湖南省长沙市长郡金洲新城中学2026届高三上学期入学考试数学试卷（含答案）

湖南省长沙市长郡金洲新城中学2026届高三上学期入学考试数学试卷一、单选题:1.已知全集，则（）A. B. C. D.2.已知，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.33.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A. B. C. D.4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分不必要条件6.在平面直角坐标系中，在的终边上，若在之间，则（）A.308° B.128° C.52° D.38°7.数列通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（）A. B. C. D.8.在棱长为2正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（）A. B. C. D.二、多选题:9.已知，则（）A. B.C. D.10.在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）A.B.展开式中没有常数项C.展开式所有二项式系数和为1024D.展开式所有项的系数和为25611.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题:12已知随机变量，且，则______．13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14.对任意都有，的图像关于对称，则______．四、解答题:15.已知数列中，，，令（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．16.如图，已知四棱锥底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.（1）证明：平面；（2）若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.17.某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第次闭合后出现红灯的概率为，求：（1）求；（2）求，（，）。18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．19.已知数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.（1）若为1，2，3，6，写出集合，并求的值；（2）若为1，3，a，b，且，求和集合；（3）若是递增数列，且项数为，证明：“”的充要条件是“为等比数列”.参考答案1-8【答案】B【答案】A【答案】D【答案】D【答案】A【答案】D【答案】B【答案】B9.【答案】AC10.【答案】BD11.【答案】ACD12.【答案】##13.【答案】14.【答案】015.【小问1】由，得，令，得，因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即.【小问2】由（1）可得，，，两式相减可得，化简可得，所以.16.【小问1】设的交点为，连接，已知为的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，则平面.【小问2】因为所以所以为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取的中点为，连接，则，平面平面，平面平面，则平面，以为坐标原点，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为与平面所成的角为，所以，设菱形的边长为，所以，所以，因为，所以，，设平面，，令，所以，设平面，，令，所以，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17【小问1】第二次闭合后出现红灯的概率的大小决定于两个互斥事件，即第一次红灯后第二次又是红灯，第一次绿灯后第二次才是红灯，于是.【小问2】研究开关第次闭合后出现红灯的概率，则要考虑第次闭合后出现红灯或绿灯的情况，.再利用待定系数法，令，整理比较可得.故为等比数列，所以.所以.18【小问1】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2】解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.19.【小问1】因为，所以集合；【小问2】因为，且，所以互不相等，所以都是集合中的元素，因为，所以，解得，所以为，所以；【小问3】充分性：若是递增的等