综合解析北师大版9年级数学上册期中试卷及参考答案详解【考试直接用】

北师大版9年级数学上册期中试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．122、如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（

）A．2 B． C． D．3、一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A． B．C． D．4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是(

)A．AB+BC=AC B．AB=AD C．OA=OD D．∠ABC+∠ADC=180°5、－元二次方程2x2－2x－1＝0的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根6、已知实数满足，则代数式的值是(

)A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或37、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（）A． B． C． D．二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、关于x的一元二次方程(k－1)x2+4x+k－1=0有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．1 B．0 C．3 D．－32、下列方程没有实数根的是（

）A． B． C． D．3、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则不符合这一结果的实验是（

）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．2、如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为__________．3、你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）4、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为____．5、社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．6、《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．7、如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为______．8、如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）9、已知关于的方程的一个根是1，则______．10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．3、已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．4、某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．5、判断2、5、-4是不是一元二次方程的根6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（

）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（

），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（），请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【考点】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．2、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD；∴∠ADE=∠CBD，∵AD=BC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF，又∵AM⊥BC，∴AM⊥AD；∵CN⊥AD，∴AM∥CN，∴AE∥CF；∴四边形AECF为平行四边形，∵EA=EC，∴▱AECF是菱形，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；在Rt△BCF中，CF：BC=，又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=．故选：B．【考点】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点．3、D【解析】【分析】按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.【详解】∵x2−2x−m=0，∴x2−2x=m，∴x2−2x+1=m+1，∴(x−1)2=m+1．故选D．【考点】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．4、B【解析】【分析】由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．【详解】解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．【考点】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．5、B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝12>0，进而即可得出方程2x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根．【详解】∵a＝2，b＝－2，c＝－1，∴△＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【考点】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6、A【解析】【分析】将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解；当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，故选A．【考点】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．7、C【解析】【分析】如图，取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT-DT，可得结论．【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．∵AD=DB，AT=TC，∴DT=BC=2，∵CE⊥AF，∴∠AMC=90°，∴TM=AC=3，∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，∴DM≥TM-DT=3-2=1，∴DM的最小值为1，故选：C．【考点】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．二、多选题1、C【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即42﹣4(k﹣1)2＝0，且k﹣1≠0，解得k＝3或k＝-1．故选C．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．2、AD【解析】【分析】判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．【详解】解：、△，方程没有实数根，故本选项符合题意；、△，方程有两个不相等的实数根，故本选不符合题意；、△，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；、△，方程没有实数根，故本选项符合题意．故选：AD．【考点】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．3、ABC【解析】【分析】根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者符合实验结果．【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为，故不符合实验结果，符合题意；B、一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为；故不符合实验结果，符合题意；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故不符合实验结果，符合题意；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为：故符合实验结果，不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查了利用频率估算概率以及概率公式的简单应用，大量反复试验下频率稳定值即为概率，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．三、填空题1、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．2、4【解析】【分析】由，，可求，，由折叠可知，得出，为的直角三角形；由可知，，，由折叠的性质得，等量代换后判断为等边三角形，即可得出答案．【详解】解：在中，∵∴，，∵，∴，由折叠的性质得，∴，∴为等边三角形，由折叠可知：BE=DE，∵，∴，∵AD=6，∴DE=BE=4，故．故答案为：4．【考点】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．3、②【解析】【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．【详解】解：即，构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为②．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．4、，或【解析】【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，∴E（1，），设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴点P的坐标为，，，故答案是：，，．【考点】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．5、白球【解析】【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，故答案为：白球．【考点】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．6、或【解析】【分析】设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，依题意得：即或．故答案为：或．【考点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、2或【解析】【分析】分当时和当时两种情况讨论求解即可．【详解】解：如图1所示，当时，取CD中点H，连接，∴，∵四边形ABCD是菱形，E为AB中点，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折叠的性质可知，，∴，连接EH，∵，∴四边形AEHD是平行四边形，∴，，∵由三角形三边的关系可知，当点不在线段EH上时，必有，这与矛盾，∴E、、H三点共线，∴，∴△AEF为等边三角形，∴；如图2所示，当时，连接BD，ED，过点F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AB中点，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此时三点共线，由翻折的性质可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案为：2或．【考点】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．8、①③【解析】【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故②错误；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，不能得出AE=AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；故答案为：①③．【考点】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．9、【解析】【分析】根据题意可得出1+6+m2-2m+5=0，然后解出该方程的解即可．【详解】解：∵方程的一个根是1，∴1+6+m2-2m+5=0，∴m2-2m=-12，∴2（m2-2m）=-24．∴故答案为：-24【考点】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．10、或##或【解析】【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．【考点】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．四、解答题1、(1)见解析(2)120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)解：如图所示：连接AC，交BD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴平行四边形ABCD的面积为：．【考点】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．2、（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4，故答案为：4．【考点】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析【解析】【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是