（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习20 三角函数的图象和性质（解析版）

第页考点20三角函数的图象和性质1、求三角函数的周期，一般有三种方法定义法：直接利用周期函数的定义求周期．公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．2、与三角函数的奇偶性有关的问题（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．3、与三角函数的单调性有关的问题（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间．（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z.考点一三角函数的图象1．与图中曲线对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；对于C选项，当时，，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，D选项满足条件.故选：D.2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.3．函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.【详解】解：令得，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，故选：C.考点二三角函数的周期性4．已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到、、的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.【详解】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；函数不是周期函数，故②不正确；函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；函数的周期为，故④不正确.故选：B5．下列函数中最小正周期为的是（

）①；②；③；④A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④【答案】C【分析】根据同角三角函数关系、三角恒等变换化简函数，从而可判断各三角函数的最小正周期，即可得答案.【详解】解：①，则的最小正周期为，故①符合；②，则的最小正周期为，故②不符合；③，则的最小正周期为，故③符合；④，则的最小正周期为，故④符合.故选：C.6．已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦型函数的周期公式求，再由正弦函数的性质求.【详解】因为图象的两相邻对称轴之间的距离为，所以最小正周期，则，所以因为为偶函数，所以，，所以，.因为，所以.故选：B.7．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据周期的定义，即可判断；或是先求函数的最小正周期，再结合函数的图象和性质，判断函数的最小正周期.【详解】法一：，即，即函数的最小值正周期为.法二：函数的最小正周期为，并且函数是奇函数，加绝对值后，的最小正周期是的一半，即最小正周期为.故选：D8．的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.【详解】因为，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以的最小正周期为.故选：A.9．函数的最小正周期是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．【详解】(其中)，．故选：C．10．函数的最小正周期等于（

）A．π B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为即可求得最小正周期.【详解】，故最小最周期.故选：A11．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的周期主要由验证【详解】由对A：，故A不正确对B：，故B正确；对C：，故C不正确；对D：，故D不正确；故选：B.12．“”是“函数的最小正周期为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】函数的最小正周期为，得，所以，结合充分必要条件理解判断．【详解】由得，其最小正周期为，所以充分性成立；但函数的最小正周期为，得，所以，必要性不成立.所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故选：A．13．已知函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，则的值是（

）A． B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由题意求出，再由，即可求出.【详解】因为函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，所以，所以.故选：C.14．已知函数的最小正周期为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断，【详解】因为的最小正周期为，所以，令得，即在上单调递增，同理得在上单调递减，而，，，由三角函数性质得故选：D考点三三角函数的单调性求三角函数的单调区间15．下列区间中，函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递减区间为，故选：B.16．函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简，再根据复合函数单调性列不等式解出单调区间.【详解】因为，所以求单调减区间等价求单调增区间，因为，所以所以单调减区间为故选：B17．函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由求出函数的单调减区间，然后逐个分析判断.【详解】由，得，所以的单调减区间为，所以函数的减区间有，……，对于A，函数在上有增有减，所以A错误，对于B，函数在上有增有减，所以B错误，对于C，函数在上有增有减，所以C错误，对于D，函数在上递减，所以D正确，故选：D.18．函数的单调递增区间是________，最小正周期是_____.【答案】

，，，

【分析】根据正切函数的单调性，解不等式，，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间，利用周期公式得到结果.【详解】令，，可解得：，函数的单调递增区间是，，，最小正周期是.故答案为：，，.19．下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，，对赋值，结合选项即可判断.【详解】由题，，令，，则，，当时，，当时，，因为，所以是一个单调递增的区间，故选：A20．已知函数.(1)求的最小正周期及的单调递增区间；(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用降幂公式和辅助角共将函数化简后可得；（2）求出的非负零点依次观察可得的范围.【详解】（1），解之单调递增区间为：（2）由（1）则非负零点依次为：，在区间上有且只有一个零点，比较三角函数值的大小21．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的单调性和正弦函数的单调性，运用中间数比较法进行求解即可.【详解】，，，因此.故选：C.22．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦函数、指对数函数的性质判断大小关系.【详解】由，所以.故选：A23．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.【详解】由于，由三角函数的性质可知，，则，由，则，故．故选：D.24．已知函数，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知为偶函数，在上为单调递减函数，再根据，即可得答案.【详解】解：由题知函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，所以因为当时，所以，由指数函数单调性可知，在上为单调递减函数，因为，函数在上单调递增，所以又因为，，所以，所以，由函数在上为单调递减函数可得，所以故选：D25．已知定义域为R的函数满足，且在区间上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的对称性、单调性以及诱导公式、正弦函数的图像与性质进行求解判断.【详解】∵满足，∴的图像关于直线对称，又∵在上单调递增，∴在上单调递减．，，，在上单调递增，∴，∴．故B，C，D错误.故选：A．根据三角函数的单调性求参数26．已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的性质求解【详解】由题意得，则当时，由，解得，当时，由，得无解，同理时无解，故选：A27．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，由，，得，，所以的单调递增区间为，，依题意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，当时，，又，所以，当时，.综上所述：.故选：C.28．若函数在上单调递减，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以，解得，因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，函数在上单调递减，则有，解得，所以的取值范围是，即的最大值为.故选：A29．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围.【详解】，

∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则解得，当时，，当时，，当取其它值时不满足，∴的取值范围为，故选：D30．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数在上单调递增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因为函数在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因为，当时，由①②可知：，解得；当时，由①②可知：，解得.所以的取值范围为.故选：B.31．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，由于且在区间上是严格增函数，所以，即的取值范围是.故选：B32．已知函数在区间上单调，且当时，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】首先根据题意得到，根据得到，从而得到，再根据的单调性得到，，即可得到答案.【详解】.因为，所以，则，从而.因为，所以.因为在区间上单调，所以，.解得.因为，所以.因为，所以或，所以或.因为，，所以.故选：A33．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角恒等变换得到，根据得到，结合函数的单调区间，得到不等式，求出，得到答案.【详解】，因为，所以，要想满足在区间上单调递减，则，解得：，故实数m的最小值是.故选：B考点四三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性34．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，定义域为，，为偶函数，B正确；对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，，为奇函数，C错误；对于D，定义域为，，为奇函数，D错误.故选：B.35．设函数，则下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由辅助角公式化简，结合选项代入，由奇偶性的定义即可求解.【详解】因为，所以为非奇非偶函数，故A错误；为偶函数，故B正确；为奇函数，故C错误；为非奇非偶函数，故D错误；故选:B36．在区间上为减函数，且为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，根据三角函数奇偶性与单调性，可得答案.【详解】由函数为奇函数，可得C，D错误；因为函数在上单调递增，且，，易知函数在上单调递减，故A错误，B正确.故选：B.根据奇偶性判断三角函数图象37．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征．函数在上的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项C,D.再通过特殊值确定答案.【详解】解：由题设，函数的定义域为，关于原点对称.所以，所以函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以排除选项C,D.又，所以排除选项B，选A.故选：A38．函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值进行判断即可.【详解】函数的定义域为，，∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项C，D；又，，故排除选项A．故选：B．39．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案.【详解】对，，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，所以排除选项A；令，可得或，即，当时，，所以，故排除选项C；当时，，所以，所以排除选项D.故选：B.40．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值利用排除法判断即可.【详解】解：因为函数定义域为，又，所以为奇函数，函数图形关于原点对称，故排除C、D，又，故排除B；故选：A根据奇偶性求函数值41．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】设易得为奇函数，即，进而得，代入，求解即可.【详解】解：设，则，即，即.因为，所以.故选：A.42．已知函数，若，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【分析】利用正弦函数的性质,直接计算可得．【详解】由题意，，所以，，故选：A．43．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，转化为，令，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据奇偶性，可得在最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.【详解】由令，因为，所以；那么转化为，，令，，则，所以是奇函数可得的最大值与最小值之和为0，那么的最大值与最小值之和为2．故选：B．44．已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】设，再利用函数的奇偶性求解即可【详解】设，则，故，即，所以.故，因为，所以.故选：C45．设函数为定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】首先利用，求出得值，再计算的值，由即可求解.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，当时，，所以，解得：，所以时，，，所以，故选：D.根据奇偶性求参数46．若函数是偶函数，则可取一个值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的定义得,结合选项可确定答案.【详解】∵函数是偶函数，∴，即.∴或.当时，可得，不满足函数定义.当时，,若，解得，故A错误;若，解得，故B正确;若，解得，故C错误;若，解得，故D错误;故选:B.47．已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可．【详解】解：是奇函数，，，得，，，当时，，故选：．48．使函数为偶函数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得出，然后利用赋值法可得出答案.【详解】由于函数为偶函数，则，当时，.故选：B.49．设，函数为偶函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简得，然后根据偶函数得到，解得，最后根据即可得到的最小值.【详解】，因为为偶函数，所以，故，又，最小值为.故选：D.50．函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】化简函数解析式并根据三角函数图象变换结论求出变化后的函数解析式，根据所得图象关于轴对称列关系式可求的值.【详解】因为，化简得，函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，根据所得图象关于轴对称，可得，，，则的一个可能取值为，故选：B.51．已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据为奇函数，求解即可.【详解】解：，定义域为，令，因为，所以函数为奇函数，设的最大值为，最小值为，所以，因为，函数的最大值与最小值之和为，所以，解得.故选：B52．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角恒等变换得，进而根据平移变换得为奇函数，故，进而得答案.【详解】解：，将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，该函数为奇函数，所以，得，又.故最小值为.故选：C考点五三角函数的对称性53．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】D【分析】将选项依次代入，根据正弦函数的性质分析即可.【详解】对A，，，故A错误；对B，，，故B错误；对C，，，故C错误；对D，，此时，故D正确，故选：D54．函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C55．函数的图像（

）A．关于轴对称 B．关于原点对称C．关于直线对称 D．关于点对称【答案】C【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误..【详解】解：由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知B、D错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，当时，，易知C正确，A错误；故选：C56．函数图象的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为．故选：C57．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则【答案】B【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；对于C，不是奇函数，C不正确；对于D，取，显然有，而，，D不正确.故选：B58．函数的部分图像如图所示，若，，且，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据图象求出，由得到，代入即可求解.【详解】解：根据函数的部分图象，可得A=1;因为，，结合五点法作图可得，，．因为，，且，所以，由函数对称性可知，，所以.故选：D．考点六三角函数性质的综合应用59．已知函数的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简,对称轴为,求出a和，得到解析式.由，且函数在区间上具有单调性，,可得与关于对称中心对称,即可求解的最小值.【详解】函数，其中.因为函数的一条对称轴为，所以，解得：，所以.对称中心横坐标满足可得：.又，且函数在区间上具有单调性，所以.所以当k=1时,可得最小.故选：D.60．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（

）A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为【答案】D【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，则，所以，整理得，对于，，则不是函数的对称中心，故错误；对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；对于，令，，解得，，，显然不包含区间，故错误；对