2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项表述正确的是（）A.3，6，1 B.3，1，6 C.，6， D.3，0，1【答案】C【解析】【分析】把一元二次化为一般形式即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．【详解】解：一元二次方程化为一般形式为或，故二次项系数、一次项系数和常数项分别为，6，或3，，1，故选：C2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可．【详解】抛物线解析式的顶点式为：，则其顶点坐标为：，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.不解方程，判别一元二次方程的根的情况正确的是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定．【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式，把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．【详解】解：，，，方程无实数根．故选：C．4.一元二次方程用配方法解，配方结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先将二次项系数化为1和移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变成完全平方式，本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为1；等边两边同时加上一次项系数一半的平方；写成完全平方式；是解此题的关键．【详解】解：，，，，即，故选：A．5.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移1个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移1个单位【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可求解．【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线．故选：B6.如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标．【详解】解：四边形为菱形，，，又点为坐标原点，点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，点A的坐标为，点B的坐标为，点坐标为，点坐标为．故选：B．7.二次函数的图象所示，则一次函数的图象一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由二次函数的图象得出，，从而即可判断一次函数的图象经过一、二、四象限，得到答案，本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象得出，，采用数形结合的方法是解此题的关键．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线对称轴在轴右边，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．8.如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，又∵为直径，即，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．9.函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】选项A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；选项B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；选项C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；选项D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．10.我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”.若关于的二次函数对于任意的常数恒有两个“好点”，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由“好点”A的横、纵坐标相等，可得x=y=ax2+tx-2t（a≠0），△=（t-1）2+8at＞0，整理得：t2+（8a-2）t+1＞0，若不等式t2+（8a-2）t+1＞0成立，则关于t的一元二次方程t2+（8a-2）t+1=0无解，根据△′=（8a-2）2-4＜0即可求解．【详解】∵“好点”A的横纵坐标相等，∴x=y=ax2+tx-2t（a≠0），∴ax2+（t-1）x-2t=0（a≠0），∴△=（t-1）2+8at＞0，整理得：t2+（8a-2）t+1＞0，不等式t2+（8a-2）t+1＞0成立，则关于t的一元二次方程t2+（8a-2）t+1=0无解，即△′=（2-8a）2-4＜0，解得：0＜a＜，故选B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，综合性较强，有一定难度．解题时学生需熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．11.钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_________度．【答案】60【解析】【分析】本题考查的是图形的旋转问题中钟表时针与分针的夹角，在钟表问题中，应明确钟表分12个大格，每个大格之间的夹角为进而计算即可．【详解】钟表时针转动一周的角度为，平均分成12个刻度，每两个刻度的角度为，所以从3时到5时，转动两个刻度，角度为．故答案为：60．12.如果是方程的一个根，这个方程的另一个根为______．【答案】x=-2【解析】【分析】设方程的另一个根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2=0，即可求出另一个根.【详解】设方程的另一个根为x2，则2+x2=0，解得x2=-2，故答案为：x=-2.【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并运用解决问题是解题的关键.13.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝__________.【答案】7或－1##-1或7【解析】【详解】根据题意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，∴m的值为7或-1．故答案为：7或-114.如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．【答案】【解析】【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．15.设二次函数（，m，k是实数），现有以下四个结论：①抛物线与x轴交点横坐标分别为、；②当时，函数y的最小值为；③当时，直线（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点；④当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴，其中正确的有．【答案】①②③④【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程关系，一次函数与二次函数交点问题，一元一次不等式组．求出抛物线与x轴交点坐标即可对①作出判断；将代入解析式，求出求出最小值，从而对②作出判断；将代入解析式，与直线联立组成方程，根据方程解的情况，即可对③作出判断；将代入解析式，用m的代数式表示出抛物线与y轴交点，根据抛物线与y轴交点在负半轴列不等式求解，即可对④作出判断．【详解】解：令，得，解得：或，∴抛物线与x轴交点的坐标分别为、，故①正确；当时，二次函数为，即，∵，∴函数y有最小值为，故②正确；当时，二次函数为，其与直线联立，得，整理，得，，∴直线（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点，故③正确；当时，二次函数为，当时，，要保证抛物线与y轴交点在负半轴，则，即，此时无解，或，解得，故④正确．综上，正确的有：①②③④．故答案为：①②③④．16.如图，菱形的边，高，F是边上一动点，将四边形沿直线折叠，A点的对应点为P，当的长度最小时，的长为_________．【答案】4【解析】【分析】根据题意画出对应图形，由可推出，确定当三点共线时，的长度最小；画出三点共线时的图形，即可求解．【详解】解：如图1：由题意得：，，，∴，∴，，，即：，故当三点共线时，的长度最小，且最小值为，如图2：则有，∵，∴，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，综合性较强．根据题意画出对应图形，推出当三点共线时，的长度最小是解题关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17.解方程：【答案】，【解析】【分析】根据配方法以及公式法即可解一元二次方程．【详解】解：（解法一）移项、配方得：∴∴∴∴，（解法二）解：∵，∴∴方程有两个不相等的实数根∴，∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．18.如果一个二次函数图象经过、、三个点，那么请解决以下问题：（1）求这个二次函数解析式；（2）若这个二次函数解析式表示为（，a、b、c为常数），则①时，自变量x的取值范围为_________；②时，方程的两根分别为_________；③时，自变量x的取值范围为_________．【答案】（1）（2）①全体实数；②；③【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）①把二次函数配方为顶点式，根据抛物线都在轴上方解题即可；②解方程求出值即可；③在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线，借助图象求出不等式的解集即可．【小问1详解】设这个二次函数解析式为，将、、代入解析式得：，解得：，∴这个二次函数解析式为，【小问2详解】①，∴开口向上，最小值为，∴时，自变量x的取值范围为全体实数，故答案为：全体实数；②解方程得：；故答案为：；③抛物线和直线的图象如图所示，借助图像可知：时，自变量x的取值范围为，故答案为：；【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．19.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积．【答案】，最大面积【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，根据，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：设，则，，当时，最大，，最大面积为．20.已知，圆内接四边形的对角线交于点，平分．（1）如图1，求证：是圆的直径；（2）如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求半径的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，由圆周角定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理可得得出，即可得证；（2）由圆周角定理结合已知可得，设，则，由平行线的性质可得，从而得到，推出，由垂径定理的推论可得，再由含角的直角三角形的性质进行计算，求出的长即可得到答案．【小问1详解】证明：平分，，，，，，，，即，是直径；【小问2详解】解：，，，，设，则，，，，，，，，即为中点，为直径，，，，，，，，，即半径长为4．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、角平分线定义、平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识点．同弧所对的圆周角相等；角形内角和为；直线平行，同旁内角互补；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．21.如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都在格点，点在格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．（1）在图1中画出将三角形绕点顺时针旋转得到的三角形，使、点分别对应、点；（2）在图1中画出将三角形绕O点逆时针旋转得到的三角形PMN，使、、分别对应、、点；（3）在图2中画的平分线，交于点；（4）在图3中画三角形的外接圆圆心点．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】（1）根据图形旋转的定义即可得到答案；（2）根据图形旋转的定义即可得到答案；（3）根据等腰三角形“三线合一”即可得到答案；（4）根据三角形的外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，即可得到答案．小问1详解】解：由题可得，即为所求，如下图所示：小问2详解】解：由题可得，即为所求，如上图所示；【小问3详解】解：由题可得，的平分线如下图所示：【小问4详解】解：由题可得：三角形的外接圆圆心点，如图所示：【点睛】本题考查了三角形的有关作图，熟练掌握角平分线的作图方法，三角形外接圆圆心的确定方法，图形旋转的定义：“确定旋转中心和旋转方向”是解此题的关键．22.某商店经营某种小商品，该商品的进价为10元/件，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数．（1）当每周销售利润为8元时，求这种商品的售价；（2）若某周该商品的销售量不少于8件，求这周该商店销售这种商品获得的最大利润；（3）若商品的进价每件提高m元（），为了加大销量，商店决定亏本销售，商店发现这种商品售价不超过进价的时，该商店每周销售这种商品的利润会随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）11元或14元（2）8元（3）【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；（2）设每周销售的利润为W元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解；（3）根据题意可得，设每周销售的利润为元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再由该商店每周利润随售价的增大而增大，得到，再由销量，可得，即可求解．【小问1详解】解：根据题意得：，解得：，即这个商品的售价为11元或14元；【小问2详解】解：设每周销售的利润为W元，根据题意得：，由题意得，，当时，，即最大利润为8元；【小问3详解】解：该商品的售价不超过进价的，，设每周销售的利润为元，根据题意得：，抛物线的对称轴为直线：，该商店每周利润随售价的增大而增大，，解得：，销量，，即，，，又，∴m范围为．23.问题呈现：如图1，在中，，以为边向外作等边，求的长．操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图，进而联想到自己非常熟悉的图模型，以为边作等边，连．(1)如图3，直接写出与间的数量关系_________；(2)如图1，求的长．理解运用：(3)根据以上探索，如图4，在四边形中，．若，，求的长．延伸拓展：(4)已知，如图5，为正内一点，．直接写出以，、为边构成的三角形各个内角的度数．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，，【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得即可；（2）以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，由可证，可得，利用勾股定理可求，，即可求解；（3）连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接，证明，得，然后证明，根据勾股定理求出，进而可以解决问题；（4）将绕点顺时针旋转得，可以证明是等边三角形则，则就是以，，三边为边的三角形，然后分别求出的三个内角的度数即可．【详解】解：（1），理由如下：AI与是等边三角形，，，，，即．在和中，，，，故答案为：；（2）如图，以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，AI与是等边三角形，，，，，即．在和中，，，，，，，，，，，，，；（3）如图，连接，在四边形的外部以为一边作等边，连接，在中，，，是等边三角形，，，又是等边三角形，，，，即，)，，是等边三