第06讲有理数的加减法提升

第六讲有理数的加减法提升【课程解读】————初中课程解读————初中课程1.理解有理数的加法法则、减法法则、运算律；2.熟练掌握有理数加减法的混合运算，总结计算技巧；3.复习绝对值的几何意义，绝对值与有理数的混合运算的综合运用；4.理解有理数的混合运算的实际应用；5.有理数混合运算与数轴的综合运用；【知识衔接】————初中知识与典例链接————1、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时,和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数与零相加，仍得这个数．注：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值．计算技巧：“先算符号”，“再算绝对值”2、有理数加法运算律（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。符号语言：a＋b＝b＋a；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。符号语言：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算．这是一道有理数的加减混合运算题，你会做吗？探究归纳：（1）上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；（2）上题通常也可以用有理数减法法则，把它改写：统一为只有加法运算的和式．把加减法统一写成加法的式子，有时也叫做代数和．（3）在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号，省略不写．如上式可写成省略加号的和的形式：﹣8＋10－6－4.象这样的式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”，按运算意义也可读作“负8加10减6减4”，在这里把除第一个数外的数字前面的符号都可看作为运算符号，又可看作性质符号，这样，性质符号与运算符号既有区别，又有联系，有时可以互相转化。————初中重难点专项链接————【难点1有理数混合运算】计算：﹣12＋6－8＋6（2）﹣7＋13－6＋20（3）﹣3－（﹣4）＋5－6（4）（5）（6）（8）【答案】（1）﹣8；（2）20；（3）0；（4）；（5）﹣10；（6）2；（7）﹣2；（8）22；【解析】（1）原式＝﹣12－8＋6＋6＝﹣8；（2）原式＝﹣7－6＋13＋20＝20；（3）原式＝﹣3＋4＋5－6＝0；（4）原式＝＝；（5）原式＝＝﹣1－9＝﹣10；（6）原式＝＝1－1＋2＝2；（7）原式＝＝﹣8＋6＝﹣2；（8）原式＝16－3－8＋12＋5＝22；【难点2绝对值的几何意义与有理数的混合运算】①绝对值的几何意义：指的是数a到数b的距离；注意两数之间的符号是“－”号②化简绝对值时，先判断绝对值里的符号，如果是正，直接加括号，代入计算；如果是负，加括号，并改变绝对值前面的符号1.化简：(1)若1﹤x﹤2,则|x1|+|x2|=.(2)已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图,试化简代数式：|a|－|a+b|+|c－a|+|b－c|【答案】（1）1；（2）2c－a【解析】（1）∵1＜x＜2∴x－1＞0，x－2＜0∴原式＝x－1－（x－2）＝x－1－x＋2＝1如数轴可知，a＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0∴原式＝﹣a＋（a＋b）＋（c－a）－（b－c）＝﹣a＋a＋b＋c－a－b＋c＝2c－a思路点拨：化简绝对值，第一步判断正负，第二步去绝对值，正不变，负变号，第三步，去括号数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|ab|．

利用数形结合思想回答下列问题：

①数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和5的两点之间的距离是______．

②数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．

③若x表示一个有理数，则|x2|+|x+4|的最小值=______．

④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x4|=5，则满足条件的所有整数x的是______．

⑤若x表示一个有理数，当x为______，式子|x+2|+|x|+|x5|有最小值为______．【答案】（1）3；6；（2）；；（3）6；（4）﹣1,0,1,2,3,4；（5）0；7【解析】（1）6－3＝3；1－（﹣5）＝6；（2）＝；；（3）原式＝，可以看成是在求解，数轴上点x到2与x到﹣4的距离和，如下图所示，当x在﹣4和2之间时，距离最短，等于2－（﹣4）＝6（4）原式＝＝5，就是点x到﹣1和到4的距离和等于5，则x应该在﹣1到4之间的点，题目要求所有整数，所以是﹣1,0,1,2,3,4；（5）原式＝，就是求到﹣2，到0，到5三个点距离和最小的点，根据上两问可以知道，点x在﹣2和5之间，x到﹣2和到5的距离和最小，还需要再加一个到0的距离，所以x在0时，到三个点的距离最小思路点拨：①数轴上两点间的距离公式就是两点所对应的数的绝对值，如果一直大小，则用数轴右侧的点减去左侧的点所对应的数；②求一个点到另外两个点的距离和最小，则该点在另两个点之间的所有点，且最小值等于另两个点的距离；③求一个点到另外三个点的距离和最小，则该点在另三点的中间那个点的位置，最小值等于两端两点的距离；即先将三点进行从小到大排序，取中间点，即所求点，再计算两端点间的距离即为最小值。3.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距AB=|ab|.回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________,数轴上表示1和的两点之间的距离是________。(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________.(3)若表示一个有理数,则有最小值=，此时符合条件的整数有(4)的最小值=【答案】（1）3；4；（2）；（3）4；1，0，﹣1，﹣2，﹣3；（4）7；【解析】（1）5－2＝3；1－（﹣3）＝4；（2）＝；（3）原式＝，求点到1和﹣3的距离最小值，则当x在1和﹣3之间任意位置即可，最小值＝1－（﹣3）＝4；整数解为：1，0，﹣1，﹣2，﹣3；（4）原式＝，求点到﹣1,3,6的距离和最小值，中间点为3，所以x＝3，最小值＝6－（﹣1）＝7；4.我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB=|a—b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是．(2)若，则x＝______．(3)的最小值是；（4）的最小值是．【答案】（1）3；4；（2）；（3）5；（4）7；【解析】（1）＝3；＝4；（2）由等式可知，求x到2的距离是3的点是﹣1或5，位置如下图所示；原式＝，求点到﹣2和3的距离最小值，则当x在﹣2和3之间任意位置即可，最小值＝3－（﹣2）＝5；原式＝，求点到﹣1,2,6的距离和最小值，中间点为2，所以当x＝2时，最小值＝6－（﹣1）＝7；【难点3有理数混合运算的实际应用】1.南朗镇出租车司机小李，一天下午以车站为出发点，在南北走向的路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+11，﹣2，+9，﹣6，+10，﹣14，﹣8，+12，+7，﹣5，+3（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发车站多远？在车站的什么方向？（2）若每千米的价格为3元，这天下午小李的营业额是多少？【答案】（1）17，北；（2）261元【解析】（1）＋11＋（﹣2）＋9＋（﹣6）＋10＋（﹣14）＋（﹣8）＋12＋7＋（﹣5）＋3＝11－2＋9－6＋10－14－8＋12＋7－5＋3＝＋17；所以在车站的北方；（2）11＋2＋9＋6＋10＋14＋8＋12＋7＋5＋3＝87千米；87×3＝261元思路点拨：此题注意什么时候带符号计算，什么时候不需要带符号计算；当问方向有关的问题，都是需要带符号的，符号代表的是方向，当问行程时，与方向无关，不需要带符号。2.某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次3+89+10+462求收工时距A地多远？

（2）在第______次纪录时距A地最远．

（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？【答案】（1）2；（2）五；（3）67.2元；【解析】（1）﹣3＋8＋（﹣9）＋10＋4＋（﹣6）＋（﹣2）＝＋2；所以A地2千米；（2）第一次：﹣3；第二次：﹣3＋8＝5；第三次：﹣3＋8－9＝﹣4；第四次：﹣3＋8－9＋10＝6；第五次：﹣3＋8－9＋10＋4＝10；第六次：﹣3＋8－9＋10＋4－6＝4；第七次：﹣3＋8－9＋10＋4－6－2＝2；综上第五天距A地最远，为10千米；（3）3＋8＋9＋10＋4＋6＋2＝42千米；42×0.2＝8.4升；8.4×8＝67.2元；2.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+4﹣2﹣5+13﹣11+17﹣9（1）根据记录可知前三天共生产辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【答案】（1）597；（2）28辆；（3）84525元；【解析】（1）法一：第一天：204；第二天：198；第三天：195；204＋198＋195＝597辆；法二：200×3＋4－2－5＝597辆；（2）法一：产量最多为第六天：200＋17＝217辆；产量最小为第五天：200－11＝189辆；217－189＝28辆；法二：17－（﹣11）＝28辆；（3）法一：4－2－5＋13－11＋17－9＝7辆，由题意知，超产一辆车实际可得75元，所以1400×60＋75×7＝84525元；法二：60×（1400＋7）＋7×15＝84525元；思路点拨：①每天都有产能标准为200，所以表格中的增减是根据200浮动的，彼此间没有联系，与股票类问题不一样；②本题最后一问为每周计件工资制，与每天计件工资制不一样③超过任务的自行车每辆价值是60元＋奖励15元，不要当成多生产的就是15元一辆；注意理解一下法一与法二的区别。【难点4数轴与动点问题】动点铺垫：①动点三要素：起点、运动方向、运动速度②动点该如何表示：起点位置±速度×时间；（其中±看方向而定，在数轴上，向右＋，向左－）③数轴上描述两点间距离用右侧的点减去左侧的点，不用绝对值表示，如果遇到不确定左右的，分类讨论1.如图，是一个半径为1个单位长度的圆片，现将圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是．【答案】±2π【解析】路程＝周长＝πd＝2π，因为题目没有明确方向，所以需要分类，向左：0－2π＝﹣2π；向右：0＋2π＝2π；思路点拨：①注意圆滚动一周实际走的路程是它的周长；②解析中0－2π中的0指的是点A的起点位置，如果A在其他位置，只要将0改成对应的数即可，这是动点的思想；2.已知数轴上有A，B，C三点，分别代表12，5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位

（1）若甲、乙相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

（2）若甲、乙相向而行，问多少秒后甲到A，B，C的距离和为20个单位？

（3）在（2）的条件下，当甲到A，B，C的距离和为20个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．【答案】（1）5.2；（2）2或5；（3）﹣22；【解析】（1）5－（﹣12）＝17；17÷5＝3.4；﹣12＋3.4×2＝﹣5.2甲对应的数是﹣12＋2t1°当甲在AB段时（0＜t≤3.5）：A甲：﹣12＋2t－（﹣12）＝2tB甲：﹣5－（﹣12＋2t）＝7－2tC甲：5－（﹣12＋2t）＝17－2t所以2t＋7－2t＋17－2t＝20；t＝22°当甲在BC段时（3.5＜t≤8.5）：A甲：﹣12＋2t－（﹣12）＝2tB甲：﹣12＋2t－（﹣5）＝2t－7C甲：5－（﹣12＋2t）＝17－2t所以2t＋2t－7＋17－2t＝20；t＝53°当甲在C的右侧时，不存在综上：t＝2或5当t＝2时，甲对应：﹣8，乙对应：﹣1；此时甲向左，乙还是向左；从甲调头，设此后运动时间为m，则甲：﹣8－2m；乙：﹣1－3m因为相遇，所以﹣8－2m＝﹣1－3m；m＝7甲：﹣8－2m＝﹣8－2×7＝﹣22当t＝5时，甲对应：﹣2；乙对应﹣10；此时甲向左，乙还是向左，但甲的速度小于乙的速度，所以追不上乙，所以不可能相遇。3.已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．（1）请直接写出A，B两点所对应的数．（2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数．（3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值．【答案】（1）A：﹣8；B：20；（2）﹣22；（3）t＝4或16【解析】（1）A：0－8＝﹣8；B：﹣8＋28＝20A：﹣8－t；B：20－3t﹣8－t＝20－3t；t＝14﹣8－t＝﹣8－14＝﹣22M：﹣8－t；N：20－2t；O：01°如下图，当O是中点时：（﹣8－t＋20－2t）÷2＝0；t＝42°如下图，