（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷18 幂函数（解析版）

第页通关练18幂函数eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是(

)A． B． C． D．【解析】当时，幂函数为增函数；当时，幂函数为减函数，故在上单调递减，、和在上单调递增，从而A错误；由奇函数定义可知，和不是奇函数，为奇函数，从而BC错误，D正确.故选：D.2．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【解析】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C3．已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D4．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为偶函数 D．为减函数【解析】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C5．已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由题意可得：解得：．故选：B6．已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A7．“”是“幂函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由，即，解得或，当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，所以充分性成立；反之：幂函数，则满足，解得或或，当时，，此时函数为偶函数；当时，，此时函数为偶函数，当时，，此时函数为奇函数函数，综上可得，实数或，即必要性成立，所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.故选：C.8．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解析】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或故必要性不成立因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件，故选：A9．2021年5月11日，国家统计局发布第七次全国人口普查公报（第二号），公报显示截止2021年5月11日，全国总人口数为人．如果到2049年5月11日全国总人口数超过16亿，那么从2021年5月11日到2049年5月11日的年平均增长率应不低于（

）A． B．C． D．【解析】设增长率为，则，.故选：D10．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（

）A． B． C． D．【解析】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.故选：B二、多选题11．下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（

）A． B．C． D．【解析】对于A：函数是偶函数，在上是增函数，故A正确；对于B：函数是奇函数，故B错误；对于C：是偶函数，在上是增函数，故C正确；对于D：是偶函数，在上是减函数，故D错误.故选：AC12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（

）A． B． C． D．3【解析】对于A，当时，定义域为，不符合题意，故选项A不正确；对于B，当时，的定义域为且为奇函数，故选项B正确；对于C，当时，的定义域为且为偶函数，故选项C不正确；对于D，当时，的定义域为且为奇函数，故选项D正确；故选：BD.13．若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，故选：BD.14．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为减函数C．若，则D．若，则【解析】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；时，，选项C正确；∵函数是上凸函数，∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.故选：AC.15．已知函数的图像经过点，则下列结论正确的有（

）．A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则【解析】将点代入函数得：，则，所以，显然在定义域上为增函数，所以B正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确.当时，，即，所以C正确.若时，==.即成立，所以D正确.故选：BCD16．已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于原点对称C．单调递减区间是 D．在内的值域为【解析】将点代入，可得，则，因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称,单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.故选：BD.三、填空题17．已知幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，写出一个满足条件的__________.【解析】可取，则函数为，函数在区间上是严格增函数，且为奇函数，即图象关于原点成中心对称，所以可取.故答案为：1.（答案不唯一）18．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【解析】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-319．已知幂函数是奇函数，则___________.【解析】由题意得，∴或1，当时，是偶函数；当时，是奇函数.故答案为：1.20．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．请写出一个在上单调递增且图象关于y轴对称的函数：________________．【解析】∵函数在上单调递增且图象关于y轴对称，∴函数可为.故答案为：.21．试写出函数，使得同时满足以下条件：①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．【解析】根据题意可取函数，函数的定义域和值域都是，又，所以函数在上递增，所以函数的解析式可以是.故答案为：.（答案不唯一）22．写出一个具有性质①②③的函数______．①定义域为；②在单调递增；③．【解析】的定义域为，在区间递增，且，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）23．已知，，，则的大小关系为_______．【解析】函数在R上递增，，则，函数为偶函数且在单调递增，，则，综上，.故答案为：.24．设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.【解析】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题25．已知幂函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)设，（i）利用定义证明函数在区间上单调递增．（ii）若在上恒成立，求t的取值范围．【解析】(1)设，则，得，所以．(2)（i）由（1）得．任取，，且，则．因为，所以，，所以，即．所以函数在上单调递增．（ii）由（i）知在单调递增，所以在上，．因为在上恒成立，所以，解得．26．已知幂函数在上单调递增，函数.(1)求的值；(2)当时，记的值域分别为集合，设，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）由幂函数的定义得：，解得或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.（2）由（1）得：，当时，，即.当时，，即，由是成立的必要条件，则，显然，则，即，所以实数的取值范围为.27．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数a的值；(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知，所以，即，，因为是奇函数，所以，即，满足是奇函数，所以成立；(2)由（1）可知，在区间上任意取值，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.28．已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)若函数满足条件

，试求实数的取值范围．【解析】（1）解：因为幂函数的图象经过点，则有，所以，所以；（2）解：因为，所以函数为偶函数，又函数在上递增，且

，所以

，所以，解得，所以满足条件

的实数

的取值范围为

.29．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数的取值范围．【解析】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得，又因为，所以或或，当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；综上所述，.（2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，则由得，即，即，解得，所以满足的实数的取值范围为.30．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.(1)求的值；(2)当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条