专题16最大公约数（原卷）

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题16最大公约数知识精讲知识精讲专题简析：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。典例分析典例分析【典例分析01】一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【思路引导】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。【典例分析02】一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？【思路引导】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米【典例分析03】有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？【思路引导】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。【典例分析04】一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【思路引导】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。【典例分析05】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？【思路引导】前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。第一步：1072÷469，余134；第二步：469÷134，余67；第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022春•沭阳县月考）如果A＝2×3×7，B＝2×5×3，那么A和B的最大公因数是（）A．2 B．6 C．352．（2分）（2022春•韩城市期末）下面第（）组中的两数的最大公因数是6。A．6和18 B．2和3 C．24和12 D．30和53．（2分）（2022春•坊子区期末）如果4a＝b，那么a和b的最大公因数是（）A．a B．b C．44．（2分）（2022春•贵阳期中）两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是（）A．72 B．15 C．175．（2分）（2021春•长垣市期末）m是一个质数，n是一个合数（m、n都是大于20的自然数），下列说法正确的是（）A．m+n一定是偶数 B．mn一定是奇数 C．m+2n不可能是偶数 D．2（m+n）可能是奇数二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022春•罗源县期末）如果A÷B＝5（A，B为自然数），那么A和B最大公因数是。7．（2分）（2022春•德江县期中）已知a＝2×3×5，b＝2×5×7，它们的公因数有，最大公因数是。8．（2分）（2022春•福鼎市期中）在24、8和9中，是的因数，是的倍数，和的最大公因数是1。9．（2分）（2022春•沈丘县期中）五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使每个班每个小组的人数相同，每组最多有人。10．（2分）（2021•张家川县模拟）分数分子和分母的最大公因数是，最小公倍数是。11．（2分）（2021春•武冈市期中）如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是，最小公倍数是。12．（2分）（2019春•东丽区期末）从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因数3和5的最大三位数，这个三位数是。13．（2分）（2022春•江宁区期末）手工课上张老师准备了两根彩带（如图所示）折五角星，把这两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是厘米，一共有根。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2022春•莘县期中）如果a＝2×3×5，b＝2×3×3，那么a和b的最大公因数是6，最小公倍数是90。（判断对错）15．（2分）（2022春•长垣市期中）两个数的最大公因数一定小于这两个数。（判断对错）16．（2分）（2022春•市中区期末）甲、乙两数最小公倍数是它们的积，这两个数的最大公因数就是1。（判断对错）17．（2分）（2022春•辉县市期末）23和92的最大公因数是1。（判断对错）18．（2分）（2022春•辉县市期末）如果两个非0自然数的最小公倍数是它们的积，那么这两个数的最大公因数是1。（判断对错）四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）19．（6分）（2022春•莘县期中）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。24和1835和4219和387和1220．（6分）（2022春•东昌府区期末）用短除法求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。①36和24②16和56③32、12和16五．应用题（共9小题，满分52分）21．（5分）（2022春•禹城市期中）幼儿园买回49块水果糖和30块奶糖，李老师把两种糖分别平均分给小班的每位小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖正好。小班最多有多少个小朋友？22．（5分）（2022春•荥阳市期中）插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？23．（6分）（2022春•黄陵县期末）五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？24．（6分）有两根钢筋，一根长50米，一根长40米，现在要把这两根钢筋锯成同样长的小段，且每根钢筋不许有剩余，每小段钢筋最长多少米？一共要锯几次？25．（6分）（2022春•庆云县期中）把这两根彩带截成同样长的几段且没有剩余，每段彩带最长是多少厘米？26．（6分）（2020秋•赣州期末）有两根绳子，一根长36分米，一根长48分米，把它们都剪成长度相等的小段，而且没有剩余．每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？27．（6分）（2022春•迎泽区期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余．（1）每根短彩带最长是多少厘米？（2）一共可以剪成多少段？28．（6分）（2022春•建安