专题2.1圆2025~2026学年九年级数学上册（苏科版）

大小.yuan一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点系点在圆内Ûd<r点在圆上Ûd=r点在圆外Ûd>r5．矩形ABCD中，AB=8点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在ΘP内且点B在ΘP外，则ΘP的半径可以是()9．在平面直角坐标系中，以点A(4,3)为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是．则使弦AP的长度为整数的点P共有个．11．如图，在ΘO中，弦的条数是()14．若A，B是半径为4的ΘO上的两个点，则弦AB的长不可能是()（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆图3弧CD记作，劣弧CD用表示，优弧用三个字母表示，如图1中的优弧.16．下列说法正确的是()：；：．18．下列说法中，正确的是()（4）圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交，像这样的角叫做圆周角，如图4，在。o中，19．图中所对的圆心角是，所对的圆周角是；优弧所对的圆周角20．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是()21．如图EF与ΘO相切于点D,A、B为ΘO上点,则下列说法中错误的()C．7BDF是圆周角D．7BOD是圆心角（5）同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆，如图角.则这两个圆是等圆.22．下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为()①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；（1）直径是圆中最大的弦2）长度相等的两条弧一定是等弧3）半径相等的两个圆是等圆4）面积相等的两个圆是等圆5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．一个圆上的有()26．淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时()），A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着画出一个圆来．若AB=26cm，则画出的圆的半径为29．如图，在半径为10cm的扇形OMN中，正方形ABCD的顶点A，B，D在在弧MN上，ACⅡON．则正方形的边长为()31．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如和ÐCBA的平分线．(1)作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作ΘO（要求：尺规作图，保留作(2)在（1）的条件下，连接OE，当ABⅡCD，求证：四边形证：EO为ÐAED的平分线．（）（）36．已知圆的半径为5cm，点P到圆心距离为3cm，则点P与圆的位置关系是()的实数为b，作以A为圆心，2为半径的ΘA，若点B在ΘA外，则b的值可能是.A．-1B．0C．2D．338．已知ΘO的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，点P到圆心的距离d=2，则点P与ΘO的位置关系是()延长线与弦DC的延长线交于点E，CE=CO．若上AOD=60°,则ÐAED的度数为()A．15°B．2程中，AB的最小值是．顺时针旋转90°得到点H，则点H在ΘO（填“内”或“上”或“外”若线段AB绕点M在以D(3,3)为圆心，1为半径的ΘD上运动，且始终满足上BPC=947．如图，在ΘO中，C，D分别是半径OA48．如图，CD是ΘO的直径，BE是ΘO的弦，DC，EB的延长线相交于点A，若50．如图，在ΘO中，上AOB=60°,弦AB的长A．3τB．6τC．8τD．9τ51．已知ΘO的半径是方程x2-5x-24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在A．eO上B．eO内C．eO外D．无法确定52．已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且eB与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为()于点E，则的度数为()54．如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6，点E,F分别是AB,BC边上的两个动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH,GH，则GH+CH的最小值为()到点B，运动时间是x(s)，线段AP的长度是y(cm)，图@是y随x变化的关系图象．①eO58．如图，正方形ABCD的边长为6，以ABAB60．如图，已知正方形ABCD的边长为a，以C为圆心BC的长度为半径画弧，交AB的垂61．如图，边长为2的正方形ABCD内接于ΘO，点P为弧CD上一动点（不与C，D重(1)求证：AC=BD；(1)设点P为ΘB上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°,得到线段CD，连接DA，DB，PB，如图2，求证：AD=BP；64．如图1所示，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合连接PA、PB、PC．【初步探索】（1）将△APC绕点A顺时针旋转60°到△AQB，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，则线段PA、PB、PC存在的数量关系是：．________________【知识迁移】【拓展延伸】如图①、在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，【方法探索】数学课上，老师提出了一个问题：如图②,已知等边△ABC，点D是△ABC外一点，连接老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程【运用创新】是()让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为()“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N2）分别在MO的延长线及ON上1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过的垂线，垂足为G，则AG的最大值为()71．如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB¢P，连接CB¢,则在点P的针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是．73．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF丄BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：③当CE=CB时，BP=EF；74．如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．）．(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②.求△CMF探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③.求线段DH长度的最大值和最小值．（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形(3)弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，故答案为以点A为圆心，8厘米长为半径3．以线段BC的中点为圆心，以5cm长为半径的圆，除去该圆与直线BC的两个交点【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设除去圆与直线BC的两个交点，从而得出答案．故答案为：以线段BC的中点为圆心，以5cm长为半径的圆，除去该圆与直线BC的两个交【详解】解：:m使关于x的方程有两个不相等的实数根，解得：m<2，【详解】解：如图，连接PC，PD，:AD=BC=3，:AP=2，BP=6，:点B在圆P内、点C在圆P外半径和A到圆心的距离之间的大小关系即可得解，熟:7B=60°,即此时d>r，:点A在以BC为直径的圆外，过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关利用点D在OB上，得到BD=1，然后分类讨论：当点在ΘO外，OD=OB+BD=3，在:OB=2，:上COB=90°,:BD=1，当点在eO外，OD=OB+BD=2+1=3，在Rt△COD中；在Rt△COD中【详解】解：设eP的半径为x，即AP=x，则PC=AC-PC=4-x，∵点C在eP内:PC<PA，即4-x<x，解得：x>2，连接PB，在Rt△PBC中，PB2=PC2+BC2x2=(4-x)2+32∵点P是AC边上的一个动点，BC=3，点B在eP外,结合选项可得eP的半径可以是分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．【详解】解：QA(4,3)，:R<OA，即R<5，:R>3，:3<R<5，【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做根据ΘO的半径为2cm，得到直径AB=4cm，根据0<AP≤4，得到在半圆上，AP有3个，:直径AB=4cm，:弦AP长的整数值有1cm或2cm或3cm或4cm，共4种可能，当AP=1cm或2cm或3cm时,各有2条,:这样的弦共有7条．:这样的点P共有7个．【详解】在ΘO中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD，12．三##3AE，DC，AD故答案为：三；AE，DC，AD．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概:过P，O作圆的直径AB，则PA=8cm，PB=2c:AB=PA-PB=6cm，:圆的直径为6cm，:圆的直径为8，:弦AB的长不可能是10．【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取AC的中点O，则即A,B,C,D四点共圆，当BD是圆的直径时，其值最大为:当BD是圆的直径时，其值最大为8．【详解】解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任一一一一一一一一一一一一一一【详解】解1）图①中有2条弧，分别为,；一一劣弧：AC,AB；优弧：ACB,CBA．【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、19．ÐAOBÐC和ÐDÐE和上F【详解】解：所对的圆心角是ÐAOB；所对的圆周角是ÐC和ÐD；优弧所对的故答案为：ÐAOB；ÐC和ÐD；ÐE和上F【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，因此面积相等的圆是等圆是正确的，故①符合:正确的是①⑤⑥.24134）（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆故答案为134【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定【点睛】本题考查了共圆问题，掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆【分析】本题考查直角三角形中线的性质和圆的性质，关键在于【详解】解：如图，连接OP，:画出的圆半径为13cm．:AB=BO，【详解】解：如图，连接OC，:上DOA=上ADO，:AO=AD，:OB=AO+AB=2acm，Q在Rt△OBC中，OB2+BC2=OC2，:(2a)2+a2=102，:正方形的边长为2cm．【详解】解：如图，连接OC，【详解】A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．:A、B、C、D四点在以O圆心OA长为半径的同一个圆上．【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，圆的有关概念，菱形的判定等知识，（2）先证明ADⅡOE，结合ABⅡCD可证四边形AOED是平行四边形，再由OA=OE可证四边形AOED是菱形．（2）证明：∵AE与BE分别为ÐDAB和ÐCBA的平分线，∵ADⅡBC，:点E在以AB为直径的圆上．:在ΘO中，OA=OE，:上OAE=上AEO，又AE平分ÐBAD，:上OAE=上DAE，:ADⅡOE，又ABⅡCD，:四边形AOED是平行四边形，:四边形AOED是菱形．331）OE=OF，见解析2）见解析【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的又QOE丄AB于点E，OF丄CD于点F，即OE,OF分别是△AOB,△COD边AB,CD上的高，:OE=OF．:EO为ÐAED的平分线．:沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，:一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次，【详解】解：QΘO中最长的弦长为6cm，:ΘO的直径的长为6cm，:ΘO的半径为3cm．【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．据【详解】解：∵圆的半径为r=5cm，点P到圆心的距离为d=3cm，:5>3，即d<r，:点P与圆的位置关系是：P在圆内．【详解】∵B在ΘA外，:AB＞2，:b＞2+或:b可能是-1.【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计置关系）等知识点，熟练掌握根据点到圆心的距离d与圆的半径r判断点和圆的位置关系是解题的关键：d>rÛ点在圆外；d=rÛ点在圆上；d<rÛ点在圆内．先求出方程的根，确定圆的半径r，再根据点到圆心的距离d与圆的半径r判断点和圆的位【详解】解：x2-2x-3=0，:ΘO的半径r=3，:点P在ΘO内，故选：A．:3上E=60°,意，分①点P在ΘO内；@点P在ΘO外两种情况分别求解即可．:ΘO的半径@当点P在ΘO外，如图2：:CD=PD-PC=8，:ΘO的半径:综上所述，ΘO的半径r=4或7．最小值为4-3=1.42．6.5【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接OC，设OA=OC=x，则OE=x-4，由勾股定理可得x2=62+(x-4)2，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC，设OA=OC=x，则OE=x-4，在Rt△OEC中，由勾股定理得OC2=CE2+OE2，:x2=62+(x-4)2，解得x=6.5，:OA=6.5，:ΘO的半径为6.5，故答案为：6.5．【分析】本题考查了求弧的角度，连接BO，过点O作OE丄AB于点E，设圆的半径为r，设圆的半径为r，:弧BC的度数是150°故答案为：150°【详解】解：点H如图所示，则点H在ΘO上；如图，线段A¢B¢是线段AB绕点M1顺时针旋转90°得到，M1的坐标为(1,3)；线段A2B2是线段AB绕点M2顺时针旋转90°得到，M2的坐标为(3,3)；45．-1##-1+【分析】本题主要考查直角三角形的斜边的中线性质；先求出AB，AC进而得出AB=AC，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD【详解】解：如图，连接AP，:AB=AC，:点P在AD上，:t的最小值是AP=AD-PD=-1，故答案为：-1．ïï:上B=40°,根据SAS证明△AOD≌△BOC，然后根据全等三角:AD=BC．:ABⅡCD．:点A在圆O内．【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于BD>AB>BC,根【详解】解：如图：连接AC、BD,∵矩形ABCD中，AB=4,BC=3,的作出辅助线解决问题．连接CD，利用直角三角形性质得到上ABC=65°,结合圆的等腰三角形性质得到上CDB=上ABC=65°,进而即可求得的度数．【详解】解：连接CD，:上ABC=90°-25°=65°,:上BCD=180°-2×65°=50°,即的度数为50°,理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离.根据题意得到点G在以B为圆心，以1为半径的圆在与矩形ABCD重合的弧上运动，作点C小，根据勾股定理求出BC¢,即可得到答案.Q点E,F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，如图，连接BG:点G在以B为圆心，以1为半径的圆上运动，如图，作点C关于AD的对称点C¢,连接C¢B交AD于点H，交于点G，2=BC22，:GH+CH的最小值为9，【分析】本题考查的是动点图象问题，正确记忆相关知识点是解题关键．由题图②得，抛物线顶点坐标(3,2)，即x=3s时，y=AP=2cm最长，即此时A①、②、③,最后根据(5,1)可对④进行判断．当x=5s时，点P到达点B处，此时AP=AB，点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为180°,则走过的弧长为运动时间为3s，:点P的运动速度是故③正确；:上AOB=60°,故④错误．【详解】QΘO的周长为4τ,:OD=2，:上EBD=上D，:BE=DE，:EO+EB=OD=2，【分析】将线段BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，AE，OD，由旋转可得延长线与ΘE的交点处时，AC取得最大值为AE+1，当点C运动至AE与ΘE的交点处时，AC取得最小值为AE-1，再根据勾股定理求出AE的长，即可得出答案．【详解】解：将线段BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，AE，OD，:BO=3，:EC=OD=1，:点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，:当点C运动至AE的延长线与ΘE的交点处时，AC取得最大值为AE+1，AC取得最小值为AE-1，在Rt△ABE中:AC的取值范围是4≤AC≤6．58．2或或2-2【分析】本题主要考查了正方形的性质、圆的基本知识、折叠的性质以及勾股定理等知识，②如图2，当ΘO经过OD的中点，则:OD=2r，AO=AB-OB=6-r，在Rt△AOD中，AD2+AO2=OD2，:62+(6-r)2=(2r)2，③如图3，当ΘO经过A¢D的中点，连接OE，:在Rt△AOD中，可有A¢E2+OA¢2=OE2，32+(6-r)2=r2，解得．综上所述，ΘO的半径为2或或2-2．【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°,由ΘO与△OAB的边AB相切，可求∠CBO==30°,利用三角形内角和公式即可求解．:BO′=BO=OO′，:△BOO′为等边三角形，:∠OBO′=60°,:ΘO与△OAB的边AB相切，:∠OBA=∠O′BA′=90°,:∠A′=25°:∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°:∠AOB=∠A′O′B=65°,:∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°.握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三∵以C为圆心BC的长度为半径画弧，交AB的垂直平分线于点P，:△CDP是等边三角形，∵PE22，点的最值问题，勾股定理，取点BC的中点M，连接DM为圆心的圆上运动，当G在MD上时，DG取得最小值，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，取BC的中点M，连接DM，:G在以M为圆心的圆上运动，:当G在MD上时，DG取得最小值，进而可知D为PB中点，得由四边相等的四边形是菱形即可得:△AOE≌△BOF(HL):AE=BF，:AC=BD；:PA-AC=PB-BD，即：PD=PC，:PM丄AB．又∵C为PA中点，:D为PB中点．:PC=MC=MD=PD，:四边形PCMD为菱形．(2)2或2的圆上．当点D在BA的延长线上时，BD有最大值，最大值为BD=AB+AD，根据:BP=AD．①如图，若点P在BC的上方，连接DP，:△CDP是等腰直角三角形，:点A，D，P在同一直线上，:在Rt△ABP中:在Rt△PBD中②如图，若点P在BC的下方，连接DP:在Rt△ABD中综上所述，BD的长为2或2．如图，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值，如图，当点D在线段AB上时，BD有最小值，最小值为BD=AB-AD=-，理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三（2）由圆的定义得当PA经过圆心O，即PA是ΘO的直径时，此时PA的值最大，最大值（3）将△APC绕点A顺时针旋转90°到△AQB，使点C与点B重合，由圆的内接四边形性【详解】解1）由旋转得AQ=AP，:△APQ是等边三角形，:PA=PQ，:PQ=BQ+PB:当PA经过圆心O，即PA是ΘO的直径时，此时PA的值最大，最大值为16，:BC是ΘO的直径，且圆心O在BC上，将△APC绕点A顺时针旋转90°到△AQB，使点C与点B重合，:QA=PA，QB=PC，:P、B、Q三点在同一条直线上，:PB+PC∵当PA经过圆心O，即PA是ΘO的直65．知识背景：②；方法探索：6；运用创新：12运用创新：过点A作AF丄AB，使上AOF=45°,连接OC，CF．同理知识背景得：:△ACE≌△ADB(SAS)，如图，过点A作AF丄AB，使上AOF=45°,连接OC，CF．:△ADC是等腰直角三角形，:△AOF是等腰直角三角形，:AO=AF=OC=6，:线段OD长度的最大值为三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：:在Rt△ABC中:△AOE≌△COF(SAS)，:上AOE=上COF，:E，O，F共线，:在Rt△AGO中:G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧．:AG的最大值为AO的长，即AGmax=AO=1．【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点在圆外，则d>r时，当点在圆上时，则d=r时；当点在圆内时，则d<r．【详解】解：:点P在ΘO上，:点P