专题11换元法-教师版

专题11换元法考向考向一整体换元法【方法储备】对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,常将一个或几个式子分别看成整体,用一个或几个新“元”代换它们,使得以新元为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果.【典例精讲】例1(2023·湖北省·模拟题)对于函数fx，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，称fx为“局部奇函数”.若f(x)=4x−m·2x+1+mA.1−3≤m≤1+3 B.1−解：由“局部奇函数”可得：

4x−2m⋅2x+m2−3+4−x−2m⋅2−x+m2−3=0，

整理可得：(4x+4−x)−2m(2x+2−x)+2m2−6=0，

考虑到4x+4−x=(2x+2−x)2−2，从而可将2x+2−x视为整体，

方程转化为：(2x+2−x)2−2m(2x+2−x)+2m2−8=0【拓展提升】练11(2023·湖南省模拟)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x是f(x)的导函数，f''x是fˈ(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f''(x)|(1+[f'(x)]2)32，则曲线f(x)=x在解：(1)由题意得f'(x)=12x，f″(x)=−14x−32，则f'1=12,f''1=−14，则K=f''11+f'1232=2532，

(2)由题意得，g'(x)=cosx，g''(x)=−sinx，∴K2练12(2023·福建省联考)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,FA.0,22 B.22,5解：设F1(−c,0)，F2可设|PF2|=t，可得由∠F1PF2=π2，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为(λ2+1)t2=4c2，②

由②÷①2，可得e2=λ2+1(λ+1)练13(2023·江西省月考）已知定义在1,+∞上的函数fx=exx−x+lnx，若∀x≥1，A.1,6 B.1,6 C.1,9 D.2,9解：f(x)=exx−x+lnx=exelnx−x+lnx=ex−lnx−(x−lnx)，

令t=x−lnx(x≥1)，则t'=x−1x≥0(x≥1)，所以t=x−lnx在1,+∞上单调递增，

则t⩾1，y=et−t，y'=et−1，显然y'恒大于0，即y=et−t在1,+∞上单调递增，

所以f(x)=exx−x+lnx在1,+∞考向二三角换元法考向二三角换元法圆锥曲线有一个特点，就是曲线上的点不易于直接表达（抛物线除外），例如椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，为了表示椭圆上一点，需要引入两个参数x【典例精讲】例2.(2023·辽宁省期末)已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2：x2a22−y2bA.7 B.27 C.43 解：不妨设点P为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得PF由双曲线的定义可得PF所以PF因此cos π3所以a12+3a因此2e1+所以当sinθ+φ=1时，2e故选：B．【拓展提升】练21(2023·福建省·模拟题)在平面直角坐标系xOy中，已知P(32,0)，A、B是圆C：x2+(y−12)2=36上的两个动点，满足PA=PB，则△PAB面积的最大值是

．

解：圆C：x2+(y−12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，

如图，作PC所在直径EF，交AB于点D，

因为PA=PB，CA=CB=R=6，所以PC⊥AB，EF为垂径，

要使面积S△PAB最大，则P，D位于C的两侧，

并设CD=x，可得PC=14+34=1，

故PD=1+x，AB=2BD=236−x2，

可令x=6cosθ，

S△PAB=12|AB|⋅|PD|=(1+x)36−x2

=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，

设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，

f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6)，

由f′(θ)=6(12cos练22(2023·辽宁省联考)分割比ω=5−12≈0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=5−12的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，“优美椭圆”C上动点P(解：设点P(acosθ,bsinθ)，θ≠kπ，k∈Z，

优美椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A(−a,0)考向三比值换元法考向三比值换元法【方法储备】对于多元函数fx1,x2,我们称x1,x2为双变量，一般来说，我们无法对其进行求导，可以采用“先转换后构造”的解题策略：fx1,x2⇒【典例精讲】例3.(2023·湖北省模拟)函数f(x)=lnx−ax+1有两个零点x1，x2(A.0<a<1 B.x1x2>1

C.解：∵函数f(x)=lnx−ax+1有两个零点x1，x2(x1<x2)，

∴lnx−ax+1=0有两个根，∴a=lnx+1x，

∴y=a与y=lnx+1x有两个交点，如图，

设g(x)=lnx+1x(x>0)，∴g'(x)=−lnxx2，

当g'(x)>0时，解得0<x<1，函数g(x)单调递增，当g'(x)<0时，解得x>1，函数g(x)单调递减，

∴g(x)max=g(1)=1，当x→+∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→−∞，

∴当0<a<1时，y=a与y=lnx+1x有两个交点，

即函数f(x)=lnx−ax+1有两个零点，故A正确；

结合图象可知1e<x1<1<x2，

∵lnx1−ax1+1=0lnx2−ax2+1=0，∴a=lnx1−lnx2x1−x2，

要证明x1+【拓展提升】练31(2023·海南省期末)若存在正数x,y，使得(3e2y−x)(lnx−lny)−ay=0，其中e解：由(3e2y−x)(lnx−lny)−ay=0，x，y为正数，

a=3e2y−xlnx−lnyy=(3e2−xy)ln(xy)，

令t=xy，t>0，则gt=3e2−tlnt，则g't=−lnt+3e2t−1练32(2023·河北省月考)若对任意正实数x，y，不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa恒成立，则实数a的取值范围为解：不等式(2x−y)⋅(lny−lnx+1)≤xa对x、y>0恒成立，

可得(2−yx)⋅(lnyx+1)≤1a，

可设t=yx(t>0)，可得f(t)=(2−t)(lnt+1)，

f'(t)=−(lnt+1)+2−tt=−lnt+2t−2，

由y=−lnt和y=2t−2在t>0时单调递减，可得f'(t)在t>0时单调递减，

则f'(1)=0，当t>1时，f'(t)<f'(1)=0，f(t)递减；练33(2023·广东省广州市·期中考试)已知△ABC

的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，角A是直角，则bc−bb2+c2的取值范围是解：法一：∵

bc−bb2+c2=bc−b2b2+c2=cb则

bc−bb∵

t−1+2当且仅当

t−1=2t−1

，即

t=∴

bc−bb故

0<bc−b②当

c=b

时，

bc−bb③当

c<b

时，则

bc−bb令

cb−1=m∈(−1,0)

，可得

c则

b(c−b)b2+c∵令f(m)=m+2m+2，

易得