专题12图形的变化之相似三角形（70题）上海专用：2021~2025中考1年模拟数学真题专项试题

学校：___________姓名：_______1．如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD,DE∥BC，联结DE，设向AE =AC.4．如图，已知AB，CD为ΘO中的两弦，联结OA，OB交弦CD于点E，F，且(1)求证：ABⅡCD；5．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE丄BD．(1)求证：AD2=DE.DC；6．如图，在梯形ABCD中ADⅡBC，点F，E分别在线段BC，AC上，且(1)求证：DE=AF(2)若上ABC=上CDE，求证：AF2=BF.CE点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B¢DE的位置，B¢D交AB于点F，如图△AB¢F为直角三角形，那么BE的长是()DB=2，BC=4，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD么CD的长为()则△ABC面积为()11．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED=2BF，连结BC△A3B3C3的相似比为3:1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为()“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中正确．14．下列图形，相似的一组是()15．在比例尺为1:500的图纸上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它实际的高度是()16．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列说法正确的是()A．如果OA.BD=OD.AC，那么ABⅡCD17．如果将一个△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积()18．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的()19．下列各组图形中，一定相似的是()20．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DEⅡBC的是()21．形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是()A．点D是边BC的黄金分割点B．点D是边BC的中点C．AD是边BC上的高D．AD是ÐBAC的平分线22．对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是()23．下列两个三角形一定相似的是()AB=2，CD=6，那么CO长为()25．如图，矩形ABCD中，点P在对角线BD上，延长AP交DC于点G，过点P作EF丄AG，分别交AD、BC于点E、F，AB=3，AD=4．如果上AEP=上APB，那么AP的长是()26．下列两个图形一定相似的是()27．如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、BC=4，那么在下列结果中，线段之差最大的是()A．BD-ABB．OC-OAC．OC-CDD．CD-OB件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是()能够推得DEⅡBC的是()30．下列说法中，正确的是()31．如果x:y=2:3，那么(x+y):y是()@两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是()A．①和@都是真命题B．①和@都是假命题C．①是真命题，@是假命题D．①是假命题，@是真命题34．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O，如果那么△ABO的面积为()交于点E，如果CEⅡAB，那么下列结论错误的是()36．如图，在△ABC中，AC=BC，上C=36°,AD是△ABC的角平分线，是()37．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是()39．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形()40．如图，梯形ABCD中，ADⅡBC，E、F分别是边BC、AD上的点，且那么四边形CGFH与四边形ABEH周长的差是结果用含a的代数式表示）43．如图，在梯形ABCD中AB=1.5，在平行四边形DEFG中EF=2，其顶点都在梯形的边上，连接BD交EF于点M．若S四边形DGFM=3S△EMD，则GC=．46．如图，D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，EM∥AB，ENⅡAC．如果BC=6，那么MN的长度为．47．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE=BF=DG，连接CE、FG，交于点H，如果AE:B49．在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD，如果AB、AD图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为．54．如图，O是四边形ABCD内一点，点E、F、G、H分别在线段AO、BO、CO、DO上，60．已知线段a=3，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是．61．在等腰△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且，如果△AFE与△DFB相似，那么63．如图，直线ADⅡEBⅡFC，如果DE=2EF，AC=9，那么AB长．64．如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上．已知△ABC的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那66．已知：如图，在梯形ABCD中，ADⅡBC，BD2=AD.BC，点E是腰CD上的点，上ABD=上DBE，点F是线段BC(2)当DB=DF时，求证：．67．如图，平行四边形ABCD中，已知AD=2AB，M是边AD的中点，连接MC．CE^AB，垂足E在边AB上，连接EM并延长，交CD延长线于点F．边AD于点E．(1)求证：AB2=CF.CE；69．如图9，在梯形ABCD中，ADⅡBC，连接BD，ÐBDC=90°,点E在BC上，连接DE，使得上EDC=上ECD，点F在边AB上FH=CH，连接DF．(1)求证：四边形ABED为菱形；70．如图，已知在等腰梯形ABCD中，ADⅡBC，AB=CD，AD<BC，联结AC、BD交(1)求证：AB2=BE.BD；(2)若BE=DF，求证：AB=AD．【分析】先根据向量的减法可得=-，再根据相似三角形的判定可得VADE~VABC，根据相似三角形的性质可得DE=BC，由此即可得．:BC=AC-AB=b-a，Q2AD=BD，AD1:=，AB3QDEⅡBC，:DE=BC=b-a，故答案为：b-a．【分析】由题意可求出DE=BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足DE1=BC，进而可求此时=，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则ADDE11:==，即DE=BC，ABBC22:==，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE2=BC，:<DE1E2=60°,:△DE1E2是等边三角形，以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．△AOD一△COB得出再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可:△ABD和△BCD等高，高均为AE:△AOD一△COB∵△BOC和△DOC等高，高均为CF形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确证明AB2=OB.BF．ïíÐOCE=ÐïíÐOCE=ÐODF，:OE=OF，又:ÐEOF=ÐAOB，:ÐOEF=ÐOAB，:AB∥CD；（2）证明：如图所示，连接OD，BD，:AB=BD，:ÐAOB=ÐBOD，AB=BD，:∠OBD=∠OAB；:∠OFE=∠OBA，:△OAB∽△DBF，OBAB:=，DFBF:BD=DF，:DF=AB，:AB2=OB.BF．:△ADE∽△BAD，:AD2=DE.DC；（2）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：:CE=AD．:DE=AF．在△ABF和△CDE中:△ABF~△CDE，:AF2=BF.CE．（2）先证△ACE一△AFQ可得<AE:CF=BE，:CE=BF，在△ACE和△ABF中:△ACE≥△ABF（SAS:<CAE=<BAF；（2）证明：:△ACE≥△ABF，:AE＝AF，<CAE=<BAF，:AE2=AQ·AB，AC＝AB，:△ACE一△AFQ，:<AEC=<AQF，:AE＝AF，:<AEF=<AFE，:<B=<C，:△CAF一△BFQ，QD是BC的中点，:上DFB=上ACB，:△BDF∽△BAC，:BE=2；:Rt△ADC≌Rt△ADB¢(HL)，在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2， 综上，BE的长为2或．三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类:AB=8，股定理，用整体代入的思想是解题的关键．m2-2mx=4，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出y2+x2=22=4，最后在R用勾股定理求得DF．:△CFE∽△CDF，由ED=2BF,CF=2，设CD=AB=m,BF=x,ED=2x,AF=m-x，AD=BC=y即:m2-2mx=4，在Rt△BCF中，BC2+BF2=FC2，即y2+x2=22=4，在Rt△ADF中BC:△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为2:3，据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和如图2，在直线BC上取一点B¢,将AB¢沿AD翻折后与直线BC交于点C¢,题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此【详解】解：设塔的实际的高度是x厘米，,则不能得到AB∥CD，故不符合题意；,:△AOB∽△DOC，不能得到AB∥CD，故不符合题意；,:△AOD∽△COB，:ADⅡBC，故不符合题意；:△AOB∽△COD，:AB∥CD，故符合题意；:扩大为原来的9倍，:这种测量原理，就是我们所学的图形相似．【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可．解不能判断DEⅡBC，本选项不符合题意；B、，可以判断EFⅡAB，不能判断DEⅡBC，本选项不符合题意；C、即，能判断DEⅡBC，本选项符合题意；D、，可以判断DFⅡAC，不能判断DEⅡBC，本选项不符合题意；金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性【详解】解：A、点D是边BC的黄金分割点，而BC的黄金分割点有两个，所以△ABD与:BD=CD，:△ABD与△ADC面积的比值为BD:CD，D、:AD是ÐBAC的平分线，:△ABD与△ADC面积的比值为AB:AC，一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为40°的两个直角三角形一定相【详解】解：:AB∥CD，:△BAO∽△CDO,ABBO21:BC.BO=AB2=4=4BO2，:BO=1或BO=-1（不合题意，舍去）【分析】如图，过点A作AQ丄BD于点Q，根据矩形的性质得BD==5，由S△ABD=2BD.AQ=2AB.AD得AQ=5，由勾股定理得QD=AD2AD2-AQ2△AQP∽△APE得即，证明△PDE∽△ADP得:=继而得到5【详解】如图，过点A作AQ丄BD于点Q，:矩形ABCD中，AB=3，AD=4，:BD.AQ=AB.AD，即5AQ=3×4，在Rt△AQD中又:上AEP=上APB，:△AQP∽△APE，:△PDE∽△ADP，在Rt△AQP中:AP的长是．余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判C:CD-OB的差最大；:AC^BD，:△AOB∽△BOC，同法可证△AOD∽△DOC，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得△ADE∞△ABC，于是可得:△ADE∞△ABC，:DEⅡBC，入(x+y):y化简即可．:设x=2k,y=3k，:(x+y):y=(2k+3k):【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方如图所示，在△ABC,△A1B1C1中，AD,A1D1是BC,B1C1边上的中线，如图所示，延长AD至点AD边上的高，由此可判定②；由此即可求解．【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三如图所示，延长AD至点E，使得AD=ED，连接CE，:△ABD≌△ECD(SAS)，DCCBCB②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．如图所示，在△ABC,△ABD中，AB=AB,AC=AD，AE是BC,BD边上的高，,但△ABC与△ABD不相似，故②是假命题；综上所述，①是真命题，②是假命题，C、如图，AD,BC交于点E，ABⅡCD，:△ABE∽△DCE，,故作图合理，不符合题意；，，:△ABE∽△DCE，,故作图合理，不符合题意；△EDO∽△ABO且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得:△EDO∽△ABO，:S△ABO=4．:△CDE∽△BCE，,故结论A正确，该选项不符合题意；:△BCD∽△ACB，,故结论B正确，该选项不符合题意；,故结论C正确，该选项不符合题意；ADAB:≠,故结论D错误，该选项符合题意；ABAC故选：D．QAD平分ÐBAC，:上BAD=上CAD=36°,:AB=AD,:AB=AD=CD,:△ABD∽△CBA, 【详解】∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，ⅡAB,EFⅡBC,DFⅡAC，:△DEF∽△ABC，故选项正确，不符合题意；:四边形BDEF,CDFE都是平行四边形，:△DEF∽△ABC，故选项正确，不符合题意；:四边形BDEF是平行四边形，:7B=7FED，:四边形BDEF是平行四边形，:BD=EF，BF=DE，∵DF=DF，:7BDF=7BCA,7BFD=7BAC:△FBD∽△ABC，:△DEF∽△ABC，行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相似【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，:c2=ab，【详解】解：:原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，43B中矩形的长与宽的比值为≠,且四个角都是直角，与原始矩形不相似，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用AB=EF,AB∥EF，AF=CG,AC=FG，利用相似三角形的判定与性质得到【详解】解：QADⅡBC，AF=BE=BC，:四边形ABEF为平行四边形，:AB=EF,ABⅡEF，:△CHE∽△CAB，QADⅡBC,FGⅡAC，:四边形ACGF为平行四边形，:AF=CG,AC=FG，:BE=CG，:BC=EG，EC3:=，EG4QFGⅡAC，:△EHC∽△EFG，:四边形CGFH与四边形ABEH周长的差=(CH+CG+FG+FH)-(EH+BE+AB+AH)【详解】解：∵ADⅡBC:42．2-2##-2+2【详解】解：:五边形ABCDE是正五边形，:△FBC∽△CBD，:CF=2-2，故答案为：2-2．MF=x，则EM=2-x，四边形DGFM与△EMD等高，不妨设高为h，由S四边形DGFM=3S△EMD得，解方程得x=1，即MF=1，则EM=2-x=1，再由相似三角形的GC=CD-DG可得答案．【详解】解：设MF=x，则EM=2-x，由平行四边形DEFG，得DG=EF=2，四边形DGFM=3S△EMD，:由梯形和三角形的面积公式，可得则EM=2-x=1，∵在梯形ABCD中ABⅡCD，在平行四边形DEFG中EFⅡDG即EFⅡDC，:ABⅡEF，:△DME∽△DBA，△BMF∽△BDC，DMEM2MFBM:==，=，BDAB3CDBD:CD=3MF=3，:GC=CD-DG=3-2=1．【分析】此题考查了比例的性质．由得到x=3y，代入即可求出答案．:x=3y，【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌是解题的关键．根据EM∥AB，ENⅡAC得到△DEM∽△DAB,△DEN∽△DAC，根据E是AD的中点，可得:△DEM∽△DAB，AE=a，则AE=BF=DG=a，BE=2AE=2a，由正方形的性质可知AD=BC=AB=3a，ADⅡBC，故AG=CF=2a，△APE∽△BCE，根据相似三角形的性质求出则 【详解】解：如图，延长DA、CE交于点P，设AE=a，:AE=BF=DG=a，BE=2AE=2a，:AD=BC=AB=3a，ADⅡBC，:AG=CF=2a，△APE∽△BCE，∵PGⅡCF，:△PGH∽△CFH，【详解】解：线段AB=6cm，P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP故答案为：3-3．得到AD,AB的值是解题的关键．:两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD，:△FDC∽△CBE，:AD:AB=1:2，:设AD=BC=x,AB=CD=2x，则DF=15-x,BE=20-2x，:AD=6,AB=12，:矩形ABCD的面积是6×12=72，【详解】解：连接AC，:△ACD∽△BCO，:折叠后矩形的长为b，宽为a，:相似比为，过点A作AH丄BC于点H，根据△ABC的面积及BC的长求出AH的长，证明【详解】解：过点A作AH丄BC于点H，:BC=6，:AH=3，:△ADE∽△ACB，:S△ADE=4，【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，推导出进 【详解】解：:EF∥AB，EF=2，AB=5，:△OEH一△OAD，解：当DEⅡ:△ADE∞△ABC，:DE∥BC，56．24故答案为：24．【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的,依次求出a，b，c代入计算，即可．故答案为：2．58．4.2【详解】解：QAB∥CD∥EF，:=，:BE=BC+CE=2.4+1.8=4.2．故答案为：4.2．【详解】解：:两个相似三角形的对应中线之比为2:3，:两个相似三角形的相似比为2:3，:它们的对应高之比为2:3，故答案为：2:3．【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握个量成连比例，即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项内项要相等时才称为比例中项【详解】解：:线段a=3，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，:线段c的值为3．故答案为：3．【详解】解：由题意得：只能△AFE∽△DBF,过点D作DG丄AE于点G，交AB于点H，:△AFE∽△DBF，:EF·DF=AF·BF，:这两个三角形的相似比为4:9，:这两个相似三角形的周长比为4:9；63．6【详解】解：∵ADⅡEBⅡFC，:AB