上海闸北第八中学中考数学几何综合压轴题易错专题

上海闸北第八中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解:如图1,在中,,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图2,是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.（3）应用拓展:如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底”在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.解析：（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2【解析】分析：（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论；（2）根据ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称，得到∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：①当AB=BC时，再分两种情况讨论；②当AC=BC时，再分两种情况讨论即可．详解：（1）是．理由如下：如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D，∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如图2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称，∴∠ADC=90°．∵点B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①当AB=BC时，Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F．∵“等高底”ΔABC的“等底”为BC，l1//l2，l1与l2之间的距离为2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．设DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②当AC=BC时，Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′B′C时，点A′在直线l1上，∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点．综上所述：CD的值为，，2．点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．2．（基础巩固）（1）如图①，，求证：．（尝试应用）（2）如图②，在菱形中，，点E，F分别为边上两点，将菱形沿翻折，点A恰好落在对角线上的点P处，若，求的值．（拓展提高）（3）如图③，在矩形中，点P是边上一点，连接，若，求的长．解析：（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）由证明，再根据相似三角形的判定方法解题即可；（2）由菱形的性质，得到，，继而证明是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设，则可整理得到，据此解题；（3）在边上取点E，F，使得，由矩形的性质，得到，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．【详解】解：（1）证明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，由（1）得，，∴，设，则∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值为；（3）如图，在边上取点E，F，使得，设AB=CD=m，∵四边形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【点睛】本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（基础巩固）（1）如图1，在中，，直线过点，分别过两点作，垂足分别为．求证：．（尝试应用）（2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，求的长．（拓展提高）（3）如图3，在中，在上取点，使得，若，求的面积．解析：（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由直角三角形的性质证得∠BDC=∠AEC，由相似三角形的判定定理可得出结论；（2）过点E作EF⊥BC于点F，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出DF=16，则可求出答案；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△ABM≌△DCN（AAS），由全等三角形的性质得出BM=CN，AM=DN，设BE=4a，EC=3a，由（1）得△AEM∽△EDN，得出比例线段，求出a=1，b=，由平行四边形的面积公式可得出答案．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴（2）过点作于点，由（1）得，∴∵，，∴，∴∵，∴∴（3）过点作于点，过点作的延长线于点，∴∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴∵，设∴∵，由（1）得，∴，∴∴∵，∴∴∴的面积【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.5．如图①，在中，为边上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．（观察猜想）（1）①的数量关系是___________②的数量关系是______________（类比探究）（2）将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（拓展迁移）（3）将绕点旋转任意角度，若，请直接写出点在同一直线上时的长．解析：（1）①；②；（2）成立，证明见解析；（3）的长为或【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案；②由①知，利用等边对等角和三角形的外角性质，得到，，然后即可得到答案；（2）①过点作交的延长线于点，EF与交于点，利用等腰直角三角形的性质，证明，即可得到结论成立；②由全等三角形的性质，求出∠OEC=90°，即可得到结论成立；（3）根据旋转的性质，点在同一直线上可分为两种情况：①点C在线段OB上；②点C在OB的延长线上；利用等腰直角三角形的性质，分别求出OE的长度，即可得到答案.【详解】解：（1）如图，在△AOD和△ACD中，∵，为AD中点，，，E为AD中点，，；②，为AD中点，，∴；同理可得：，，．（2）成立．证明：①如图，过点作交的延长线于点与交于点，∵是等腰三角形，∴∵，∴，∴，∴均为等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴；②，∴，，，；（3）的长为或；∵在等腰直角中，，，由（2）可知，，，∴是等腰直角三角形，∴；当点在同一直线上时，有①点C在线段OB上；如图：∴，∴；②点C在OB的延长线上；如图：∴，∴；综上所述，的长为或；【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的外角性质等，综合能力强，知识的运用广泛.解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行分析.6．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，过点作轴，垂足为点，易知，得到点的坐标为．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段．（1）求点的坐标．（用含的代数式表示）（2）求出BC所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连结、，则的最小值为_______．解析：【探究】（1）点坐标为；（2）；【拓展】．【分析】探究:（1）证明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）根据点B的坐标为（m，m+1），点坐标，即可求解；拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点作轴，垂足为点．，．线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，．．．，，．点坐标，点坐标，点坐标为（2）∵点B的坐标为（m，m+1），点C为（0，m），设直线BC为：y=kx+b，，解得：，∴；则BC所在的直线为：；拓展：如图作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，则点B（m，1+m），则：BO+BA=，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，相当于在直线y=x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，-1），到N（1，-1）的距离和最小，作M关于直线y=x的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=，故：BO+BA的最小值为，故答案为：．【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，是本题的新颖点7．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则＝______，sin∠ADE＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不变；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等边三角形，据此求得CE的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，构造直角三角形：△ADG，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E作EG⊥AD于点G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．∴DG＝＝•x．∴AD＝cosα•x+•x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．8．问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为________；拓展延伸（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．解析：（1）①垂直，②4；（2）作图见解析，或【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案为：垂直②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案为：4．（2）①如图：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．设BE=x，则AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（负值舍去）．∴AD=．②如图，同①设BE=x，则AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（负值舍去）．∴AD=．综上可得，线段AD的长为【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．9．问题背景（1）如图（1），，都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用（2）如图（2）．在中，，分别以AC，AB为边，作等边和等边，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若，求的值．拓展创新（3）如图（3）．在中，，，将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．解析：（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得；（2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算得答案；（3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解．【详解】解（1）∵，都是等边三角形，∴，，，，，，，可以由绕点A顺时针旋转得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2)和都是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，，如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值为+1．【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键．10．（探究函数y=x+的图象与性质）（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】试题分析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质；二次函数的性质解答即可.试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考点：1.反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质.11．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明：∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？解析：（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵，∴，∴，∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．变式探究：∵，∴，，∴，∴当时，，此时，∴，（舍去），即时，函数的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴当时，此时，，即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．12．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现①当时，；②当时，（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.解析：（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴,BD=8÷2=4，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD=．综上所述，BD的长为或．13．问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积，△EFC的面积，△ADE的面积．探究发现（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．拓展迁移（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．解析：（1），，；（2）见解析；（3）18【分析】（1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题．（2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出S1、S2即可解决问题．（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，利用（2）的结论求出□DBHG的面积，△GHC的面积即可．【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案为6，9，1．（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面积为5+3=8．由（2）得，□DBHG的面积为．∴△ABC的面积为．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的题型，属于中考压轴题，14．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．探究发现：（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若，求的长．解析：（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论；（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可.【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜边CE的中点，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F为的中点；（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在与中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.15．如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F，（1）猜想：线段与的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12【分析】(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示设BD延长线DM交AE于M点，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(3)如下图所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四边形AEGC为矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：．故答案为：．【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．16．问题提出如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．解析：（1）．（2）见解析；问题拓展：．【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究（1）．理由如下：如图（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）证明：过点作交于点，则，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴．问题拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点作交于点M，则，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．17．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（1）中的等边三角形？解析：(1)是等边三角形，理由见解析；（2），理由见解析【分析】（1）连接，由折叠性质可得是等边三角形，，，然后可得到，即可判定是等边三角形．（2）由折叠可知，由（1）可知，利用的三角函数即可求得．【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下：连接．由折叠可知：，垂直平分．∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片上剪出等边，则，在中，，，∴，∵，∴，即，当或（）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．方法二：要在矩形纸片上剪出等边，则，在中，，，设，则，∴，即，得，∴，∵，∴，即，当（或）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．【点睛】本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．18．（阅读理解）如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，．，．，四边形是平行四边形，．又，，．（类比探究）问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．解：过点作于点，连接．请将余下的求解步骤补充完整．（拓展应用）问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．解析：①；②．【分析】①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出；②连接CE，证明，即可得，由此即可求解．【详解】解：①过点作于点，连接，∵在正方形