（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷05 利用基本不等式求最值（解析版）

第页通关练05利用基本不等式求最值eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．若正实数满足，则的（

）A．最大值为9 B．最小值为9C．最大值为8 D．最小值为8【解析】因为正实数满足，所以，当且仅当，即取等号，所以的最小值为9，无最大值.故选：B2．设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.3．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】当时，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.4．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（

）A． B． C． D．【解析】设矩形的长、宽分别为xm(x≤18)，ym，篱笆的长为lm，则，且，则，当且仅当(m)，符合题意，即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，故选：C．5．已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A6．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．7．已知，，且x+2y=2，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.故选：D8．设实数满足，则函数的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．9．已知a＞0，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．【解析】设，因为，所以当时，，当时，，根据不等式可知或对于，必有即则当时，，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选:D.10．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），所以.故选：B.11．若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D12．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【解析】因为，所以，则，因为，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B.13．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或【解析】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即，解得故选：C.二、多选题14．设，且，则下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【解析】对于选项A，因为，且，则，由，则，即，解得，故A正确，对于选项B，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；对于选项C，，且，则，即，由选项B可得：，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：因为，当且仅当时取等号，故D错误.故选：AC．15．已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为1【解析】由，即，当且仅当时等号.故A错，，进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，令，则，所以，故可化为，整理得，由，得，即，解得或（舍去），C正确，，，当且仅当时等号成立，D错误故选：BC．16．已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【解析】对于A：由，，，则，所以，解得，所以，所以当时，有最小值，故A正确．对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值是，故B正确；对于C：由，，，则，所以，解得，所以，因为，所以，所以，所以，即，故C错误；对于D：，当且仅当，即，时取等号，故D错误；故选：AB17．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为C．若，则D．若实数a，b满足，则的最小值为2【解析】对于A，若，则，A错误；对于B，∵，∴，，∴（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；对于C，∵，∴，，又，（当且仅当，即时取等号），C正确；对于D，令，则，（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．故选：CD18．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C．3 D．【解析】，，即，，当且仅当，即时，等号成立，即，解得：或，选项中满足条件的有ABC.故选：ABC.三、填空题19．已知，若且，则的最大值为___________.【解析】因为且，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为.故答案为：.20．已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是，故答案为：21．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．【解析】因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：1722．若，，，则的最小值为____________.【解析】（当且仅当时等号成立）则的最小值为9故答案为：923．，，且，则的最小值为______.【解析】解法一：因为所以当且仅当时等号成立.解法二：设，，则，所以当且仅当时等号成立.故答案为：24．已知，，且，则的最小值为________.【解析】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12．故答案为：12．四、解答题25．已知集合．(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：．【解析】（1）解：若，又，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，

故的取值范围为．（2）证明：，当且仅当时取等号．26．（1）已知，求的最小值；（2）已知是正实数，且，求的最小值．【解析】（1）∵，即，，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7．，，．当且仅当，即，时取等号．∴的最小值为．27．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】（1）由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：，当且仅当，即时，等号成立，∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月的获利：，因，函数在区间上单调递减，从而得当时，函数取得最大值，即，所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.28．如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．【解析】（1）设苗圃的两边长分别为a，b（如图），则，，当且仅当即时取“=”，故栅栏总长的最小值为200米．（2），而，故，令，则，因式分解为，解得，所以，，当且仅当，即时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米．29．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)求x关于t的函数；(2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生