新人教A版必修4高中数学 （112 弧度制）教案

1.1.2弧度制

整体设计

教学分析

在物理学和日常生活中，•个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以

满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、色等不

同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单

位进行度量，并且一度的角等于周角的上，记作1°.

360°

通过类比引出弧度制:给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得

出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识

引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成

弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.

通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义，

达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的

可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到

角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的.进一步

加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.

三维目标

1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，

从而引出弧度制.

2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量帝的制度,通过总结引入弧度制的好

处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生

的学习兴趣.

重点难点

教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路L（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样

换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角

的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的？

思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日号,或者利用普遍使用的钟表.

实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方

法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的

大小,现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1

弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.

在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数.

随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说，圆心角有正角、零角、

负角，相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲，圆心角与瓠的度数有正数、0、负

数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向"，就像一:角函数值的正负可以用三角

函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心

角对应着不同的弧，反之亦然.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？

问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么

角的度量是否也能用不同单位制呢？

活动：教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆切中有关角度的知识,提出这是认识

弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的

学生及时表扬，对问答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧

度制;在弧度制下，1弧度记作1rad.如图1中，Ah的长等于半径r,AB所对的圆心角/AOB

就是1弧度的角，即，=1.

r

讨论结果：

①1°的角可以理解为将圆周角分成36()等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一

个定值,与所取圆的半径大小无关.

②能,用弧度制.

提出问题

问题①:作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的

两个端点,得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？

问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的孤长是1,那么a的弧度数是多少？

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？

活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况,让学

生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对I川答不准确的学生提

示和鼓励.引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位

来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长

的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的「一；第三，无论是以“弧度”还

360

是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯

使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.

讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.

;将角度化为弧度：360°=2nrad,1°=—rad^0.01745rad,将弧度化为角

r180

1QQ

度：2丸rad=360°,1rad=(——)°257.30。=57。18’.弧度制与角度制的换算公式:设一

71

个角的弧度数为arad=(U也)°,n°=n^—(rad).

71180

提出问题

问题①:引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇

形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？

问题②:填写下列的表格，找出某种规律.

部的长OB旋转的方向NA0B的弧度数ZA0B的度数

乃r逆时针方向

2nr逆时针方向

R1

2r-2

0

180°

360°

活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”？其意图是先根据所给图象

对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来，讨论并总结出规律,提问学

生的总结情况,让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单

的提示.检查完毕后,教师做个总结.

由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角Q所对的弧长是1,那么a的弧度数的绝

对值是,这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制

a

都是角的度最制，那么它们一定可以换算.推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它

们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.

教师给学生指出，角的概念推广后,在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对

应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也

都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是：今后在表示与先

a终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角a的单位来决定另一项的单位,

即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k・360°+工或者2kJr+60°一类的写法.在弧

3

度制中，与角a终边相同的角，连同角a在内，可以写戌B=Q+2kJi(k£Z)的形式.如图2

为角的集合与实数集R之诃的一一对应关系.

讨论结果:①与角a终边相同的角，连同角a在内，可以写成B=a+2kn(k£Z)的形式.弧

度制下关于扇形的公式为1=aR,S=-aR2,S=-1R.

22

②

前的长OB旋转的方向ZA0B的弧度数ZAOB的度数

JIr逆时针方向n180°

2nr逆时针方向2n360a

R逆时针方向157.3°

2r顺时针方向2114.6°

JTr顺时针方向-n-180°

0未旋转00°

Jir逆时针方向n180°

2Jir逆时针方向2n360°

应用示例

例1下列诸命题中，真命题是（）

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧

B.一弧度是长度为半径的孤

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

活动：木例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟

练掌握定义.从实际教学上看，弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.

根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,

可知D为真命题.

答案:D

点评:本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念.

变式训练

下列四个命题中，不正确的一个是（）

A.半圆所对的圆心角是兀rad

B.周角的大小是2n

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案:D

例2将下列用弧度制表示的角化为2kn+a（kGZ,a£[0,2兀））的形式，并指出它们所在的

象限:①-叱；@-20;©-2V3.

43

活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般

规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是：If3=kn,keZ},（3|£=kn,kGZ}.

2

第一、二、三、四象限角的集合分别为：

{BI2kJi<f3<2kn+—,keZ},

2

jr

{BI2kn+—<p<2kJi+i.kEZ）,

2

{PI2kit+Ji<B〈2kJI+jkwZ},

2

{BI2kn+—<p<2kn42Ji,keZ).

2

解:①一比=-4n是第一象限角.

44

②三土=10n+二，是第二象限角.

43

@-20=-3X6.28-1.16,是第四象限角.

④-233.464,是第二象限角.

点评:在这类题中对于含有Ji的弧度数表示的角，我们先将它化为2kn+a(kWZ,a£

[0,2"))的形式，再根据a角终边所在的位置进行判断，对于不含有n的弧度数表示的角，

取n=3.14,化为kX6.28+Q,k£Z,IaI仁[0,6.28)的形式，通过a与工，n,—比较大

22

小，估计出角所在的象限.

变式训练

(1)把-1480。写成2kn+a(keZ,ae[0,2〉))的形式;

⑵若Bc[4兀，0),且3与(1)中a终边相同，求B.

解:⑴J48。。=.华一。"啜0W167r

<2n,

9

A-l480°=2(-5)n+—.

9

(2)VB与a终边相同，・・.B=2kJT+啊，k£Z.

9

又・・・Be[-4^0),/.^=--,P=--.

929

例3已知(KO<2Ji,且0与70相同求0.

活动:本例Fl的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角，并通过独立完成

课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问

题要很容易却难掌握，很有可能记错或者混淆或者化简错误，学生需多做些这方面的题来练

基本功.可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练,教师给予批改指导，对•易出错

的地方特别强调.对学生已现的种种失误，教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正，这

对以后学习大有好处.

k

解：由已知，得79=2kn+g,k£Z,即69=2kn..•・9=-n.

3

k

XV0<0<2n,.".0<—n<23i.

3

LZ,当k=l、2、3、4、5时,0=—>红、”、—.—.

3333

点评:本题是在••定的约束条件下，求与角a终边相同的角，一般地，首先将这样的角表

示为2k"a(kGZ,a£[0,2兀))的形式，然后在约束条件下确定k的值，进而求适合条件

的角.

例4已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大

值.

活动:这是一道应用题，并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的

思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固，并对回答好的学生进行表扬,对回答不

全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选

取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论.其

中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些

函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值.

解:设扇形的弧长为1,半径为r,圆心角为a，面积为S.

由已知，2r+l=a,即l=a-2r.

S=—1,r=—(a-2r)•r=-r2+—r=-(r--)2+—.

222416

Vr>0,l=a-2r>0,.\0<r<-.

c

L

:、当r=一时，Smx=一_.

416

此时，l=a-2,—=—,a=—=2.

42r

2

故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值幺.

16

点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,

然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.

变式训练

已知一个扇形的周长为——+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.

9

7T4乃

解:设扇形的半径为r,面枳为S,由已知知道,扇形的圆心角为80X—=—,

工扇形的弧长为---r,由已知，---r+2r=—+4,/.r=2.

999

AS=--如.故身形的面积为竺.

2999

点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反，也

可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形

及方程思想的运用.

知能训练

课本本节练习.

解答:L(1)生；(2)—2”；(3)驷.

863

点评:能进行角度与弧度的换算.

2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.

点评:能进行弧度与角度的换算.

7T

3.(1){«|a=kJi,keZ};(2){a|a=—+kn,k&Z).

2

点评:用弧度制表示终边分别在X轴和y轴上的角的集合.

4.(l)cosO.75°>cosO.75;(2)tan1.2°<tan1.2.

点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制.

注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos().7E。之

前,要将角模式设置为DEG(角度制)