2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之二项式定理

第17页（共17页）2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之二项式定理一．选择题（共4小题）1．（2024•全国）若（a+x）4的展开式中x的系数是-12，则A．1 B．12 C．-12 2．（2024•北京）在(x-x)A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣123．（2023•北京）（2x-1x）5的展开式中，A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．804．（2022•北京）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41二．填空题（共21小题）5．（2025•上海）在二项式（2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为．6．（2025•天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为（用数字作答）．7．（2025•北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝；a1+a2+a3+a4＝．8．（2025•上海）已知(x+ax)6的展开式中常数项是20，则a＝9．（2024•天津）在(x33+3x310．（2024•上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为．11．（2024•上海）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为．12．（2024•甲卷）二项式(13+x)10的展开式中，各项系数的最大值是13．（2023•天津）在（2x3-1x）6的展开式中，x2的系数为14．（2023•上海）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝．15．（2023•上海）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得ak＜0，则k的最大值为．16．（2022•新高考Ⅰ）（1-yx）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为17．（2022•天津）在（x+3x2）5的展开式中，常数项是18．（2022•上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝．19．（2022•上海）在（x3+1x）12的展开式中，则含1x4项的系数为20．（2022•浙江）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．21．（2021•北京）在（x3-1x）4的展开式中，常数项是22．（2021•浙江）已知多项式（x﹣1）3+（x+1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝；a2+a3+a4＝．23．（2021•天津）在（2x3+1x）6的展开式中，x6的系数是24．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．25．（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，x2的系数为80，则a＝．

2021-2025年高考数学真题知识点分类汇编之二项式定理参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）题号1234答案CADB一．选择题（共4小题）1．（2024•全国）若（a+x）4的展开式中x的系数是-12，则A．1 B．12 C．-12 【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】C【分析】根据二项式定理，建立方程，即可求解．【解答】解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是C4∴a=-故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，属基础题．2．（2024•北京）在(x-x)A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】A【分析】利用二项式定理，求解即可．【解答】解：(x-x)4的通项公式为：（﹣1）rC4r二项展开式中x3的系数：C42•（﹣1）2＝故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，是基础题．3．（2023•北京）（2x-1x）5的展开式中，A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80【考点】二项式定理．【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】D【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令x的次数为1，找到r的对应值，带回通项公式即可求得．【解答】解：由二项式定理可知（2x-1x）5展开式的第rTr+1=C5r（2x）5﹣r（-1x）r＝（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r，（r令5﹣2r＝1，可得r＝2．即含x的项为第3项，∴T3＝80x，故x的系数为80．故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．4．（2022•北京）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】B【分析】法一：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论．解法二：在所给的等式中，分别令x＝1，x＝﹣1，得到两个等式，再把两个等式相加并除以2可得a0+a2+a4的值．【解答】解：法一：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，可得a0=C44=1，a2=C42×22＝24，∴a0+a2+a4＝41，故答案为：41．法二：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣3）4＝81，∴两式相加除以2可得，a0+a2+a4=1+812故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．二．填空题（共21小题）5．（2025•上海）在二项式（2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为80．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】80．【分析】先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得（2x﹣1）5的展开式中x3项的系数．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项为Tr+1=C5r•（2x）5﹣r•（﹣1令5﹣r＝3，求得r＝2，所以（2x﹣1）5的展开式中x3项的系数是C52故答案为：80．【点评】本题考查二项展开式的系数，属于基础题．6．（2025•天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为﹣20（用数字作答）．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣20．【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x6-r（r＝当r＝3时，展开式中x3的系数为C6故答案为：﹣20．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2025•北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝1；a1+a2+a3+a4＝15．【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】1；15．【分析】根据赋值法，即可求解．【解答】解：因为（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，所以令x＝0，可得a0＝1，再令x=-12，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24所以a1+a2+a3+a4＝16﹣a0＝16﹣1＝15．故答案为：1；15．【点评】本题考查二项式定理的相关知识，赋值法的应用，属基础题．8．（2025•上海）已知(x+ax)6的展开式中常数项是20，则a＝【考点】二项式系数与二项式系数的和．【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】1．【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，列出方程，求出a的值．【解答】解：(x+a令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以T4=C63故答案为：1．【点评】本题考查二项展开式的通项与系数的求法，属于基础题．9．（2024•天津）在(x33+3x3【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】20．【分析】根据已知条件，结合二项式定理，常数项的定义，即可求解．【解答】解：(3x3故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理，是基础题．10．（2024•上海）（x﹣1）6展开式中x4的系数为15．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】15．【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．【解答】解：根据二项式展开C6故答案为：15．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．11．（2024•上海）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n＝32，所以n＝5，则该二项式的通项公式是Tr令5﹣r＝2，解得r＝3，故x2项的系数为C5故答案为：10．【点评】本题考查二项式系数和及通项公式，属基础题．12．（2024•甲卷）二项式(13+x)10的展开式中，各项系数的最大值是【考点】二项式定理．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：由于C106=C104，则展开式中系数最大的项一定在下面的5项：C10C106(13)4=故系数的最大值为C10故答案为：5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．13．（2023•天津）在（2x3-1x）6的展开式中，x2的系数为60【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】60．【分析】根据二项展开式的通项公式求解．【解答】解：二项式（2x3-1x）6的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x3)6-r⋅(-令18﹣4r＝2得，r＝4，∴x2项的系数为C64•22×（﹣1）4＝故答案为：60．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．14．（2023•上海）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝17．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4=C4故答案为：17．【点评】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题．15．（2023•上海）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得ak＜0，则k的最大值为49．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】49．【分析】由二项展开式的通项可得ak=C100k[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，若ak＜0，则k为奇数，所以ak=C100k（2023k﹣2023100﹣k），即2023k﹣2023100﹣k＜【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为Tr+1=C100r(2023x)r=C100r•2023r二项式（2023﹣x）100的通项为Tr+1=C100r2023100-r(-x)r=C100r•2023100﹣r∴ak=C100k⋅2023k+C100k⋅2023100-k⋅(-1)k=C若ak＜0，则k为奇数，此时ak=C100k（2023k﹣2023100∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．16．（2022•新高考Ⅰ）（1-yx）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】方程思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】﹣28．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，T7=C86x2∴（1-yx）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．17．（2022•天津）在（x+3x2）5的展开式中，常数项是【考点】二项式定理．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．【解答】解：∵(x+要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r＝0，即r＝1∴常数项是C51×3故答案为：15【点评】本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．18．（2022•上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝10．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】10．【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．【解答】解：∵二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即Cn2×3n﹣2＝5Cn0×3n，即∴n＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．（2022•上海）在（x3+1x）12的展开式中，则含1x4项的系数为【考点】二项式定理．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】66．【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C12k（x3）12﹣k（1x）k＝C12kx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣得k＝10，即T11＝C1210x﹣4=66x故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．20．（2022•浙江）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】8，﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1，∴a2＝﹣4+12＝8；令x＝0，则a0＝2，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，∴a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．故答案为：8，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（2021•北京）在（x3-1x）4的展开式中，常数项是﹣4【考点】二项式定理．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=C4r•（x3）4﹣r【解答】解：设(x3-1x)4展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=C4r•（x3）4﹣r•(-1x令12﹣4r＝0得r＝3．∴展开式中常数项为：（﹣1）3•C43故答案为：﹣4．【点评】本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．22．（2021•浙江）已知多项式（x﹣1）3+（x+1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝5；a2+a3+a4＝10．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；定义法；二项式定理；运算求解．【答案】5；10．【分析】利用通项公式求解x3的系数，即可求出a1的值；利用赋值法，令x＝1，即可求出a2+a3+a4的值．【解答】解：a1即为展开式中x3的系数，所以a1=C令x＝1，则有1+a1+a2+a3+a4＝（1﹣1）3+（1+1）4＝16，所以a2+a3+a4＝16﹣5﹣1＝10．故答案为：5；10．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查了运算能力，属于基础题．23．（2021•天津）在（2x3+1x）6的展开式中，x6的系数是160【考点】二项式定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】160．【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得x6的系数．【解答】解：（2x3+1x）6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r（2x3）6﹣r(1x)r=令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是C6323＝故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．24．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为64．【考点】二项式定理．【专题】计算题；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】64．【分析】由已知可得n＝6，令x＝1，即可求得系数和．【解答】解：由题意，Cn3＞所以n＝6，所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．故答案为：64．【点评】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．25．（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，x2的系数为80，则a＝2．【考点】二项式定理．【专题】计算题；方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由二项展开式的通项公式可得x2的系数，再根据x2的系数为80，求出a的值．【解答】解：（x+a）5的展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5﹣r所以x2的系数为C53a3＝80，解得a＝故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．

考点卡片1．二项式定理【知识点的认识】二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=i=0nCnia例1：用二项式定理估算1.0110＝1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.01故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把(3i-解：由题意T8=C107×(3i)3×故答案为：3603i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．性质1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cn（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜n+12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项Cnn2的二项式系数最大；当2．二项展开式的通项与项的系数【知识点的认识】﹣二项式定理是指（a+b）n的展开