部编版八年级下册数学期末试卷培优测试卷

部编版八年级下册数学期末试卷培优测试卷一、选择题1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣12．如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上答案都不对3．下列说法不正确的是（）．A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有三个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形4．一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差5．在棱长为1的正方体中，顶点A，B的位置如图所示，则A、B两点间的距离为（）A．1 B． C． D．6．若菱形的周长为16，一组对边之间的距离为2，则菱形两邻角的度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为（）A．5 B．1 C．4 D．68．如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（）A． B． C．2 D．2二、填空题9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．10．已知菱形的两条对角线长为和，菱形的周长是_______，面积是________．11．如图，在和中，，点在上.若，，，则______.12．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为．则的值为______．13．已知A（﹣2，2），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为_____14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，点是坐标平面内的任意一点．若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点的坐标为__________．15．直线y＝x+3与两坐标轴围成的三角形面积是__________________．16．如图，△中，，，，点，，分别是边，，的中点；……以此类推，则第100个三角形的周长是______．三、解答题17．计算（1）（2）（3）（4）18．如图，在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，发现B在O的南偏东45°的方向上．问：此时快艇航行了多少米（即AB的长）？19．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．（1）小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路；（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角．20．已知：在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝6，AB＝4，EF⊥AC，求BF的长．21．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简（1），（2）．22．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表．A型（台）B型（台）总进价（元）第一次203090000第二次102055000（1）求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？（2）已知商场第三次购进A型和B型电视机共40台，A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售，设购进A型电视机a台，销售完这40台电视机商场可获利W元．①求出利润W与a的函数关系式；②若利润为31600元，此时应购进A型和B型电视机各名少台？23．（1）（教材呈现）如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图1，补全证明过程．（2）（应用）如图2，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，则折痕的长为______．（3）（拓展）如图3，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边、于点、，若，，，则四边形的面积是______．24．如图，直线1与直线m交于点Q，直线m与坐标轴分别交于A、B两点，直线l与y轴交与点C，已知B、C两点关于x轴对称且BC＝6．（1）求直线l和直线m的解析式；（2）若P为直线l上一动点，S△PAB＝S△OAB，求点P的坐标；（3）M为直线l上一动点，N为平面内一点，直接写出所有使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．25．矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE=CF=1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE=CF=0.5，，且四边形EMFN为矩形，求x的值．【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，故选B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.2．A解析：A【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【详解】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝，AC＝，AB＝，在△ABC中，∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点睛】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．3．B解析：B【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；D、有一组邻边相等的矩形是正方形，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．4．A解析：A【解析】【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论．【详解】解：A、原来数据的众数是1，加入一个整数a后众数仍为1，符合题意；B、原来数据的平均数是，加入一个整数a，平均数一定变化，不符合题意；C、原来数据的中位数是3，加入一个整数a后，如果a≠3中位数一定变化，不符合题意；D、原来数据的方差加入一个整数a后的方差一定发生了变化，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝，可得：AB＝，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．6．B解析：B【解析】【分析】先证明△AEF是等边三角形，可求∠B的度数，可求∠DAB的度数，即可求解．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，取AB中点F，连接EF，∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为16，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵点F是AB中点，AE⊥BC，∴AF＝BF＝EF＝2，∵AE＝2，∴AF＝EF＝AE，∴△AEF是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠B＝30°∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠B＝180°，∴∠DAB＝150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°＝5：1，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，能求出∠B的度数是解决问题的关键．7．A解析：A【解析】【分析】根据正方形的性质，可求出正方形的面积，从而确定边长，然后在Rt△BCE中利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴，，∴，∴正方形的边长，在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，∴，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，理解正方形的性质以及熟练运用勾股定理是解题关键．8．B解析：B【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=，则对角线BD为22，当点P在线段AC上运动时，yAPBDx，即可求解．【详解】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC，则对角线BD为22，当点P在线段AC上运动时，yAPBDx，由图2知，当x时，y＝a，即a，解得：a，故选：B．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题9．【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：，解得：；故答案为．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．10．A解析：24【解析】【分析】首先根据题意画出图形,然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3,再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．【详解】解：如图,菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，∴AB==5，∴C菱形的周长=5×4=20，S菱形ABCD=×6×8=24，故菱形的周长是20，面积是24．故答案为：20；24．【点睛】本题考查了菱形的周长和性质得求法，勾股定理，属于简单题，熟悉菱形的性质和菱形求面积的特殊方法是解题关键．11．A解析：5【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度.【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌△EDB，∴DE=AB=5.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质.熟记全等三角形对应边相等是解决此题的关键.12．A解析：【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根，即可到的值．【详解】解：∵AB=6，BC=8，∴矩形ABCD的面积为48，，∴AO=DO==5，∵对角线AC，BD交于点O，∴，∵，，∴，即12=，∴12，∴，∴故答案：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．13．A解析：（-0.4，0）【分析】点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），求得直线A'B的解析式，令y=0可求点P的横坐标．【详解】解：点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），设直线A'B的解析式为y=kx+b，把A'（-2，-2），B（2，3）代入，可得，解得，∴直线A'B的解析式为y=x+，令y=0，则0=x+，解得x=-0.4，∴点P的坐标为（-0.4，0），故答案为（-0.4，0）．【点睛】本题综合考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短等知识点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．D解析：或或【分析】因为点是坐标平面内的任意一点．若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形，而△ODP是腰长为5的等腰三角形有三种情况，要分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形，而当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；【点睛】本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．15．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线y＝x+3与两坐标轴围成的三角形面积．【详解】解：当x＝0时，y＝3，∴直线解析：【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线y＝x+3与两坐标轴围成的三角形面积．【详解】解：当x＝0时，y＝3，∴直线y＝x+3与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，x+3＝0，解得：x＝﹣3，∴直线y＝x+3与x轴的交点坐标为（﹣3，0）．∴直线y＝x+3与两坐标轴围成的三角形面积为×|﹣3|×3＝．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．16．【分析】由三角形中位线定理得，，，分别为，，的，所以△等于△周长的一半，依次类推可求出结论．【详解】∵，，，∴△的周长是16，∵点，，分别是边，，的中点，∴，，分别为，，的，…，解析：【分析】由三角形中位线定理得，，，分别为，，的，所以△等于△周长的一半，依次类推可求出结论．【详解】∵，，，∴△的周长是16，∵点，，分别是边，，的中点，∴，，分别为，，的，…，依次类推，则△的周长是，∴△的周长是=．故答案为：．【点睛】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化总结出△的周长是是解题的关键．三、解答题17．（1）1；（2）；（3）0；（4）．【分析】（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；（4）先解析：（1）1；（2）；（3）0；（4）．【分析】（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；（4）先运用零次幂、二次根式的性质、完全平方公式化简，然后再计算即可．【详解】解：（1）===4-3=1；（2）==；（3）=5-7+2=0；（4）===．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握分母有理化、二次根式的性质成为解答本题的关键．18．快艇航行了（500+500）米．【分析】先根据题意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，从而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解析：快艇航行了（500+500）米．【分析】先根据题意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，从而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：如图：在直角△AOC中，∠AOC＝30°，OA＝1000米，∴AC＝OA＝500米，∴米，∵∠FOB=45°，∴∠COB=45°，∴OC=BC=米∴AB＝500+（米）．答：快艇航行了（500+）米．【点睛】本题主要考查了勾股定理，方位角，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.【详解解析：（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.【详解】解：（1）∵，，，∴，∴是直角三角形，∴．（2）过A点作于，过作于，由图可知：，，，在和中，，∴≌（SAS），∴，在中，，∴，∴，∵，，三点共线，∴，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．（1）见解析；（2）BF【分析】（1）在矩形ABCD中，根据DE＝BF，可得AE＝CF，AE∥CF进而证明四边形AFCE为平行四边形；（2）根据EF⊥AC，可得四边形AFCE为菱形；根据AD＝解析：（1）见解析；（2）BF【分析】（1）在矩形ABCD中，根据DE＝BF，可得AE＝CF，AE∥CF进而证明四边形AFCE为平行四边形；（2）根据EF⊥AC，可得四边形AFCE为菱形；根据AD＝6，AB＝4，AE＝AF＝FC＝AD﹣DE，即可在Rt△ABF中，根据勾股定理，求BF的长．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC又∵DE＝BF，∴AE＝CF，AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：∵EF⊥AC，∴□AFCE是菱形，∴AF＝CF在矩形ABCD中，∠B＝90°BC＝AD＝6，又AB＝4，设BF＝x，则AF＝CF＝6－x，在Rt△AFB中，∴，解得即BF．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．21．（1）1+；（2）.【解析】【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.解析：（1）1+；（2）.【解析】【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.22．（1）该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000元．（2）①W＝﹣700a+40000．②应购进A型电视机12台，B型电视机28台．【分析】（1）设该商场购进型电视机的单解析：（1）该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000元．（2）①W＝﹣700a+40000．②应购进A型电视机12台，B型电视机28台．【分析】（1）设该商场购进型电视机的单价为元，型电视机的单价为元，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设购进型电视机台，销售完这40台电视机商场可获利元，则购进型电视机台，根据获得的总利润销售每台电视机获得的利润销售数量，即可得出关于的函数关系式；②代入，即可求出的值，再将其代入中即可求出结论．【详解】解：（1）设该商场购进A型电视机的单价为x元，B型电视机的单价为y元，依题意得：，解得：．答：该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000元．（2）①设购进A型电视机a台，销售完这40台电视机商场可获利W元，则购进B型电视机（40﹣a）台，依题意得：W＝（2000×0.9﹣1500）a+（3750×0.8﹣2000）（40﹣a）＝﹣700a+40000．②当W＝31600时，﹣700a+40000＝31600，∴a＝12，∴40﹣a＝28．答：此时应购进A型电视机12台，B型电视机28台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）①根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；②代入的值，求出与之对应的值．23．（1）见解析；（2）；（3）【教材呈现】由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；解析：（1）见解析；（2）；（3）【教材呈现】由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；【应用】过点F作FH⊥AD于H，由折叠的性质可得AF=CF，∠AFE=∠EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，【拓展】过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN=BN=2，由勾股定理可求AE=AF=，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF=CF，∠AFE=∠EFC，∵AF2=BF2+AB2，∴，∴，∴AF=CF=，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，∴AE=AF=，∵∠B=∠BAD=∠AHF=90°，∴四边形ABFH是矩形，∴AB=FH=6，AH=BF=，∴EH=，∴EF=，故答案为：；（3）如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，∴∠ABC=135°，∴∠ABN=45°，∵AN⊥BC，∴∠ABN=∠BAN=45°，∴AN=BN=AB=1，∵将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF=CF，∠AFE=∠EFC，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，∴AE=AF，∵AF2=AN2+NF2，∴AF2=1+（3AF）2，∴AF=，∴AE=AF=，∴四边形的面积是：；故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．24．（1）直线l的解析式为，直线m的解析式为；（2）P（，）或P（，）；（3）N1（，）或N2（，）或N3（，）或N4（，）或N5（，）【解析】【分析】（1）根据B、C两点关于x轴对称且BC＝6，解析：（1）直线l的解析式为，直线m的解析式为；（2）P（，）或P（，）；（3）N1（，）或N2（，）或N3（，）或N4（，）或N5（，）【解析】【分析】（1）根据B、C两点关于x轴对称且BC＝6，得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法求解函数解析式即可；（2）先求出A点和B点的坐标，从而求出三角形AOB的面积，即可得到三角形PAB的面积，过点P作PD∥y轴，交直线m于D，根据三角形PAB的面积可以得到PD的长度，即可求解；（3）利用菱形的对角线互相平分和邻边相等的性质进行分类讨论求解即可.【详解】解：（1）∵B、C两点关于x轴对称且BC＝6，∴B（0，3），C（0，-3），设直线l的解析式为，直线m的解析式为，∵直线l经过Q（，），C（0，-3），∴，解得：，∴直线l的解析式为，直线m的解析式为；（2）过点P作PD∥y轴，交直线m于D，∵直线m的解析式为与x轴交于A点，∴A（4，0），∴OA=4，∴，∵，∴，∵，∴,∴，设P（a，3a-3），则D（a，），∴，∴∴解得或∴P（，）或P（，）；（3）设M（m，3m-3），N（p，q），A（4，0），B（0，3），①如图，以AB为对角线时，AM=AN，由菱形的对角线互相平分得，解得，∵AM=AN，∴，解得，∴N