-是原方程的解，去分母得：x-10+x2-4=3(x-2)，去括号得：x-10+x2-4=3x-6，整理得x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2，检验，当x=4时，(x+2)(x-2)≠0；当x=-2时，(x+2)(x-2)=0，∴x=4是原方程的解，x=-2不是原方程的解．3．x=-1【分析】本题考查的知识点是分式方程的解法，解题的关键是熟练的掌握分式方程的解法.根据分式方程的解法步骤即可得到答案.去分母的得：x-2+4=(x+2)2去括号并合并同类项得：x2+3x+2=0解得：x1=-2,x2=-1经检验，当x=-2时，(x+2)(x-2)=0，当x=-1时，(x+2)(x-2)≠0∴方程的解为：x=-1【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：(1+故1+x=±12，144×(1+11-5)2=7056（人【分析】本题考查了一元二次方程的应用传播问题．②根据每轮传染中平均一个人传染了12个人，则三轮传染后共有(12+1)3=2197人被传染2197．根据题意可得：(x+1)2=169，解得：x1=12，x2=-14(舍去)，答：经过三轮传染后，一共可以传染的人数为2197人．本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有121人感染第二轮传染后增加了x(1+x)个人患了流感，第二轮传染后共有x+1+x(1+x)个人患了流解得：x=10，或x=-12（舍去）（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为解得不合题意舍去所以，这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；解得：a≤0.1，设2022年到2024年该地区人均收入的年平均增长率为x，则2023年的人均收入为30000(1+x)元，2024年的人均收入为30000(1+x)2元，再由2024年的人均收入为36300元【详解】解：设2022年到2024年该地区人均收入的年平根据题意，得30000(1+x)2=36300，故答案为：39930．设参赛球队有x个，由题意列出方程解方程并检验即可．【详解】解：设参赛球队有x个，由题意得整理得x2-x-42=0，），答：参赛球队有7个．【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可．【详解】设有n名同学参加聚会．每人与其他n-1人各握手一次，但每两次握手会被重复计n2-n-90=0解得n1=10,n2=-9（舍去）而每个队都比赛了(x-1)场，所有队共比赛x(x-1)场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即:每个队都比赛了(x-1)场，:所有队共比赛x(x-1)场，QA队与B队比赛和B队与A队比赛是同一场，:每两个队的比赛都被重复计算了一次，:总比赛场数是场，:x=6，【分析】用平移法，计算阴影的长为(52-2x)米，(28-2x)米，利用矩形的面积公式列方程本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：(52-2x)(28-2x)=880，整理得：x2-40x+144=0，关键．根据题意用x表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解．【详解】解：Q包装盒的容积为12000cm3，矩形纸板的长为xcm，:根据题意可得行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为(32-2x+1)，而仓库的面积为130m2，由此即可列出方程【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，2x2-33x+130=0，(x-10)(2x-13)=0，当x1(2)7s(3)经过5秒或9秒，PQ的长为10（2）四边形PQBA为矩形，根据AP=BQ，列方程求解即可；在Rt△PEQ中，根据勾股定理PQ2=PE2+QE2，则可得方程102=62+(28-4t)2，即100=36+(28-4t)2，移项可得(28-4t)2=100-36=64，两边同时开平方得28-4t=±8；当28-4t=8时，移项可得-4t=8-28=-20，解得t=5；当28-4t=-8时，移项可得-4t=-8-28=-36，解得t=9；所以，经过5秒或9秒，PQ的长为10cm．当运动时间为ts(0≤t≤4)时，BN=3tcm，BM=(16-2t)cm，根据△MBN的面积为45cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一当运动时间为ts(0≤t≤4)时，AM=2tcm，BN=3tcm，BM=(16-2t)cm，:点M，N的运动时间为3s．CQ的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则CP=2xcCQ=(25-x)cm，根据图形知QP=25cm，则CP=2xcm，CQ=(25-x)cm，由题意，得(2x)2+(25-x)2=252，整理得：x2-10x=0，解得：x1=10，x2=0(不合题意，舍去)，【分析】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数=10×等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和+1=这个两位数，把相关数值代入求【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x-2，依题意得：x2+(x-2)2+1=10(x-2)+x，整理得：2x2-15x+25=0，解得：，x-2=3，:这个两位数为35．【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为(x+1)，依题意得：整理得：4x2-7x-2=0，:(4x+1)(x-2)=0解得：，x2=2，:x=2，:x+1=3，:这个两位数是23，21．-5或9【详解】解：设这个数为x，根据题意可得：x2-45=4x，x2-4x-45=0解得：x1=-5，x2=9，故答案为：-5或9（1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为(100-x)元，根据题意列分解得x=40，:100-x=60元，【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销根据利润=单台利润×销售数量，设定价为x元，单台利润每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为x元时，降价(2900-x)元，相当于降价 【详解】解：设定价为x元，则单台利润为(x-2500)元．售价降低(2900-x)元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为【分析】设该产品的质量档次为x，每件利润为：6+2(x-1)，一天的产量为：95-5(x-1)，则每件利润为：6+2(x-1)，一天的产量为：95-5(x-1)，由题意得：[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120决的问题，选择第二个相等关系作为列方程【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需整理得：x2+2x-48=0解方程得：x1=6,x2=-8（舍去）整理可得：x2-20x-22400=0，224-160=64（米解得x=40，【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时解得：x=4，答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时；（2）根据题意得：(4+8a)(解得：不符合题意，舍去答：a的值为．(2)它们运动了10秒答：甲运动4s后的路程是14cm；整理得，t2+11t-210=0，:(t-10)(t+21)=0，(2)小球滚动5m约用了1.2秒答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s．（2）解：设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5-1.25x，整理得：x2-8x+8=0，解得：x=4-2或x=4+2，答：小球滚动5m约用了1.2秒．根据题意，建立方程a2-2a=1，解方程，即可求解．【详解】解：根据题意，得：a2-2a=1，即a2-2a-1=0，:1-<0， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他(x-1)名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是x(x-1)张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．【详解】解：原方程两边同乘以公分母(x+1)(x-1)，得：k+(x+1)(x-1)=(x-1).展开并整理：k+x2-1=x-1,两边化简得：x2-x+k=0.∵原方程的增根为x=-1:(-1)2-(-1)+k=0,解得：k=-2，【详解】解：设年平均增长率为x，则2024年用户数为50(1+x)，2025年用户数为【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出200-x及60+×4的:所列方程中200-x表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量，:x表示每顶帐篷单价降低的钱数．【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是x，则十位数字是5-x，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所【详解】解：设原数的个位数字是x，则十位数字是5-x．根据题意得：10(5-x)+x10x+(5-x)=736，解得：x=2或x=3，则5-x=3或5-x=2．设这个输入的数为x，根据题意可得x2-3x+4=x，整理成一般式后利用因式分解法求解可根据题意可得x2-3x+4=x，即x2-4x+4=0，(x-2)2=0，解得：x1==x2【分析】本题考查了一元二次方程的应用．除自己以外的(x-1)个球队进行(x-1)次比赛，所以x个球队进行单循环形式共需要进行整理得：x2-60x+59=0，答：所修道路的宽为1m．故答案为：1【详解】解：设每个台灯的售价为x元，解得x1=36，x2=37，:x=37，答：每个台灯的售价为37元．故答案为：37．【详解】解：如图所示，当0<t≤2时，点Q在线段EB上，P在BC上，依题意，EQ=t，QB=2-t，则AQ=2+t；BP=2t，QS=2S△APQ△BPQ，:AQ=2BQ，:2+t=2(2-t)，如图所示，当2<t≤4时，点Q在线段BC上，P在CD上，QS正方形-(S△ADP+S△ABQ+S△PCQ)=2S△BPQ，:4×4-×4×(8-2t)+×(2t-4)(6-t)+×4×(t-2)=2××(t-2)×(2t-4)综上所述或(2)能；15【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程．:BC=(60-3x)米；x(60-3x)=225，解得：x1=15，x2=5，当x=5时，BC=60-5×3=45>40，:x=5不符合题意舍去；则30(1+x)2=36.3，直接开平方求解即可得到答案；（2）设下调后每辆汽车降低a万元，由等量关系列方程求解即可得到答案．则30(1+x)2=36.3，则x+1=1.1或x+1=-1.1，则(25-a-12)(8+2a)=144，:(a-5)(a-4)=0，:a应取5，:25-a=25-5=20（万元设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意建立方程求解．第二轮传染时，每人传染x人，新增x(x+1)人，总人数为：1+x+x(x+1)=(x+1)2，根据题意，有：(x+1)2=81，关键；设每年的增长率为r，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从2.5万增长到3.6万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025率为r，关键．设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是130cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，化简，得：x2-24x+63=0，当x=21时，16-2x=-26<0，不符合题意，舍去，答：纸盒的底面积是130cm2时，纸盒的高为3cm．根据题意，设最小数为x，则另外三个数为(x+1),(x+7),(x+8)，根据题意可列方程x(x+8)=153，结合月历表的数据情况选出合适的数．【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为(x+1),(x+7),(x+8)，根据题意可列方程，得x(x+8)=153，后的销售量=800元，据此列方程，即可求解；(60-x-40)(30+5x)=800方程的应用，先求出点M运动的时间为4秒，由图象可得点N运动6秒到达点A，从而即可得出N点的运动速度，即可判断①；由图象可得当点N在AD上运动时，△BMN的面积【详解】解：∵矩形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，:CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∵点M在边BC上以2cm/s的速度匀速运动，到达点C时:点M运动的时间为8÷2=4秒，由图象可得点N运动6秒到达点A，当点N在AD上运动时，△BMN的面积最大，最大为故②正确；当点N在AB上时，解得t=2或t=-2（不符合题意，舍去当点N在AD上时，△BMN的面积始终保持不变，为24cm2；当点N在CD上运动时解得：t=17，:x+30+x=0.07x(x+30):0.07x2+0.1x-30=0即7x2+10x-3000=0:x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符故答案为：20．【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，【详解】解：Q第一行有1个点，第二行有2个点…第k行有k个点，整理得：k2+k-420=0，解得：k1=20，k2=-21(舍去)，:k的值为20．故答案为：20．【详解】解：设每件文化衫应定价为x元，:x≤80，:每件文化衫应定价为80元，故答案为：80．【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角设经过t秒后△AEF的面积恰为12cm2，过点F作FD丄AB于点D，求出:AC=2BC=10，:AF=10-t，解得t=4或t=6，即经过4s或6s后，△AEF的面积恰为【详解】解：设王老师的速度为v1，望望的速度为v2，圆形跑道的周长为s，则分类讨论思想解题是解题的关键．先求出方程x2-6x+8=0的解，再分当x=2时，当x=4【详解】解：解方程x2-6x+8=0得：x1=2,x2=4，:不能构成三角形，:这个三角形的面积为，57．(1)A奖品的单价8元，则B奖品的单价是17元(2)购买A奖品80个，购买B奖品20个，费用最小，最小费用为820元．（1）设A奖品的单价x元，则B奖品的单价是(x+9)元，根据“用128元购买A种奖品的数（2）设购买A奖品a个，则购买B奖品(80-a)个，根据“A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可去分母，并化简得2x2-7x-72=0，答：A奖品的单价8元，则B奖品的单价是17元；（2）解：设购买A奖品a个，则购买B奖品(80-a)个，:A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，解得a≤60，:-9<0，(3)t1（3）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设P(0,6-t)，:上B=90°,:当t=3时PQ的长度能为3cm；设运动x秒后△PDQ的面积为10cm2，则AP=xcm，BP=(6-x)cm，BQ=2xcm，CQ=(12-2x)cm，S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，=AB.BC-AD.AP-CD.CQ-BP.BQ，222=x2-6x+36，即x2-6x+36=10，:x2-6x+26=0，:Δ=b2-4ac=36-4×26=-68<0，:方程无实数根，:△PDQ的面积不能为10cm2；（3）解：如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，QPQ的中点为M:取AD的中点N(6,6)，连接MN，则AD=12，59．(1)一台A型洗衣机的进价为2400元，则一台B型洗衣（1）设一台A型洗衣机的进价为x元，则一台B型洗衣机的进价为(x-600)元，根据题意，答：一台A型洗衣机的进价为2400元，则一台B型洗衣机:m=2400，答：将B型洗衣机的售价定为2400元．60．(1)6m过点A(0,2)，因而甲的速度v与时间t的函数解析式为v=2(t≥0)，然后根据s=vt即可求时间t的函数解析式为v=2t(t≥0)，当甲、,根据题意得2t=t2，解方程即可求出t的值．又Q其过点A(0,2)，:甲的速度v与时间t的函数解析式为v=2(t≥0)，:甲在3秒内经过的路程为：故答案为：6m；:设v=kt(k≠0)，又Q其过点B(3,6)，解得：k=2，:乙的速度v与时间t的函数解析式为v=2t(t≥0)，:出发后，甲、乙速度相等的时间为t=1秒；根据题意得：