（人教A版）高一数学下学期开学摸底测试卷（教师版）

第页高一下学期开学摸底测试卷第I卷(选择题共60分)一、单项选择题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分别求解出、两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】由于，故，，，即，故，因此，即.故选：C2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三角函数的值以及充分必要条件的定义即可得出结果.【详解】易得当“”时，“”，即；当“”时，可以是“”，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】AD选项不是奇函数，B选项不满足在上单调递增，C选项满足要求.【详解】，故不是奇函数，A错误；为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；，在上单调递增，且定义域为R，，故为奇函数，满足要求，C正确；定义域为R，且，故不是奇函数，D错误.故选：C4．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出，，然后再利用商的关系即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，解得：或，则或，因为，所以，，则，故选：.5．若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为A． B． C． D．【答案】D【分析】先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得选项.【详解】因为，所以，又函数的最小正周期为，解得.，令，解得，取，可得图象的一条对称轴为.故选：D.6．已知正数，满足，则的最小值为（

）A．10 B．12 C．18 D．24【答案】D【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值.【详解】，所以，因为a，b为正数，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.7．设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由于是上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.【详解】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则.故选：B8．如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果.【详解】如图，由题意知，，因为圆的半径，所以，所以，所以，即点.故选：D二、多项选择题9．下列结论正确的是（

）A．命题“”的否定是假命题.B．“”是“”的充分不必要条件.C．已知则.D．函数的最小值为2.【答案】BC【分析】本题考查充分必要条件的判断，不等式的性质以及函数最值的求法，根据选项，逐一判断.【详解】A选项，原命题当时为假命题，故A错误.B选项，由，解得或，所以”是“”的充分不必要条件.，B正确.C选项，，故C正确.D选项，=，令，，因为函数在单调递增，所以，故D错误.故选：BC10．已知，令，则下列结论正确的有（

）A．若有个零点，则 B．恒成立C．若有个零点，则 D．若有个零点，则【答案】AD【分析】作出的图象，将的零点个数转化为函数与的图象的交点的个数，结合图象逐一判断即可.【详解】解：，作出的图象，如图所示：因为，所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数，对于：若有个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故正确；对于：由图象得恒成立，故B错误；对于：若有个零点，则函数与的图象有三个公共点，由图象得或者，故C错误；对于：若有个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确.故选：．11．下列命题正确的有（

）A．函数有1个零点. B．的最大值为1C．与是同一函数. D．是奇函数.【答案】ABD【分析】先判断函数的单调性，又因为，，结合零点的存在性定理，即可判断A选项；令，根据指数函数的图象和性质，可知在定义域内单调递增，从而可求出函数的最大值，即可判断B选项；分别求出对数型函数的定义域，并结合同一函数的定义，即可判断C选项；先求出函数的定义域，再利用定义法判断函数的奇偶性，即可判断D选项.【详解】解：对于A，可知的定义域为，因为在上为增函数，在定义域内为增函数，在上为增函数，又因为，，所以有1个零点，故A正确；对于B，令，则在定义域内单调递增，，当且仅当时，即时取等号，的最大值为1，故B正确；对于C，的定义域为，的定义域为，所以两个函数的定义域不同，故它们不是同一函数，故C不正确；对于D，由可解得：或，所以的定义域为，关于原点对称，又，所以，故是奇函数，故D正确.故选：ABD.三、填空题12．函数的定义域为___________．【答案】【分析】由题意需满足，解出即可.【详解】可看出，要使得有意义，需满足，即解得且，即的定义域为．故答案为：.13．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________.【答案】【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值.【详解】解：函数的图象如下，当时，令，得舍，，当时，令，得，舍，结合图象可得故答案为：14．已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为______．【答案】②【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】解：因为，所以的最小正周期为，故①不正确；因为，令，而在上递增，所以在上单调递增，故②正确；因为，所以，，所以，故③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④不正确．故答案为：②．四、解答题15．化简并求值（1）求的值.（2）已知，且是第三象限角，求的值.【答案】（1）3；（2）－.【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可；（2）应用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化简为sinα＋cosα，再根据已知及与sinα＋cosα的关系，求值即可.【详解】（1）.（2）原式＝－＝－＝－＝＝sinα＋cosα.∵sinαcosα＝，且α是第三象限角，∴sinα＋cosα＝－＝－＝－＝－.16.已知函数f（x）=cos（2x-）．（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数f（x）在一个周期上的图象；（2）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（3）如何由y=cosx的图象变换得到f（x）的图象．2x-0π2πxf（x）【答案】（1）详见解析（2）f（x）的单调减区间为：（+kπ，+kπ），k∈Z，对称中心为（+，0），k∈Z；（3）详见解析【分析】（1）利用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（2）利用余弦函数的单调性和对称性即可得解．（3）由条件利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】（1）列表如下：2x-0π2πxf（x）0-0画图如下：（2）令2kπ＜2x-＜π+2kπ，k∈Z，得：+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为：（+kπ，+kπ），k∈Z，令2x-=+kπ，k∈Z，得：x=+，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z，（3）图象先向右平移个单位长度再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，最后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍17．已知函数，(1)求函数的最小正周期和单调增区间；(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数m的值；(3)若，求的值．【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为(2)1(3)【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而利用求出最小正周期，利用整体法求出单调递增区间；（2）由得到，确定的最小值为，列出方程，求出m的值；（3）由得到，利用诱导公式和余弦二倍角公式求出答案.【详解】（1），所以的最小正周期，令，解得：，故的单调递增区间为；（2），则，则，故当且仅当时，取得最小值，最小值为，故，解得：；（3），故，则.18．已知函数，其中且(1)求的值并写出函数的解析式；(2)求函数的定义域，再判断并证明函数的奇偶性；(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．【答案】(1)，；(2),奇函数，证明见解析；(3)【分析】（1）由，代入解析式即可解得和函数的解析式（2）由解得定义域，验证定义域的对称性及奇偶性的定义即可得到奇偶性的结果.（3）结合函数的单调性及，求解即可.【详解】（1）由，，解得，.（2）由得，，解得，所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称，又，即，所以函数在上为奇函数.（3）由在定义域上单调递减，，得，又，所以.19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为k），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼蓝的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼蓝的覆盖面积是元旦放入凤眼蓝面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）．【答案】（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.【分析】（1）由凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时