（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习09 函数的奇偶性（解析版）

第页考点09函数的奇偶性1、判断函数奇偶性的方法(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略（1）已知函数的奇偶性求函数值利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．（2）已知函数的奇偶性求解析式利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．（5）利用函数的奇偶性求最值①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。考点一函数奇偶性的判断1．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称.，故为偶函数.（2）的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.（3）的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.（4），故，故为非奇非偶函数.2．下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（

）A． B． C． D．【解析】函数为非奇非偶函数，故A错；函数为偶函数，故B错；函数，满足，故是奇函数，在定义域R上，是单调递增函数，故C正确；函数在上是增函数，在上是增函数，在定义域上不单调，故D错，故选：C3．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（

）A． B． C． D．【解析】在单调递减且不是奇函数，故A错误；在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；在上为增函数且为奇函数，C正确；是偶函数，D错误.故选：C4．【多选】已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【解析】对于A选项，因为且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误，对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确，故选：BD5．若函数是偶函数，函数是奇函数，则（

）A．函数是奇函数 B．函数是偶函数C．函数是偶函数 D．函数是奇函数【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；故选：C6．已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数；(2)因为在上单调递增，故函数在上单调递减，所以，因为当时，恒成立，转化为，即可，所以，则实数的取值范围为．7．已知函数．(1)判断f（x）的奇偶性，并说明理由；(2)用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；(3)求f（x）在[－2，－1]上的值域．【解析】(1)f（x）为奇函数．由于f（x）的定义域为，关于原点对称，且，所以f（x）为在上的奇函数（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）(2)证明：设任意，，有．由，得，，即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．(3)由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，故f（x）的最大值为，最小值为，所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．8．已知函数.(1)判断奇偶性；(2)当时，判断的单调性并证明；(3)在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数；(2)函数是上的单调增函数，证：任取且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数是上的单调增函数；(3)解：由（2）知函数是上的单调增函数，所以，解得，所以的取值范围为.考点二抽象函数的奇偶性9．已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．(1)试判断的奇偶性；(2)若，求实数的取值范围．【解析】(1)因为函数的定义域为，令，得．令，得，即，所以函数为奇函数．(2)由（1）知函数为奇函数，又知函数的定义域为，在上为增函数，所以函数在上为增函数．因为，即，所以，解得，所以实数的取值范围为．10．定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，；(2)判断的奇偶性，并证明；(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.①②若_____________，，求实数的取值范围.【解析】（1）取，得，即，∴，∵，又，得，可得；（2）∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得，移项得∴函数是奇函数；（3）选①：∵是奇函数，且在上恒成立，∴在上恒成立，且；∴在R上是增函数，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令.由于，∴.∴，∴.选②：是奇函数，且在上有解，∴在上有解，且；∴在R上是增函数，∴在上有解，∴在上有解，令.由于，∴.∴，∴.11．设函数是增函数，对于任意都有．(1)写一个满足条件的；(2)证明是奇函数；(3)解不等式．【解析】(1)因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：函数满足是增函数，，所以满足题意.(2)令，则由得，即得，故是奇函数．(3)，所以，则，因为，所以，所以，又因为函数是增函数，所以，所以或.所以的解集为：.考点三已知函数的奇偶性求函数值12．已知函数f(x)为奇函数，当时，，则___．【解析】为奇函数，当时，，.故答案为：.13．已知函数是偶函数，且，则（

）A． B．0 C．2 D．4【解析】为偶函数，，，故选：D14．设函数，若是奇函数，则（

）A． B． C． D．【解析】由已知可得.故选：B.15．已知定义在上的偶函数满足，且，则（

）A． B．1 C． D．2【解析】依题意，是偶函数，，令，得，由于，所以，令，得，令，得，以此类推，可知.故选：C16．已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.【解析】因为，所以有，因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以，因此由，故答案为：考点四已知函数的奇偶性求解析式17．已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：18．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．【解析】时，，是奇函数，此时故答案为：19．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是（

）A． B．C． D．【解析】当时，函数，根据二次函数的图形与性质，可得单调递减的区间是，又因为函数为定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，函数单调递减的区间是，综上可得，函数单调递减的区间是.故选：C.20．已知.(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；(2)证明：函数在区间上是严格增函数.【解析】(1)，则，而时，，又函数是偶函数，于是得，所以当时，.(2)且，则，因，则，，，即，有，所以函数在区间上是严格增函数.21．已知函数是上的偶函数，当时，.(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；(2)求当时，函数的解析式.【解析】(1)，且，则，∵，且，∴，∴，即，∴函数在上单调递增；(2)当时，，∴，又函数是上的偶函数，∴，即当时，.22．已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．【解析】以代替条件等式中的，则有，又，分别是上的奇函数和偶函数，故．又，联立可得，．考点五已知函数的奇偶性求参数值23．已知是偶函数，则实数a的值为___________.【解析】由题意恒成立，即，恒成立，所以．故答案为：．24．若函数是上的偶函数，则的值为______.【解析】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，∴,故答案为：.25．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，所以，即，所以，所以.故选：C26．若函数是定义在上的偶函数，则_____．【解析】由题意得：，解得：，又因为为偶函数，所以，即，解得：，所以.故答案为：27．已知函数为奇函数，则____________.【解析】函数，定义域为由函数为奇函数，则即，解得，经检验符合题意.故答案为：.28．为偶函数，则___________.【解析】由为偶函数，得，，不恒为，，，，故答案为：.29．已知函数为奇函数，则（）A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】函数为奇函数，当时，，所以，所以，，故．故选：C.30．已知二次函数.(1)若为偶函数，求在上的值域：(2)若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意，函数为二次函数，其对称轴为.若为偶函数，则，解得，则在上先减后增，当时，函数取得最小值9，当时，函数取得最大值13，即函数在上的值域为；(2)由题意知时，恒成立，即.所以恒成立，因为，所以，当且仅当即时等号成立.所以，解得，所以a的取值范围是.31．已知函数是奇函数.(1)求实数m的值：(2)求函数的单调递增区间.【解析】(1)∵又为奇函数，∴，即∴.(2)当时，此时的图像开口向下，对称轴为直线,∴在上单调递增，在上单调递减.当时，,此时的图像开口向上，对称轴为直线,在上单调递增，在上单调递减.∴.函数的单调递增区间为32．已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)判断并证明在的单调性.【解析】（1）因为是奇函数，所以，因为，所以是奇函数，因此；（2）在上单调递增，在上单调递减，证明如下：设是上的任意两个实数，且，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减.考点六应用函数的奇偶性解决函数图象问题33．已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【解析】（1）的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，，，所以；（2）由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；34．已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【解析】由图知，的定义域为，令时，或，由为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，关于原点对称，对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；对D：由图知，当时，，，，当时，，，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；故选：D.35．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；(2)求函数，的解析式；(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】（1）剩余的图象如图所示，有图可知，函数的单调增区间为；（2）因为当时，，所以当时，则，有，由为奇函数，得，即当时，，又，所以函数的解析式为；（3）由(2)得，，作出函数与图象，如图，由图可知，当时，函数与图象有3个交点，即方程有3个不等的实根.所以m的取值范围为.36．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示.（1）补全的图像；（2）解不等式.【解析】（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图像如图所示.（2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).37．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；当时，，，为上的偶函数，当时，；综上所述：；（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，由图象可知：，即实数的取值范围为.考点七利用函数的奇偶性求最值38．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．【解析】，令，则，∴函数在上为奇函数，则，即，∴，∴．故答案为：39．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.【解析】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故答案为：140．若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（

）A． B．505 C．1010 D．2020【解析】函数，令，则，所以为奇函数，因为关于的函数在，上的最大值为，最小值为，且，则的最大值为，最小值为，所以，则．故选：B考点八函数的单调性和奇偶性的综合应用41．【多选】已知奇函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且f(5)=-5，则函数f(x)在区间[-5，-2]上（

）A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5【解析】因是奇函数，则函数的图象关于原点对称，又函数在上是减函数，于是得在上为减函数，是在上的最大值，所以函数f(x)在区间上是减函数，且最大值为.故选：BD42．已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【解析】由题意，函数为偶函数，故又在上单调递增，且，故，即故选：D43．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【解析】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B44．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（

）A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．45．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，所以函数在R上单调递增，又，所以，又不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：46．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式