（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习21 简单的三角恒等变换（解析版）

第页考点21简单的三角恒等变换1、三角函数式的化简要遵循“三看”原则2、解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．3、给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．4、已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，选取求正弦值．5、利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan

eq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)计算．6、三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）给角求值1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和的余弦公式代入即可得出答案.【详解】.故选：C2．【多选】以下说法正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确；故选：ACD3．等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和角余弦公式即可求出答案.【详解】因为，故选：C.4．若，且为第三象限角，则等于（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式可得，进而得，根据同角平方和关系即可求解.【详解】由得，所以，即，由于为第三象限角，所以，故，故选：B5．下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，根据正弦的二倍角公式，可得答案；对于B，根据正弦的差角公式，可得答案；对于C，根据余弦的差角公式，可得答案；对于D，根据正切的差角公式，可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.6．（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用两角差的余弦和诱导公式可求三角函数式的值.【详解】,故选：C.（二）给值（式）求值7．已知角为第二象限角，，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由平方关系求得，再由余弦差角公式求解即可.【详解】因为角为第二象限角，所以，则.故选：D.8．已知，是第三象限角，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用同角三角函数基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式即可求得的值.【详解】由，，可得由是第三象限角，可得则故选：A9．已知a，β都是锐角，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后由利用两角和与差的余弦公式可得答案.【详解】因为a是锐角，所以，所以，因为，所以，所以，因为β是锐角，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以.故选：B.10．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数关系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得结果.【详解】由，得，则，．故选：．11．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由平方关系求得，，再由两角差的余弦公式求解即可.【详解】由可得，则，，则.故选：D.12．已知，都为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据角的变换，先求出的正余弦函数，利用两角差的正弦公式求解；（2）根据角的变换，先求出的正余弦函数，利用两角差的余弦公式求解.(1)因为，都为锐角，故，故，又，故，(2)由（1）知，，，，故.13．已知，，，则___________.【答案】【解析】由已知条件结合所给角的范围求出、，再将展开即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，故答案为：.14．已知θ是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，根据θ是第四象限角，，可计算出，然后利用正切的和差公式即可求解出.【详解】由已知，θ是第四象限角，，所以，所以.故选：B.15．若，，则______．【答案】【分析】由两角差的正切公式计算．【详解】由已知．故答案为：．16．已知，则___________.【答案】【分析】利用诱导公式和两角和的正切公式可求得结果.【详解】.故答案为：.给值求角17．已知，则___________.【答案】【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，再由角的变换及两角差的正切公式求出，即可得解.【详解】，，，，，，.故答案为：.18．已知，为锐角，，．(1)求的值；(2)求角．【答案】(1)(2)【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得所求（2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围即得所求(1)因为，所以，又所以所以(2)因为，为锐角，所以，则，因为，所以．又为锐角，，所以，故，因为为锐角，所以．19．已知锐角、满足，，则等于（

）A． B．或C． D．【答案】C【分析】先利用同角三角函数基本公式求，，然后利用和差公式得到的值，最后根据，为锐角求出的值．【详解】，为锐角，，，所以，，，所以的值等于.故选：C．20．已知是方程的两根，且，求的值．【答案】【分析】先计算出的值并分析的范围，再计算出的值，结合的范围求解出的值.【详解】因为，，所以，所以，因为，又因为，所以.21．已知，，且，，求：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，再利用和角公式即得；（2）由题可得，，结合特殊角的三角函数值即得.(1)∵，，∴，，又，∴；(2)∵，，∴，又，∴，又，∴.三角函数式的化简22．已知，则的值为A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用列方程，解方程求得的值，也即求得的值.【详解】令，则，∴，∴，∴.故选A.23．）化简=

A．sin2+cos2 B．sin2-cos2 C．cos2-sin2 D．±(cos2-sin2)【答案】A【分析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．【详解】根据诱导公式，化简得又因为所以选A24．已知，，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.【详解】（1），，，解得.（2）.25．已知，．(1)证明：；(2)计算：的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出，，两式相除可得结论，（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果（1）方法一：由条件，则即整理得也即，得证．方法二：由条件，即，得，从而可得得证．（2）由于所以原式26．已知；求的值.【答案】【分析】根据，解得，再对进行化简计算即可.【详解】由，解得.所以.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用27．已知是一元二次方程的两个根，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)7(2)【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解；（2）利用两角和的正切公式求解.（1）解方程得．因为，所以，则．（2）．因为，所以，从而．28．已知，且，(1)求证：；(2)将表示成的函数关系式；(3)求的最大值，并求当取得最大值时的值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)；；【分析】（1）根据已知及两角和的余弦公式，结合同角三角函数的商数关系即可求解；（2）根据（1）结论及同角三角函数的商数关系即可求解；（3）根据（2）的结论及基本不等式，再利用两角和的正切公式即可求解；（1）因为，所以,由，得，即，于是有，即证.（2）由（1）可知，，（3）因为，所以，由（2）可知，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的最大值为.当取得最大值时，，，所以.考点二二倍角公式（一）给角求值29．计算（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.【详解】解：因为.故选：A.30．______.【答案】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即得.【详解】故答案为：.31．化简=（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简即得.【详解】.故选：C.（二）给值（式）求值32．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由即可转化求值【详解】．故选：A33．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】由，得，即，两边平方，得，即.故选：A.34．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出，再利用余弦函数的二倍角公式求解即可.【详解】，则，故选：D.35．已知角的终边经过点，求___________.【答案】【分析】由三角函数定义求得，再利用二倍角公式及两角和的正切公式即得．【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以．故答案为：．36．已知，均为锐角，且，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由求出cosα的值，再利用正弦的二倍角公式求解即可，（2）由条件求出，由，则，然后利用两角差的正弦公式化简计算即可(1)因为，且为锐角，所以，所以．(2)因为，均为锐角，所以，又，所以，由（1）知，，所以37．已知，，其中，(1)求角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可.（2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解.【详解】（1）解：由题意得：又（2），38．【多选】已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为，，其中，为锐角，故所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选:AC给值求角39．（1）已知，，求；（2）已知，，求、的值；（3）已知，，且，求的值.【答案】（1）；（2），；（3）.【分析】(1)利用两角差的正切公式即可求解；(2)利用二倍角公式即可求解；(3)利用和差角公式即可求解.【详解】(1)因为，，所以，即.(2)因为，可得，所以，，因此，，.(3)由，则，，得.因为，所以.由，则，，得，由以及，得.因为，又，所以.40．已知则___________.【答案】【分析】根据二倍角正切公式，计算，再根据两角和的正切公式，计算，由题意可知，求解即可.【详解】，即，即则故答案为：与同角三角函数的基本关系综合41．已知，.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据同角公式可求出结果；（2）根据两角和的余弦公式和二倍角公式可求出结果.【详解】（1）因为，，所以，.（2）.42．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【详解】（1）（2）43．已知为第四象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可求得；利用，结合的范围可确定，由此可求得；利用二倍角余弦公式和平方差公式可得，代入对应的值即可求得结果.【详解】由得：，解得：，；为第四象限角，，，，.故选：D.与诱导公式的综合44．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用诱导公式求出，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为，所以，所以.故选：B.45．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.【详解】解：因为，所以.故.故选：C.46．已知．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简解析式，结合二倍角公式求得正确答案.（2）利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】（1），依题意，，所以.（2）依题意，由于，所以，所以，所以.47．已知.(1)若，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用倍角公式可求三角函数式的值；（2）利用两角和的正弦可求的值.【详解】（1），因为，故，所以.（2）因为，所以，而，所以，故，所以.48．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为，所以,故选：A.49．已知，则___________.【答案】【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因，所以.故答案为：二倍角公式的逆用50．若，则的值为____.【答案】【分析】利用二倍角公式后，代入求解.【详解】，．故答案为：.51．已知是方程的一根，则_____.【答案】【分析】依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，整理得，即可求出，再根据二倍角余弦公式及诱导公式计算可得.【详解】解：是方程的一根，，则，可得，可得，，．故答案为：52．已知，则的值是____.【答案】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式即可求解.【详解】，两边平方，可得，可得，．故答案为：利用二倍角公式化简求值53．若，，则___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简可得到或，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，即或,当时，因为，所以，所以，所以，所以，所以.当时，即，所以，所以，则.因为，所以，所以，故不符合题意，应舍去，综合以上，故答案为：-154．已知，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解.【详解】由，得，即，，所以，.故选：D．55．已知，(1)求的值(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据正切两角和公式得到，再根据同角三角函数关系求解即可.（2）利用正弦二倍角公式和余弦两角和公式求解即可.（1），解得，因为，所以，又，解得.（2）原式.考点三辅助角公式的应用56．设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由，利用正弦型函数的性质及充分、必要性定义判断条件间的充分必要关系.【详解】由，当，则，此时，充分性成立；当，则且，即且，又，故，必要性成立；所以“”是“”的充分必要条件.故选：C57．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出.【详解】因为，即，即，即，所以.故选：D.58．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角恒等变换将等式化简为，即可求出，进一步求出，，即可求出.【详解】因为，则，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以.故选：A.59．函数的最大值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】C【分析】化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值.【详解】可化为，所以，，设，则，所以当即时，函数取最大值，最大值为7，所以函数的最大值为7，故选：C.60．函数在区间上的最小值为（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】化简可得，再结合正弦函数的图象分析求解即可【详解】，故当时，，故当时，取最小值故选：D61．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三角恒等变换将题设转化为在上恒成立，再由正弦函数的性质求出，即可求解.【详解】不等式可转化为，即在上恒成立，当时，，则，则.故选：D.62．已知，则角所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用辅助角公式先合并，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可.【详解】，其中,，所以角在第四象限.故选：D考点四简单的三角恒等变换（一）半角公式的应用63．已知：，，则__________.【答案】【分析】由，两边平方得到，进而求得，两式联立得到，再利用三角恒等变换求解.【详解】解：由，两边平方得：，即，因为，所以，所以，两式联立得，所以，故答案为：64．若，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值.【详解】因为，所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，．故选：B．65．已知，若是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式求出，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，所以.故选：B．66．已知.(1)若在第二象限，求的值；(2)已知，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，结合半角公式得，故，，再根据二倍角公式计算即可.（2）由题知，再结合正切的和角公式求解即可.(1)解：，∴∵在第二象限，∴，，∴(2)解：∴，（二）三角恒等式的证明67．证明：．【分析】利用余弦的二倍角公式和同角三角函数基本公式整理即可.【详解】证明：．68．观察下列几个三角恒等式：①；②；③；④；一般地，若、、都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为___________.【答案】当时，【分析】观察①②③④中等式的结构，可得出结论.【详解】对于①式，；对于②式，；对于③式，；对于④式，.观察①②③④中等式的结构，可得出以下结论：当时，.理由如下：①当且时，若、、都有意义时，由两角和的正切公式可得，所以，，，因此，；②若且时，则，可得，此时，.综上所述，当且、、都有意义，则.故答案为：当时，.69．某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：①②③（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）结论：（或），证明见解析；（