重难点解析四川师范大学附属第一实验中学7年级数学下册第四章三角形综合测试试卷（含答案详解）

四川师范大学附属第一实验中学7年级数学下册第四章三角形综合测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（10小题，每小题2分，共计20分）1、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE2、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A＝70°，∠B＝63°，且∠ACD＝133°（量角器测量所得）又∵133°＝70°+63°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．证法2：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．下列说法正确的是（）A．证法1用特殊到一般法证明了该定理B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理3、根据下列已知条件，能画出唯一的的是（）A．， B．，，C．，， D．，，4、如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则的面积是（）A． B．1 C．5 D．5、如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6、如图，已知∠BAC=∠ABD=90°，AD和BC相交于O．在①AC=BD；②BC=AD；③∠C=∠D；④OA=OB．条件中任选一个，可使△ABC≌△BAD．可选的条件个数为（）A．1 B．2 C．3. D．47、尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8、如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（）A．40° B．45° C．50° D．55°9、以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10、将一副三角板按如图所示的方式放置，使两个直角重合，则∠AFD的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、如图，ABDC，ADBC，AC与BD交于点O，EF经过点O，与AD、BC分别交于点E和F，则图中共有___对全等三角形．2、已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝________．3、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动_____分钟后，△CAP与△PQB全等．4、如图，AC，BD相交于点O，若使，则还需添加的一个条件是_____________．(只要填一个即可)5、如图，AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，若△ABC的面积是20cm2，则S△ABF＝_____cm2．6、如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为_____．7、如图，在中，D、E分别为AC、BC边上一点，AE与BD交于点F．已知，，且的面积为60平方厘米，则的面积为______平方厘米；如果把“”改为“”其余条件不变，则的面积为______平方厘米（用含n的代数式表示）．8、如图，△ABC的面积等于35，AE＝ED，BD＝3DC，则图中阴影部分的面积等于_______9、如图，∠ABD＝80°，∠C＝38°，则∠D＝___度．10、如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请说明理由．2、如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C，D间的距离为90m，求在A点处小明与游艇的距离．3、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角．求作：射线OC，使．作法：如图，①在射线OA上任取一点D；②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；④作射线OC．则OC为所求作的射线．完成下面的证明．证明：连接CD，CE由作图步骤②可知______．由作图步骤③可知______．∵，∴．∴（________）（填推理的依据）．4、如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．5、李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF．6、已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下：解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，∴∠CBD＝∠CEA．又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BECB．又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，∴BD＋ABCB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF，A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．2、D【分析】利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，证法2才是用严谨的推理证明了该定理，故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.3、C【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．【详解】解：A．∠C=90°，AB=6，不符合全等三角形的判定方法，即不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C．，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；D．3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．4、B【分析】根据三角形面积公式由点为的中点得到，同理得到，则，然后再由点为的中点得到．【详解】解：点为的中点，，点为的中点，，，点为的中点，．故选：．【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．5、C【分析】根据全等三角形的性质及判定在图中作出符合条件的三角形即可得出结果．【详解】解：如图所示：与BC边重合且与全等的三角形有：，，，与AC边重合且与全等的三角形有：，与AB边重合且与全等的三角形有：，共有5个三角形，故选：C．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题关键．6、D【分析】先得到∠BAC=∠ABD=90°，若添加AC=BD，则可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；若添加BC=AD，则可利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，若添加∠C=∠D，则可利用“AAS”证明△ABC≌△BAD；若添加OA=OB，可先根据“ASA”证明△AOC≌△BOD得∠C=∠D，则可利用“AAS”证明△ABC≌△BAD．【详解】解：在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD故选AC=BD可使△ABC≌△BAD．∵∠BAC=∠ABD=90°，∴△ABC和△BAD均为直角三角形在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD故选BC=AD可使△ABC≌△BAD．在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD故选∠C=∠D可使△ABC≌△BAD．∵OA=OB∴∵∠BAC=∠ABD=90°，∴在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD∴在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD故选OA=OB可使△ABC≌△BAD．∴可选的条件个数有4个故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”．7、A【分析】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB．【详解】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，所以∠A′OB′＝∠AOB．故选：A．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．8、C【分析】首先根据△ABC≌△EDC得到∠E＝∠BAC，然后由三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△EDC，∴∠E＝∠BAC，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠DAB＝∠ACE＝50°，故选：C．【点睛】此题考查了三角形全等的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，三角形外角的性质．9、C【分析】根据三角形三条边的关系计算即可．【详解】解：A.∵2+4=6，∴，，不能组成三角形；B.∵2+5<9，∴，，不能组成三角形；C.∵7+8>10，∴，，能组成三角形；D.∵6+6<13，∴，，不能组成三角形；故选C．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．10、B【分析】根据三角板各角度数和三角形的外角性质可求得∠BFE，再根据对顶角相等求解即可．【详解】解：由题意，∠ABC=60°，∠E=45°，∵∠ABC=∠E+∠BFE，∴∠BFE=∠ABC－∠E=60°－45°=15°，∴∠AFD=∠BFE=15°，故选：B．【点睛】本题考查三角板各角的度数、三角形的外角性质、对顶角相等，熟知三角板各角的度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．二、填空题1、6【分析】根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC，根据全等三角形的判定定理ASA可以推出△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出AD=CB，AB=CD根据全等三角形的判定定理AAS推出△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，根据全等三角形的性质定理得出AO=CO，BO=DO，根据全等三角形的判定定理ASA推出△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF即可．【详解】解：∵ABDC，ADBC，∴∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(ASA)，∴AD=CB，AB=CD，同理△ABD≌△CDB，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(AAS)，同理△AOD≌△COB，∴AO=CO，BO=DO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF同理△DOE≌△BOF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的性质等知识点，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS两直角三角形全等还有HL等，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．2、【分析】首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可．【详解】解：∵是的三条边，∴，∴=．故答案为：．【点睛】熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错．|a＋b－c|＋|b－a－c|3、4【分析】根据题意CA⊥AB，DB⊥AB，则，则分或两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可【详解】解：CA⊥AB，DB⊥AB，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m，设运动时间为，且AC＝4m，，当时则，即，解得当时，则，即，解得且不符合题意，故舍去综上所述即分钟后，△CAP与△PQB全等．故答案为：【点睛】本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．4、OA=OD或AB=CD或OB=OC【分析】添加条件是，根据推出两三角形全等即可．【详解】解：，理由是：在和中，，理由是：在和中，，理由是：在和中，故答案为：OA=OD或AB=CD或OB=OC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5、5【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行解答．【详解】解：∵AE是△ABC的中线，BF是△ABE的中线，∴S△ABF=S△ABC=×20=5cm2．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的面积，能够利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质求解是解题的关键．6、110°【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】延长BD交AC于点E，∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键．7、6【分析】连接CF，依据AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，即可得到S△BCD＝S△ABC＝30，S△ACE＝S△ABC＝20，设S△ADF＝S△CDF＝x，依据S△ACE＝S△FEC+S△AFC，可得，解得x＝6，即可得出△ADF的面积为6平方厘米；当BE＝nCE时，运用同样的方法即可得到△ADF的面积.【详解】如图，连接CF，∵AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，∴S△BCD＝S△ABC＝30，S△ACE＝S△ABC＝20，设S△ADF＝S△CDF＝x，则S△BFC＝S△BCD﹣S△FDC＝30﹣x，S△FEC＝S△BFC＝（30﹣x）＝，∵S△ACE＝S△FEC+S△AFC，∴，解得x＝6，即△ADF的面积为6平方厘米；当BE＝nCE时，S△AEC＝，设S△AFD＝S△CFD＝x，则S△BFC＝S△BCD﹣S△FDC＝30﹣x，S△FEC＝S△BFC＝（30﹣x），∵S△ACE＝S△FEC+S△AFC，∴，解得，即△ADF的面积为平方厘米；故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算，解决问题的关键是作辅助线，根据三角形之间的面积关系得出结论．解题时注意：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．8、15【分析】连接DF，根据AE＝ED，BD＝3DC，可得，，，，然后设△AEF的面积为x，△BDE的面积为y，则，，，，再由△ABC的面积等于35，即可求解．【详解】解：如图，连接DF，∵AE＝ED，∴，，∵BD＝3DC，∴，设△AEF的面积为x，△BDE的面积为y，则，，，，∵△ABC的面积等于35，∴，解得：．故答案为：15【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，根据题意得到，，，是解题的关键．9、【分析】由三角形的外角的性质可得代入数据即可得到答案.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解本题的关键.10、或【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【详解】解：由题意，，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得．故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．三、解答题1、△ACB≌△ADB；△ACE≌△ADE．理由见解析【分析】先利用“SAS”直接判断△ACB≌△ADB；同理利用“SAS”可判断△ACE≌△ADE．【详解】解：△ACE与△ADE全等，△ACB与△ADB全等．理由如下：在△ACB和△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（SAS）；在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、在A点处小明与游艇的距离为90m．【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：在与中，，答：在A点处小明与游艇的距离为90m．【点睛】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意证明△ABS≌△CBD是解答此题的关键．3、OE；CE；全等三角形的对应角相等【分析】根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．【详解】证明：连接CD，CE由作图步骤②可知___OE___．由作图步骤③可知__CE___．∵，∴．∴（__全等三角形对应角相等__）故答案为：OE；CE；全等三角形的对应角相等【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．4、（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，故答案为：(10﹣2t)；（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，当△ABP≌△PCQ时，∴AB=PC，BP=CQ，∴10−2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当△ABP≌△QCP时，∴AB=QC，BP=CP，∴2t=10-2t，vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．5、11cm【分析】根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，于是得到结论．【详解】解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝5cm，BE＝CF＝6cm，∴EF＝5+6＝11（cm）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA