《线性控制系统理论与方法》课件第5章

第5章线性系统的能控性和能观测性5.1能控性定义及其判据5.2能观测性定义及其判据5.3对偶性原理5.4线性离散时间系统能控性和能观测性5.5能控规范型和能观测规范型5.6线性系统的结构分解5.1能控性定义及其判据

DefinitionandCriterionofControllability

一、直观例子

直观来讲，对于系统的某一状态，若可以由输入将它推到原点，则称它是能控的，如图5.1所示。图5.1将状态推向零的轨迹【例5.1】已知它们实际上是两个标量方程组的形式：状态变量x1，x2都可通过选择输入u而由初始点到达原点，故系统为完全能控的。

【例5.2】图5.2所示的二阶电路的动态方程为显然,若两个初始状态相同时(x1(0)=x2(0))，则无论选择什么输入，两个状态曲线完全相同，那么存在一个控制，可使得将非零初始状态转移到零状态；当两个初始状态不相同时(x1(0)≠x2(0))，则无法保证两个状态都达到零。所以此电路系统是不完全能控的。图5.2二阶RC电路【例5.3】

考虑如下系统：经计算得:若两个初始状态变量相等，即x1(0)=x2(0)=h，则不存在u(t)使x(T)=0，即在该二维状态空间中，只有子空间{x:x1=x2}中状态才是能控的，把{x:x1=x2}称为能控状态的空间。二、定义

考虑如下线性时变系统：(5.1)关于能控定义有以下几点说明：

(1)定义中只要求在可找到的输入u作用下，使t0时刻非零状态x0在J上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对状态轨迹不加以限制和规定，即能控性是表征系统状态的一个定性特性。

(2)允许控制表示输入的所有分量在J是平方可积的；无约束是指对输入的所有分量的幅值不限制，可以取无穷大值。

(3)对于线性定常系统，其能控与否和t0时刻无关。

(4)在能控性定义中，规定由非零状态转移到零状态，若将其变为由零状态转移到非零状态，则称此种情况为状态能达的。连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的；对于离散系统和时变系统，两者是不等价的；不完全能控的系统，但可能是能达的。

(5)对于一个实际系统，其能控的概率几乎等于1。如图5.2所示的电路，如果其中各个电阻的阻值产生很小的变动而使得电路的对称性被破坏，则此电路就由不能控变为能控。三、线性定常系统能控性判别准则

定理5.1(Gram判据）线性定常系统(5.2)两边同左乘所以所以对于任意允许控制u(t)，有故定理5.2、秩判据线性定常系统(5.2)为完全能控其中n为矩阵A的维数，称为系统的能控性判别阵。

证明：已知rank(Qc)=n，欲证系统为完全能控

反证法：假设系统不完全能控，则由Gram矩阵判据知成立。成立。，对t求导，且取t=0有即Qc为线性相关，则rank(Qc)<n。这与rank(Qc)=n矛盾。再证必要性。已知系统完全能控，要证rank(Qc)=n。

定理5.3(PBH秩判据）线性定常系统(5.2)为完全能控对A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)有或即(sI-A)和B为左互质。这与已知条件(系统(5.12))完全能控矛盾。则

引理5.1完全能控的线性时不变系统在线性非奇异变换之下，其完全能控性保持不变。

证明由秩判据和秩的性质，很容易证明本结论，读者可自行完成证明。

定理5.4（Jordan规范型判据）线性定常系统(5.2)为完全能控的充要条件是：

①当A的特征值λ1,λ2,…,λn为两两相异时，(5.2)的对角线规范型为其中B不包含元素全为零的行。定理5.4（Jordan规范型判据）线性定常系统(5.2)为完全能控的充要条件是：①当A的特征值λ1,λ2,…,λn为两两相异时，(5.2)的对角线规范型为其中Ｂ不包含元素全为零的行。②当A的特征值为λ1(σ1重),λ2(σ2重),…,λl(σl重)

且σ1+σ2+…+σl=n时，系统（5.2）的Jordan规范型为其中Ji为σi×σi阵，且具有如下形式：且对i=1,2,…,l均为行线性无关。证明①由秩判据和引理5.1易证本结论。

②为叙述简单，不妨设则由PBH秩判据知，当s=λ1时，作行和列变换，上式可变为【例5.4】判别以下线性定常系统的能控性。解解法1：计算能控性判别阵Qc,则容易判断该矩阵的秩为4，即该系统是完全能控的。解法2：利用PBH秩判据,计算当s=λ1=λ2=0时，有当时，有满足PBH秩判据的条件，故系统是完全能控的。性质5.6、对于完全能控系统(5.2)的状态方程作线性非奇异变换，其能控性指数和能控性指标保持不变。五、线性时变系统的能控性判据

设线性时变系统的状态方程为(5.3)

定理5.5（Gram判据）线性系统(5.3)在时刻t0

完全能控的充要条件为：为非奇异矩阵，t1>t0其中Φ(·,·)为系统(5.3)的状态转移矩阵。

证明必要性。反设Wc(t0,t1)为奇异阵，则即所以t∈［t0,t1］,有又因为x0=h≠0是能控的。所以t1>t0使得x(t1)=0,而所以而所以h=0,这与h≠0矛盾。

充分性。已知Wc(t0,t1）非奇异，要证系统在t0处完全能控。

对于任一非零初始状态x0，可构造控制u(t)为代入状态方程的解表达式得

定理5.6(秩判据）设A(t)和B(t)是(n-1)阶连续可微的矩阵，则系统(5.3)在时刻t0为完全能控的一个充分条件是：存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0,使下式成立其中,证明定义则有同理有k>1所以有(5.5)由于Φ(t0,t1)为非奇异，由式(5.4)和(5.5)可得:下面证明对t1>t0,Φ(t0,t)B(t)在［t0,t1］上行线性无关。

反证法。假设Φ(t0,t)B(t)行线性相关，则存在α∈Rn(α≠0),使对所有对所有t∈［t0,t1］和k=0,1,2,…,n-1,有对所有t∈［t0,t1］有所以,对所有t∈［t0,t1］有为行线性相关，这与行线性无关矛盾。再证明Wc(t0,t1)为非奇异。

故Wc(t0,t1)为非奇异的，由Gram判据知道，系统(5.3)在时刻t0为完全能控的。【例5.5】判别以下系统在时刻t0=0.5时的能控性。解因为 5.2能观测性定义及其判据

DefinitionandCriterionofObservability

一、直观例子

所谓能观测性，就是研究系统状态是否由输出反映，确切地说，对于某一非零初始状态，对应的系统输出总是零，即输出无法反映状态的变化，称它是不能观测的。

y只反映x2，与x1无直接和间接关系，故系统是不完全能观测的。图5.3二阶RL电路【例5.7】已知图5.3所示的二阶电路的动态方程为二、定义

考虑线性时变系统：(5.7)其中，x(t)∈Rn;u(t)∈Rp;y(t)∈Rq;J为时间定义区间;A(t)、B(t)、C(t)、D(t)为适当维数的元为t的连续函数矩阵（可放宽为A(t)的元在J上为绝对可积，B(t)的元在J上平方可积）。在研究能观测性问题中，输入和输出都已假定为已知，不失一般性，假定输入u恒为零，所谓能观测性即是研究初始状态可由输出的完全可估计性。

定义5.7对于系统(5.7)，若状态空间中一个非零状态不是在t0时刻（t0∈J）不能观测的，则称此状态在t0时刻是能观测的。若所有非零状态都不是在t0时刻（t0∈J）不能观测的，则称系统(5.7)在t0时刻是完全能观测的。

等价地说，对于一个在t0时刻的非零状态，若能利用有限时间段内的系统的输入和输出信息将其重构出来，则称该状态在t0时刻是能观测的。

定义5.8对于系统(5.7)，取定初始时刻t0∈J，若状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不能观测的，则称此系统在t0时刻是不完全能观测的。

注意：对于一个实际系统，其能观测的概率几乎等于1。

三、线性定常系统能观测性判别准则

定理5.7（Gram判据）线性定常系统(5.8)定理5.8、秩判据线性定常系统(5.8)为完全能观测其中，n为矩阵A的维数，称为系统（5.8）的能观测性判别矩阵。

定理5.9(PBH秩判据）线性定常系统(5.8)为完全能观测对A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)均有或即sI-A和C为右互质。

推论5.2（PBH特征向量判据）

线性定常系统(5.8)为完全能观测A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量，即对A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，使同时满足Aα=λiα,Cα=0的特征向量α≡0。

定理5.10（Jordan规范型判据）线性定常系统(5.8)为完全能观测的充要条件是：

①当A的特征值λ1,λ2,…,λn为两两相异时，系统(5.8)的对角线规范型中，不包含元素全为零的列。

其中其中Ji为σi×σi阵，且具有如下形式：

四、能观测性指数（Observabilityindex）

定义5.9对于线性定常系统(5.8)，称rank(Qk)=n的最小正整数k为系统的能观测性指数，记为ν。其中

性质5.8对单输出系统，即q=1，系统的能观测性指数为ν=n。

性质5.9线性定常系统(5.8)完全能观测的充要条件是：对于完全能观测系统，有ν1+ν2+…+νm=n,且 ,称{ν1,ν2,…,νm}为系统(C,A)的能观测性指标。性质5.12对于完全能观测系统(5.8)的状态方程和输出方程作线性非奇异变换，其能观测性指数和能观测性指标保持不变。从而能观测性保持不变。

证明设Q为非奇异线性变换阵，变换前后系数矩阵间满足五、线性时变系统的能观测性判据

设线性时变系统的状态方程为(5.9)

定理5.11（Gram判据）线性系统(5.9)在时刻t0

完全能观测的充要条件为非奇异矩阵，其中Φ(·,·)为系统(5.9)的状态转移矩阵。证明类似于定理5.7。

定理5.12(秩判据）设A(t)和C(t)是n-1阶连续可微的矩阵，则线性时变系统(5.9)在时刻t0为完全能观测的一个充分条件是存在一个有限时刻t1∈J，

t1>t0使下式成立其中,证明类似于定理5.6。 5.3对偶性原理

定义5.10

线性时变系统(5.10)其中,x、u、

y分别为n×1、p×1、

q×1的列向量。称如下构成的线性时变系统(5.11)其中（协状态），输入η和输出分别为1×n，1×p，1×q维行向量，为(5.10)的对偶系统。证明因为而从而②系统Σ和Σd的方块图是对偶的，如图5.4所示，Σ的状态在状态空间中由t0至t的正时间转移。而Σd是协状态点在状态空间中由t至t0反时间转移。

③Σ的完全能控等同于Σd的完全能观；Σ的完全能观等同于Σd完全能控。对偶性原理说明(A,C)能观测性即是(AT,CT)的能控性，故关于能观测性的判据都可以通过能控性判据和对偶原理得到。图5.4对偶系统图5.4线性离散时间系统能控性和能观测性

ControllabilityandObservabilityofLinearDiscretetimeSystems

一、能控性及其判据

定义5.11线性时变离散时间系统其中,,Jk为离散时间定义区间。

推论5.3单输入定常离散系统x(k+1)=Gx(k)+hu(k)(k=0,1,…)，其中x∈Rn，u为标量输入，G假定为非奇异，则当系统为完全能控时，可构造如下的控制：使在n步内将任意状态x(0)=x0转移到状态空间的原点。以上定理5.13~5.16及推论5.3由定义5.10可仿照连续时间能控性判据的证明来推论，读者可自行证明。二、能观测性及判据

定义5.11、时变离散线性系统(5.14)(5.15)为完全能观测的特征值，应成立其中,Ji为σi×σi阵，且具有如下形式：Jik称为相应于特征值λi的Jordan小块且具有形式：则：由矩阵指数函数的定义，有(5.20)将（5.20）代入（5.19）得注意满足式（5.17）的特征值只能是复数或虚数，从而此时必有。再考虑到条件(5.18)成立时，有（5.21）所以系统(5.16)能控的充要条件是（5.22）成立。成立，且有进一步，取t=kT,则有不失一般性，假定A的特征值中前r个具有相同实部,r<l,且

5.5能控规范形和能观测规范形

ControllableandObservableCanonicalForm

一、SISO系统能控规范形和能观测规范形

定理5.21、完全能控的SISO系统(5.23)定义如下n个常数构造如下变换矩阵引入变换，则得到能控规范型为由P=[e1,e2,…,en］得定理5.22对于完全能观测的SISO系统(5.23)构造如下如下变换矩阵：

证明类似于定理5.21的证明过程，很容易证明本结论。

定理5.23代数等价的完全能控系统具有相同的能控规范型和完全能观测系统具有相同的能观测规范型。二、MIMO系统的能控规范型和能观测规范型

在SISO系统中，利用系统的能控性判别阵和能观测性判别阵构造变换矩阵，将系统可转化它的能控规范型和能观测规范型。在MIMO系统中，由于能控性判别阵(能观测性判别阵)是长方形矩阵，它的列线性无关向量组(行线性无关向量值)不是唯一的。选择列线性无关向量组(行线性无关向量组)不同，构造变换矩阵就不同，则它的能控(能观测性)规范型也就不同。

(1)确定能控性判别阵Qc和能观测性判别阵Qo中的n个线性无关的列和行。

不失一般性：对于给定（A，B）,假设n=6，p=4，rank(B)=3。按图5.5和图5.6所示构成格栅图，我们给出在能控判别阵中寻找n个线性无关列向量的列搜索和行搜索方法。图5.5

l=3,v1=3,v2=2,v3=1列搜索方法：按图5.5所示列方向进行搜索。先选定b1,并在图5.5中乘积I·b1的格内用“×”表示之，然后按列方向进行搜索，如果Ab1和b1为线性无关，就在表5.5中乘积Ab1格内记上“×”，如此地对第一列继续搜索下去，直到发现一向量如Av1b1和先前此列中各向量b1,Ab1,…,Av1-1b1线性相关时为止，并在图5.5中乘积Av1b1格内记上“○”。如果以上找到的线性无关的列向量数v1<n，则继续对第二列搜索，类似若b2与b1，…，Av1-1b1线性无关，就取定它且在相应格内记上“×”，随后在此列中向下搜索，直到Ａv2b2和先前取定的所有列向量为线性相关，并在其格内记上“○”，如此步骤重复下去，直到第l列并有v1+v2+…+vl=n时搜索结束。这样按此方案得到Qc中的n个线性无关列向量，即为图5.5中“×”表征的格所对应的n个列向量。行搜索方法：按图5.6所示行方向进行搜索。显然B中有r个线性无关列向量，所以首先在第一行中从左到右依次找到r个线性无关列向量，并在其对应格内记上“×”,不失一般性，不妨设其为B的前r列,即为b1,b2,…,br。然后，转入第二行由左至右进行搜索，直到Ａbr，其中和先前取定的所有列向量为线性无关的向量格内记上“×”，反之则记上“○”。再按此步骤搜索以下的行，直到找到n个线性无关的列向量为止。应当指出的是，若某个格内已记上“○”，那么在其所在列中以下的所有向量也必和已选定的所有向量是线性相关的，所以，不必再去判断这些向量并将它们的格保留为空白。在搜索完成后，格栅图中以“×”表示的格所对应的n个向量就是要找的Qc中n个线性无关的列。对于图5.6，用μα表示第α列(α=1,2,…,r)中“×”格的长度，那么就得到一个指数｛μ1,μ2,…,μr｝，显然它即为系统的能控性指数集。

(2)Wonham规范型。设按列搜索方法得到n个线性无关的向量为定义v1个向量：定义v2个向量：定义v3个向量：定义vl个向量：

定理5.24对于完全能控的MIMO系统(5.2),引入线性非奇异变换即可得到它的Wonham能控规范型为：注：*表示的元为可能的非零元。

证明由，类似于单变量情形的证明（见定理5.21的证明过程），很容易证明本结论。

由对偶性原理可得其Wonham能观测规范型，读者自己试着写出其形式。三、Luenberger规范型

对于完全能控的MIMO系统(5.2)，设rank(B)=r，按行搜索方法找出其能控性判别Ｑc的n个线性无关列，且表示为令取变换阵为

定理5.25对于完全能控线性时不变系统(5.2),引入变换得到Luenberger能控规范型为［例5.8］试确定如下完全能控、完全能观的SISO线性定常系统的能控规范形和能观测规范形及其对应的状态向量。

解：计算系统的特征多项式和Markov常数故系统的能控规范形为：对应的变换矩阵为：于是，能控规范形中的状态向量为：同时，可得系统的能观测规范形为：对应的变换矩阵为：于是，能观测规范形中的状态向量为：［例5.9］设系统的状态方程为：解能控性判别阵为其中，故有变换阵为故由此得

5.6线性系统的结构分解

ConstructionDecompositionofLinearSystem其中detP≠0定理5.27