理论力学（第2版）课件 第十一章 动能定理

第十一章动能定理第十一章动能定理

综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。动量定理动能定理动量矩定理用矢量法研究动力学问题从能量的角度分析质点(系)的动力学问题—

PAG34123力的功动能功率、功率方程和机械效率动能定理5势力场、

势能和机械能守恒定律6动力学普遍定理的综合应用第十一章动能定理§11-1

力的功代数量单位:J（焦耳）常力在直线运动中的功1J=1N·m一、功—

力在路程上的累积作用效果的度量1．常力的功§11-1

力的功变力在曲线运动中的功元功力在全路程上作的功等于元功之和2．变力的功

MM'M1M2§11-1

力的功元功作用力F在质点从M1到M2的运动过程中所作的功当力始终与质点位移垂直时，该力不作功MM'M1M2

取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系：为三坐标轴的单位矢量。§11-1

力的功质点系重力作功只与运动始末位置的高度差有关,与运动轨迹形状无关1、重力的功OyxzM1M2质心始末位置高度差二、常见力的功重力在三轴上的投影：质点§11-1

力的功弹性力2、弹性力的功l0AOA2A1§11-1

力的功弹性力的功OA0A2A1Al0

弹性力的功只与弹簧始末的变形量δ有关，而与力作用点

A的轨迹形状无关。δ1＞δ2时，弹性力作正功；δ1＜δ2时，弹性力作负功。§11-1

力的功z转角

与弧长s关系：3、定轴转动刚体上作用力的功A作用于转动刚体上力的功等于力矩的功从角转动到角过程中力的功为§11-1

力的功PAG11作用在点的力的元功：4、平面运动刚体上力系的功—

力系向质心简化所得的主矢—

力系向质心简化所得的主矩§11-1

力的功1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;

3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。

平面运动刚体上力系的功等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得主矢和主矩作功之和。质心C由C1移到C2，同时刚体又由转到时，力系所作的功说明:§11-1

力的功5、滑动摩擦力的功

物体沿粗糙轨道由位置

运动到

，动滑动摩擦力的功恒为负值，且与物体的运动路径有关。纯滚动的圆轮，则§11-1

力的功6、质点系内力的功表明：当质点系内两质点间距离AB可变化时，内力的元功之和不为零。而刚体内任意两质点间距离保持不变即

，故刚体所有内力作功的和等于零。§11-1

力的功7、理想约束力的功（1）光滑接触面、可动铰支座约束(a)(b)（2）光滑固定铰链支座、固定端约束(a)(b)

约束力作用点或作用面位移为零，约束力不做功。§11-1

力的功（3）光滑铰链（中间铰链）、刚性二力杆及不可伸长的柔索

单个的约束力不一定不作功，但一对约束力作功之和等于零。(a)(b)(c)§11-1

力的功例11-1滚子由半径分别为R和r的两圆盘固结而成，滚子沿粗糙平面作纯滚动。在滚子的鼓轮上绕有绳子，在绳上作用有常力

，方向与水平面成

角

，计算滚子中心沿水平直线移动距离s时，作用在滚子上的常力

和摩擦力的功。§11-1

力的功⑵计算摩擦力做的功

滚子作纯滚动，作用在瞬心处的摩擦力为静滑动摩擦力

，作功为零。解：⑴计算常力做的功§11-2

动能单位：J（焦耳）动能是标量，恒取正值一、质点的动能§11-2

动能二、质点系的动能--质点系内各质点动能的算术和1、平移刚体（各质点速度相同,可用质心速度表示）2、定轴转动刚体§11-2

动能3、平面运动刚体dCp平行轴定理：

平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。速度瞬心为P§11-2

动能例11-2重物A的质量为

，均质圆轮B的质量为

、半径为r，均质圆轮C的质量为

、半径为R，在地面上作纯滚动。某瞬时重物A下降的速度为

，试求此瞬时系统的动能。§11-2

动能⑵计算动能解：⑴取系统为研究对象，运动分析§11-2

动能PAG24或§11-3

动能定理质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。一、质点的动能定理质点运动微分方程方程两边点乘

--质点动能定理的微分形式

--质点动能定理的积分形式

在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。§11-3

动能定理二、质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和。

质点系内任一质点的质量为mi，速度为

，作用在该质点上的力为

--质点系动能定理的微分形式§11-3

动能定理T1

--

质点系在某段运动过程起点的动能积分：T2

--质点系在某段运动过程终点的动能质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。

--质点系动能定理的积分形式§11-3

动能定理例11-3在绞车的鼓轮上作用一个常力偶，其矩为M，鼓轮半径为r，质量为

。绕在鼓轮上的钢绳的一端系一质量为

的重物A，沿着与水平倾斜角为

的斜面上升。试求绞车的鼓轮转过

角时，重物A上升的速度和加速度。重物与斜面间的滑动摩擦因数为f，钢绳重量不计，鼓轮可视为均质圆柱体。假设系统从静止开始。§11-3

动能定理解：⑴取重物及鼓轮组成的系统为研究对象⑵运动和受力分析

鼓轮转过

角，重物A的速度

，鼓轮转动角速度

⑶系统动能§11-3

动能定理⑷在这段过程中力作的功⑸应用质点系动能定理§11-3

动能定理求导计算加速度§11-3

动能定理例11-4滚子A、滑轮B均质，质量和半径均为m和r，滚子沿倾角为

的斜面向下滚动而不滑动，借助跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重物C，重物C的质量为2m，同时带动滑轮B绕O轴转动，求重物C下降s时的速度和加速度。§11-3

动能定理解：⑴取重物、轮子及滑轮组成的系统为研究对象⑵运动和受力分析重物

C下降s

⑶系统动能§11-3

动能定理⑷在这段过程中力作的功⑸应用质点系动能定理§11-3

动能定理求导计算加速度§11-4功率、功率方程和机械效率一、功率P—

单位时间内力所作的功功率的数学表达式力的功率切向力与力作用点速度的乘积作用在转动刚体上的力的功率力对转轴的矩与角速度的乘积功率的单位：W（瓦特）或

kW（千瓦）１W=１J/s

§11-4功率、功率方程和机械效率二、功率方程--功率方程

质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力功率的代数和。工程实际中，§11-4功率、功率方程和机械效率起动阶段（加速）：

稳定阶段（匀速）：

制动阶段（减速）：

分析：

§11-4功率、功率方程和机械效率三、机械效率η—

机器对输入功率有效利用程度的度量一般情况下机械效率η＜1多级传动系统:§11-4功率、功率方程和机械效率例11-5已测得某车床的最大切削力

。切削力最大时所用的主轴转速

，工件直径

。设由电动机到主轴的机械效率

，试确定电动机的功率。解：已知最大切削力和主轴转速，可求得切削功率电动机功率§11-6势力场、势能和机械能守恒定律一、势力场力场--

物体受大小、方向由所在位置确定的力作用势力场有势力--

在势力场中物体受到的力--

物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点初始和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关。§11-6势力场、势能和机械能守恒定律二、势能V

在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。零势能点：任选的势能为零的点§11-6势力场、势能和机械能守恒定律1、重力场中的势能OyxzM(x,y,z)M0(x0,y0,z0)零势能点：M0点点M的势能：三、常见的势能§11-6势力场、势能和机械能守恒定律2、弹性力场中的势能零势能点：变形量为δ0处变形量为δ处的弹簧势能：零势能点：弹簧自然位置处变形量为δ处的弹簧势能：MM0§11-4势力场、势能和机械能守恒定律3、万有引力场中的势能Am1Om2A0零势能点：点A0：零势能点的矢径质点在点A的势能：f：引力常数取零势能点在无穷远处（r1→∞）

质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力

作用§11-6势力场、势能和机械能守恒定律四、机械能守恒定律动能定理--机械能守恒定律质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能守恒。机械能：系统的动能与势能的代数和OyxzM1M2M0§11-6势力场、势能和机械能守恒定律应用机械能守恒定律解题的步骤如下：⑴选取某质点或质点系为研究对象,分析研究对象所受的力,所有作功的力都应为有势力；⑵确定运动过程的始、末位置；⑶确定零势能位置,分别计算两位置的动能和势能；⑷应用机械能守恒定律建立方程,求解未知量。§11-6势力场、势能和机械能守恒定律例11-5均质圆柱形滚子，质量为m，半径为R，沿倾角为

的斜面作纯滚动。在滚子中心C连接一刚度为k的弹簧，设初始时滚子处于静止状态，此时弹簧无变形。试求滚子中心C沿斜面经过路程s时的速度。解：⑴取滚子为研究对象，受力分析⑵取运动过程的始、末位置§11-6势力场、势能和机械能守恒定律静止Ⅰ

→路程sⅡ⑶取滚子静止时的位置为重力势能和弹性势能的零势能点⑷应用机械能守恒定律§11-6势力场、势能和机械能守恒定律§11-6势力场、势能和机械能守恒定律例11-7冲击试验机，摆锤质量

，质心到转轴的距离

。试验开始时，摆锤的摆角

，冲断试件后，摆锤上升的摆角

，试求冲断试件所需的能量。§11-6势力场、势能和机械能守恒定律解：⑴取摆锤为研究对象，受力分析⑵取运动过程的始、末位置静止Ⅰ

→升高到最高位置Ⅱ⑶取摆锤最低点为势能零点§11-6势力场、势能和机械能守恒定律⑷应用机械能守恒定律

冲击前摆锤能量

应等于冲击后摆锤能量

与冲断试件所需能量

的和§11-7动力学普遍定理的综合应用1、质点系的动量定理—

动量定理的微分形式—

动量定理的积分形式—

动量定理的导数形式质点系动量守恒定律§11-7动力学普遍定理的综合应用2、质心运动定理质心运动守恒:§11-7动力学普遍定理的综合应用3、动量矩定理质点的动量矩定理：质点系的动量矩定理：§11-7动力学普遍定理的综合应用4、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律：质点系动量矩守恒定律：§11-7动力学普遍定理的综合应用5、刚体绕定轴的转动微分方程

刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作刚体用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。6、质点系相对于质心的动量矩定理

质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。§11-7动力学普遍定理的综合应用7、刚体的平面运动微分方程§11-7动力学普遍定理的综合应用8、动能定理质点系动能定理的微分形式：

质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和。质点系动能定理的积分形式：

质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。§11-7动力学普遍定理的综合应用质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力功率的代数和。工程实际中9、功率方程OyxzM1M2

质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能守恒。10、机械能守恒定律§11-7动力学普遍定理的综合应用PAG62动量、动量矩

动能矢量,有大小、方向恒正的标量,与方向无关内力不能使之改变内力作功时可以改变动能只有外力能使之改变只有作功能改变动能约束力是外力时有影响理想约束不影响动能与能量无相互转化,应用时不考虑能量的转化与损失可进行动能转化,应用时从功与能的观点出发外力主矢等于零时,系统动量守恒;外力对定点或质心的主矩等于零时,系统对定点或质心的动量矩守恒在保守系统中,机械能守恒动量定理描述质心的运动变化;动量矩定理描述绕质心/定点的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化动量定理可求运动和力动量矩定理可求角速度和角加速度动能定理不用于求约束力适合求复杂系统的运动参数例11-8均质杆OA，长为l，质量为m，绕其一端O在铅锤平面内转动。设开始时，杆在水平位置，初始速度为零，试求杆转过角

时的加速度、角加速度以及O点处的约束力。不计点O处的摩擦力。§11-7动力学普遍定理的综合应用解：⑴取OA杆为研究对象⑵运动和受力分析§11-7动力学普遍定理的综合应用杆的位置:水平→转过θ角杆的角速度:由0→ω杆的角加速度:由0→α⑶系统动能⑷在这段过程中力作的功⑸应用动能定理§11-7动力学普遍定理的综合应用求导计算角加速度§11-7动力学普遍定理的综合应用⑹由质心运动定理得质心C加速度§11-7动力学普遍定理的综合应用例11-9均质圆盘A、B的质量均为m，半径均为R，重物C的质量为

，圆盘A在倾角为

的斜面上纯滚动，试求重物C的加速度及轴承B处的约束力。假设

，重物C向下运动。§11-7动力学普遍定理的综合应用解：⑴取整个系统为研究对象⑵运动和受力分析重物C平移

圆盘B定轴转动圆盘A平面运动⑶系统任一位置动能§11-7动力学普遍定理的综合应用⑷主动力的功率⑸应用功率方程§11-7动力学普遍定理的综合应用⑹取圆盘B和重物C组成的系统为研究对象，受力分析(7)应用质点系对固定轴B的动量矩定理§11-7动力学普遍定理的综合应用(8)应用质点动量定理PAG72（J/焦耳）1、力的功重力的功弹性力的功定轴转动刚体上作用力的功平面运动刚体上力系的功【小结】常力在直线运动中的功变力在曲线运动中的功PAG73平移刚体定轴转动刚体平面运动刚体【小结】（J/焦耳）2、质点和质点系的动能PAG743、动能定理【小结】质点系动能定理的微分形式：

质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和。质点系动能定理的积分形式：

质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。PAG75应用动能定理解题的步骤如下：⑴选取某质点（或质点系）作为研究对象；⑵选定应用动能定理的一段过程；⑶分析质点系运动，计算选定过程的起点和终点的动能；⑷分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作的功，并求它们的代数和；⑸应用动能定理建立方程，求解未知量。【小结】PAG764、理想约束【小结】—约束力作功等于零

光滑面约束；活动铰支座、固定铰支座和向心轴承；联接刚体的光滑铰链（中间铰）；柔索约束（不可伸长的绳索）

理想约束在应用动能定理时，只计算主动力所作的功。刚体沿固定面作纯滚动刚体所有内力作功的和等于零质点系内力作功之和不一定等于零。PAG77—

单位时间内力所作的功力的功率切向力与力作用点速度的乘积作用在转动刚体上力的功率力对转轴的矩与角速度的乘积功率的单位：W（瓦特）或

kW（千瓦）5、功率【小结】PAG78由质点系动能定理的微分形式:—

功率方程

质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力功率的代数和。工程实际中，6、功率方程【小结】PAG79—

机器对输入功率有效利用程度的度量一般情况下机械效率η＜1多级传动系统:7、机械效率【小结】PAG80有势力—

在势力场中物体受到的力势力场—

物体在势力场内运动，作用于物体的力