《机械工程控制基础》课件机械控制工程基础课件2

控制工程基础2.控制系统的传递函数

基本要求

1.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及相关专业知识，列写机械系统、电网络的微分方程。

2.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。3.能够用分析法求系统的传递函数。4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。控制工程基础2.控制系统的传递函数

基本要求

5.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。6.掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。7.了解相似原理的概念。控制工程基础2.控制系统的传递函数本章重点1.系统微分方程的列写。2.传递函数的概念，特点及求法；典型环节的传递函数。3.系统的方框图及其化简。本章难点1.系统微分方程的列写。2.系统的方框图及其化简。控制工程基础2.1概述2.1.1什么是数学模型

控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。

控制工程基础2.1概述2.1.2为什么建立数学模型

控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）2.1.3建立数学模型的依据

通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等。

控制工程基础2.1概述2.1.4数学模型的特点

1、实物→（抽象）数学表达式

2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近的自由运动

电阻、电容、电感电路中电容的放电过程都是衰减振荡。

相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。

3、同一控制系统可以有不同的数学模型

控制工程基础2.1概述2.1.5数学模型的分类

1、微分方程时间域t单输入单输出

2、传递函数复数域s=σ+iω---3、频率特性频率域ω---4、状态方程时间域t多输入多输出用一组微分方程描述系统的状态特性

控制工程基础2.2微分方程2.2.1控制系统微分方程的分类

微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础.（1）线性系统如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。线性系统两个重要性质。齐次性(均匀性)

如果系统在输入x(t)作用下的输出为Y(t)，并记为：x(t)→y(t)

则

kx(t)→ky(t)

式中k为常数，称为齐次性。控制工程基础2.2微分方程叠加性若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为

x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)

则以下关系

x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)称为叠加性或叠加原理。控制工程基础2.2微分方程（2）非线性系统如果系统的数学模型是非线性的，这种系统称为非线性系统。工程上常见的非线性特性如下：饱和非线性死区非线性间隙非线性摩擦非线性……控制工程基础2.2微分方程（3）举例下列微分方程描述的系统为线性系统：下列微分方程描述的系统为非线性系统：控制工程基础2.2微分方程（4）表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：

i=0,1…nj=0,1,…m线性定常系统

ai,bj都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不是时间的函数；线性时变系统

ai,bj是时间的函数；非线性系统

ai,bj有一个依赖xo(t)和xi(t)它们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形式。控制工程基础2.2.2系统微分方程的建立两种方法是相辅相成的。控制工程基础2.2.2系统微分方程的建立(Km为转矩常数)(ed为感应反电势,Kd为反电势常数)(ia为电枢电流)注意：习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次；上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。

控制工程基础2.3拉普拉斯(Laplace)变换

在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）就是其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。本节将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。控制工程基础2.3拉普拉斯(Laplace)变换（1）拉普拉斯变换的定义

s：拉普拉斯算子，复变量，

f(t)：原函数（时间域、实域）

F(s)：象函数（s

域、复数域）控制工程基础控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质1）线性性质设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数，则2）微分性质若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质3）积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则4）平移定理若L[f(t)]=F(s)，则有控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质5）初值定理

若L[f(t)]=F(s)，则6）终值定理若L[f(t)]=F(s)，则有控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质7）时域位移定理（延迟定理）

若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a有则控制工程基础

（3）拉普拉斯(Laplace)反变换

1）拉普拉斯反变换的定义

2）拉普拉斯反变换的应用求解微分方程求原函数控制工程基础

2.4传递函数2.4.1传递函数的定义

传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率特性有利于对系统研究、分析和综合。控制工程基础2.4传递函数2.4.1传递函数的定义

线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：1)线性定常系统

2)零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为0。

3)输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）控制工程基础2.4.2传递函数的求法（1）解析法（根据定义求取）设线性定常系统输入为x(t)，输出为y(t)，描述系统的微分方程的一般形式为:

式中，n≥m;an，bm均为系统结构参数所决定的定常数。（n，m=0、1、2、3…）

如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两边拉氏变换后得

根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为控制工程基础2.4.2传递函数的求法

控制工程基础2.4.2传递函数的求法（2）实验法（3）例：试写出具有下述微分方程式的传递函数。

1）2）解：取拉氏变换并求商得1）2）控制工程基础2.4.3传递函数的性质1）传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；2）传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似系统。

控制工程基础2.4.3传递函数的性质3）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；4）传递函数是复变量s的有理分式。对于实际系统有m≤n。传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。控制工程基础2.4.4反馈控制系统的传递函数)(sB)(sE)(sN)(sY)(sH)(1sG)(2sG)(sX-输入信号误差信号干扰信号输出信号反馈信号控制工程基础常用的几个术语前向通路（道）信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。前向通路（道）传递函数在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下式计算：反馈回路传递函数

H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即：控制工程基础开环传递函数

G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为通道。注意：开环传递函数和开环系统传递函数是不一样的。闭环传递函数当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。控制工程基础干扰作用下的闭环系统

系统除了有输入量外，有时还要研究存在干扰时，输出量对于干扰也存在传递函数。)(sB)(sE)(sN)(sY)(sH)(1sG)(2sG)(sX-输入信号误差信号干扰信号输出信号反馈信号控制工程基础干扰作用下的闭环系统(1)在输入量X(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为YR(s)，则

(2)在干扰量N(s)作用下[可把输入量X(s)看作为零]，系统的输出为YN(s)，则控制工程基础干扰作用下的闭环系统

称GR(s)为输出量对输入量的传递函数，即

称GN(s)为输出量对干扰量的传递函数，即

(3)系统总的输出量：控制工程基础2.5典型环节的传递函数环节与典型环节熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和研究控制工程基础

2.5.1环节的基本连接形式

环节---从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成。能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、并联或反馈连接而成的。控制工程基础2.5.1环节的基本连接方式

（1）串联上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为：控制工程基础（2）并联

推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即

控制工程基础（3）反馈联接由图可见：经整理后，可得传递函数为：控制工程基础2.5.2典型环节记控制工程基础

2.5.2典型环节从传递函数的这种分解方式可以看出，线性系统的传递总可以分解成如下7种环节的组合（乘积）特点：最高不超过二阶称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、震荡环节、延时环节等。2.3.1比例环节比例环节的微分方程式为则传递函数为式中k—比例系数控制工程基础常见的比例环节控制工程基础例1和例2虽然物理结构不同，但它们却有相同的传递函数形式，这种系统称为

相似系统3.微分环节2.3.4积分环节输出正比于输入对时间的积分，即具有的环节称为积分环节。其传递函数为：式中，为积分环节的时间常数。质量-阻尼-弹簧系统写成标准形式两式比较得：质量-阻尼-弹簧系统实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种）典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下：1、放大环节（或比例环节）2、理想微分环节3、一阶微分环节4、二阶微分环节5、积分环节6、惯性环节7、振荡环节8、延迟环节控制工程基础2.6系统的方框图及其化简结构框图是将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。控制工程基础2.6系统的方框图及其化简函数框图是把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变量关系，便于分析系统。本节主要讲述函数框图的绘制。

方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：控制工程基础2.6.1系统的方框图(1)信号线:

表示信号传递通路与方向。(2)框图单元:表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。

控制工程基础2.6.1系统的方框图(3)相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减运算。(4)分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。

控制工程基础2.6.2系统的方框图的绘制列出描述系统各个环节的运动方程式求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图

要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初始条件的。

控制工程基础例：绘制图示的二阶RC回路的方框图urucuC2C1ici1R1R2i2控制工程基础解：首先列出系统原始方程（2-21）

（2-22）（2-23）（2-24）

控制工程基础求出与上述方程式相对应的拉氏变换式（2-25）

（2-26）（2-27）（2-28）

控制工程基础根据方程中间变量间的关系画出与拉氏变换式（2-25）至（2-28）相对应的框图。并表示于图2-22（a）至2-22（d）中。

控制工程基础例：绘制方框图G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)控制工程基础例：绘制方框图控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。引出点的变换法则

引出点前移

C(s)=G(s)R(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s)引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)R(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）比较点的变换法则

比较点前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(-)C(s)=G(s)R(s)-B(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）比较点的变换法则

比较点后移C(s)R(s)G(s)(-)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

=G(s)R(s)-G(s)B(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）交换或合并比较点R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(-)或加法交换律加法结合律C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s)控制工程基础例：方框图化简H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY(1)方框图化简方案ⅠRH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)控制工程基础例：方框图化简G4G3H2YR(b)G4YR(c)控制工程基础例：方框图化简(2)方框图化简方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）其他等价法则R(s)(-)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(-)C(s)R(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）负号可在支路上移动G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s