（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷23 指数型和对数型复合函数的单调性与最值（解析版）

第页通关练23指数型和对数型复合函数的单调性与最值eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．下列函数中，既是偶函数，在上是增函数的是（

）A． B． C． D．【解析】对A：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，而根据幂函数的性质有在上单调递增，所以在上单调递减，故选项A错误；对B：，定义域为，因为，所以函数为奇函数，故选项B错误；对C：定义域为，因为，所以函数为偶函数，又时，根据对数函数的性质有在上单调递减，所以在上单调递增，故选项C正确；对D：，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，故选项D错误.故选：C.2．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【解析】依题意，，解得：，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：C3．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【解析】，，令，解得：，根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.故选：D4．函数在定义域上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．（1，3） C．（1，2） D．【解析】由题意得，解得，所以a的取值范围为，故选：D5．若函数在上有最大值，则实数a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【解析】∵函数在上有最大值，∴，，∴，解得或（舍去）.故选：A.6．设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（

）．A．或 B．或C．或 D．前面三个答案都不对【解析】，故，因为为单调函数，由零点存在性定理得：，解得：或，故选：B．二、多选题7．已知函数，下列说法中正确的是（

）A．若的定义域为R，则B．若的值域为R，则或C．若，则的单调减区间为D．若在上单调递减，则【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．故选：BD8．已知函数，下列说法正确的是（

）．A．函数的图象恒过定点B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上的最小值为0D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是【解析】代入函数解析式，成立，故A正确；当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；当时，，所以，故C正确；当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.故选：ACD三、填空题9．函数的单调减区间是_________.【解析】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.10．函数y=的单调递增区间是____.【解析】由题得函数的定义域为.设函数，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数是单调递减函数，由复合函数的单调性得函数y=的单调递增区间为.故答案为：11．若指数函数在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是______.【解析】由指数函数在R上是严格减函数可知，即故答案为：12．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________．【解析】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.故答案为：13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为____.【解析】函数在上单调递增，函数在上单调递增，且，，解得，即，故答案为：．14．已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．【解析】由函数在区间上单调递增，得函数在区间上单调递减，当时，在区间上单调递减，符合题意．当时，由在区间上单调递减，得，解得：．当时，由在区间上单调递减，得，解得：．综上所述，的取值范围是．15．已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.【解析】函数是由和复合而成，当时单调递增，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递增，且在上恒成立，的对称轴为所以解得：，当时单调递减，若函数（，且）在区间上单调递增，则在上单调递减，且在区间上恒成立，的对称轴为所以解得：，综上所述：a的取值范围是，故答案为：16．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为所以，即故答案为：17．已知是定义在上的增函数，那么实数的取值范围是_____．【解析】由在上为增函数，∴根据解析式得：，解得.故答案为：.18．已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.【解析】由且，所以为偶函数，若时，，而，所以，故在上递增，则上递减，要使成立，即，可得.故答案为：19．已知函数f(x)=(5−a)x−a+1,x<1ax,x≥1，满足对任意都有成立，那么实数【解析】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：．四、解答题20．已知定义在上的奇函数．在时，．(1)试求的表达式；(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）解：是定义在上的奇函数，，因为在时，，设，则，则，故.（2）解：由题意，可化为化简可得，令，，因为在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，，故．21．已知函数，其中．(1)若的最小值为1，求a的值；(2)若存在，使成立，求a的取值范围；(3)已知，在（1）的条件下，若恒成立，求m的取值范围．【解析】（1）令，则，，当时，，解得．（2）存在，使成立，等价于存在，，由（1）可知，，当时，，解得．（3）由（1）知，，则又，则恒成立，等价于恒成立，又，，则等价于即，当且仅当时等号成立．22．已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【解析】（1）由得：，的定义域为.（2）令，在上单调递增；在上单调递减；又在上单调递减，的单调递增区间为；单调递减区间为，，，的值域为.23．已知（其中且）．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．【解析】（1）当时，，即有，所以解得，故实数的取值范围是；（2）因为，则时，．当时，则函数最大值，解得；当时，则函数最大值，解得；综上所述，的取值范围是．24．已知函数的定义域为，且的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数的最大值；(3)求函数的值域．【解析】(1)∵的图象经过点，∴，∴，∴，∴．(2)∵，定义域为，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上单调递减，∴函数的最大值为．(3)，∵函数的定义域为，∴，解得，∴函数的定义域为，∵对勾函数在上单调递增，而函数是增函数，∴函数在上单调递增，∴，，∴函数的值域为．25．设函数.(1)若，求使不等式恒成立的t的取值范围；(2)若，，且在上的最小值为，求m的值.【解析】(1)当时，函数，定义域为，∵，∴为奇函数，∵为单调递减函数，为单调递增函数，∴为上的单调递减函数，不等式，可变为，又为上的单调递减函数，∴，即恒成立，∴，即，解得，故的取值范围是(－3，1)；(2)由，可得，解得，∴，令，当时，，∴，①当时，，解得(舍去)；②当时，，解得．综上所述，．26．已知函数为偶函数.(1)判断在上的单调性并证明；(2)求函数在上的最小值.【解析】(1)为偶函数，，即，，则.所以.在为增函数,证明如下：任取，，且，，，，，.即，在上单调递增.(2)，令，结合题意及（1）的结论可知.，.①当时，；②当时，；③当时，.综上，.27．已知函数（且）.(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若且在上最小值为，求m的值.【解析】(1)解：函数的定义域为，又，∴为奇函数.(2)解：，∵，∴，或（舍）.∴单调递增.又∵为奇函数，定义域为R，∴，∴所以不等式等价于，，，∴.故的取值范围为.(3)解：，解得（舍），，令，∵，∴，，当时，，解得（舍），当时，，解得（舍），综上，.28．已知函数是定义在上的偶函数，函数.(1)求实数的值；(2)若时，函数的最小值为.求实数的值.【解析】(1)的定义域为，为偶函数，所以，.(2)由（1）得..令，结合二次函数的性质可知：当时，时，最小，即，解得，舍去.当时，时，最小，即，解得（负根舍去）.当时，时，最小，即，解得，舍去.综上所述，.29．已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，即：，则不等式的解集为．（2）∵由条件：∴∴恒成立∵．即的取值范围是．30．已知，函数(1)若函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【解析】（1）解：因为函数过点，即，解得，故；（2）因为是复合函数，设，，，在区间单调递增，单调递增，故函数在区间上单调递增，，由题意对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，，只需即可，因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，故在单调递减，故，故.31．已知函数．(1)求的单调区间及最大值．(2)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)由得：，的定义域为；，令，则在上单调递增，在上单调递减，又在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；由单调性可知：.(2)在上恒成立，，即，在上恒成立，；令，则在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.32．已知函数（，且）.(1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意可得，即，因为，所以解得.故的定义域为.(2)假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.设函数，由，得，所以在区间上为减函数且恒成立，因为在区间上单调递减，所以且，即.又因为在区间上的最大值为1，所以，整理得，解得.因为，所以，所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为133．已知函数是奇函数，且.(1)求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；(2)已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.【解析】（1）函数的定义域为，是奇函数，且，且又.经检验，满足题意，故.当时，时等号成立，当时，单调递减；当时，单调递增.（2）①当时，是减函数，故当取得最小值时，且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，所以.②当时，是增函数，故当取得最大值时，且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，所以.综上所述，或.34．已知实数x满足．(1)求x的取值范围；(2)在（1）的条件下，若函数（且）的最小值为1，求a的值．【解析】(1)原不等式可化为即，所以所以(2)（法一）设则是上的减函数根据题意，，，所以．此时是上的增函数，所以在单调递减所以，当时，所以，解得（舍）或（法二）设则是上的减函数若，因为是上的减函数，所以是上的增函数所以，因为，所以此方程无解若，因为是上的增函数，所以是上的减函数所以所以，解得（舍）或综上，．35．已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为，求的零点；(2)若函数在的最大值是11，求实数a的值；(3)定义：区间的长度为．若在任意的长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，求实数a的最小值．【解析】（1）由已知可得，ax2+x+1=0的两根是-3，b，所以，解得，所以的零点是-