2021年高中数学导数及其应用多选题100附解析

2021年高中数学导数及其应用多选题100附解析一、导数及其应用多选题1．设函数，，下列命题，正确的是（）A．函数在上单调递增，在单调递减B．不等关系成立C．若时，总有恒成立，则D．若函数有两个极值点，则实数【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.由，可得，由，可得.所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B选项错误；对于C选项，若时，总有恒成立，可得，构造函数，则，即函数为上的减函数，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，其中，.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，，C选项正确；对于D选项，，则，由于函数有两个极值点，令，可得，则函数与函数在区间上的图象有两个交点，当时，，如下图所示：当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.所以，实数的取值范围是，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.2．已知：是奇函数，当时，，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知构造得，令，判断出函数在时单调递增，由此得，化简可判断A；，化简并利用是奇函数，可判断B；，化简可判断C；由C选项的分析得，可判断D.【详解】因为当时，，所以，即，所以，令，则当时，，函数单调递增，所以，即，化简得，故A正确；，即，化简得，所以，又是奇函数，所以，故B不正确；，即，又，化简得，故C正确；由C选项的分析得，所以，又是奇函数，所以，故D正确,故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数（），（），，（e为自然对数的底数），则（）A．在内单调递减B．和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为C．和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为【答案】BD【分析】对于A：令，利用导数可确定单调性，进而作出判断；对于B和C：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b、k的范围，进而作出判断；对于选项D：根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；可得到，再利用恒成立得出k的值，最后尝试利用导数证明，进而作出判断.【详解】对于A，，，当时，，单调递增，故A错误；对于，，设，的隔离直线为，对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，所以，又对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以且，所以且，，解得，同理，所以b的最小值为，k的取值范围是，故正确，错误；对于，函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则（），得对恒成立，则，解得，此时隔离直线方程为：，下面证明，令（），则，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，也是最小值，即，在上恒成立，即，函数和存在唯一的隔离直线，正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.4．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.【详解】由知：，令，则，∴在上单调递减，即当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由形式得到，1、构造函数：，即.2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（）A．函数的图象关于原点对称B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减【答案】BD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A；由函数的性质可知可得到，即，构造函数求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B；函数的图象与x轴的交点坐标为且，可判断选项C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D.【详解】对于选项A：函数的定义域为，且，所以为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A选项错误；对于选项B：由A选项可知为偶函数，所以当时，，所以，可得到，即，可设，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，故选项B正确；对于选项C：函数的图象与x轴的交点坐标为，交点与间的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C选项错误；对于选项D：，可化为ex(cosx－sinx)，不等式两边同除以得，，当，，，区间长度为，所以对于任意常数m>0，存在常数b>a>m，，，使函数在上单调递减，故D选项正确；故选：BD【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的最值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.7．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）A．是偶函数，是奇函数；B．在上为减函数，在上为增函数；C．在上恒成立；D．函数的最大值为.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，，，对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，函数，求导，令，则；令，则，函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，又当即，时，，所以函数取得最大值，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8．下列命题正确的有（）A．已知且，则B．，则C．的极大值和极小值的和为D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.【详解】A选项，由条件知且，所以，即；B选项，有，，而；C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，所以；D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可∴，解得故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（）A． B．的值随的增大而减小C． D．【答案】C【分析】由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.【详解】令，可得，构造函数，定义域为，.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；任取、，且，设，其中；设，其中.由于函数在区间上单调递增，且，；函数在区间上单调递减，且，.由不等式的基本性质可得，则.所以，的值随的增大而减小，B选项正确.故选：C.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（）A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点【答案】CD【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t