高中数学苏教版选修2-2学案1.5.1曲边梯形的面积

1．5.1曲边梯形的面积学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多__________，对每个__________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③__________，④__________.知识点二求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用______、________、______、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．反思与感悟求曲边梯形的面积：(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近．(3)关键：以直代曲．(4)结果：分割越细，面积越精确．跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．类型二求变速运动的路程例2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”、“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)．1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为___________．2．若1N的力能使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时，克服弹力所做的功为________．3．在等分区间的情况下，f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈[0,1])与x轴所围成的曲边梯形面积和式正确的是________(填序号)．①n→＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·\f(2,n)))；②n→＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·\f(1,n)))；③n→＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋i2)·\f(1,n)))；④n→＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\f(i,n)2)·n)).4．求由曲线y＝eq\f(1,2)x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]；(3)作和：eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)；(4)逼近：n→＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)→S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．2．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题．提醒：完成作业1.5.1

答案精析问题导学知识点一思考1①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．1．y＝f(x)2．小曲边梯形小曲边梯形小矩形小曲边梯形近似值求和近似值3．①分割②以直代曲③作和④逼近知识点二分割近似代替作和逼近题型探究例1解(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点eq\f(1,n)，eq\f(2,n)，…，eq\f(n－1,n)把区间[0,1]等分成n个小区间：[0，eq\f(1,n)]，[eq\f(1,n)，eq\f(2,n)]，…，[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]，…，[eq\f(n－1,n)，eq\f(n,n)]，简写作[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－(eq\f(i－1,n))·(eq\f(i－1,n)－1)为其一边长，以小区间长度Δx＝eq\f(1,n)为邻边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－(eq\f(i－1,n))(eq\f(i－1,n)－1)·eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)．(3)作和曲边梯形的面积近似值为S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si≈－eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,[)－(eq\f(i－1,n))(eq\f(i－1,n)－1)]·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋eq\f(1,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－eq\f(1,n3)·eq\f(1,6)n(n－1)(2n－1)＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2)＝－eq\f(－n2＋1,6n2)＝－eq\f(1,6)(eq\f(1,n2)－1)．(4)逼近当分割无限变细，即Δx→0时，n→＋∞，此时－eq\f(1,6)(eq\f(1,n2)－1)→S.从而有S＝eq\f(1,6).所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为eq\f(1,6).跟踪训练1解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2x≥0，,y＝4，))得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝eq\f(2,n)，取ξi＝eq\f(2i－1,n).(2)以直代曲、作和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(2i－1,n)]2·eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝eq\f(8,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))．(3)逼近n→＋∞时，eq\f(8,3)(1－eq\f(1,n))(1－eq\f(1,2n))→eq\f(8,3).∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－eq\f(8,3)＝eq\f(16,3).∴2S阴影＝eq\f(32,3)，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积为eq\f(32,3).例2解(1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为[eq\f(2i－1,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－1,n)＝eq\f(2,n).每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si.(2)以直代曲取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是Δsi≈Δs′i＝v(eq\f(2i,n))·Δt＝[3(eq\f(2i,n))2＋2]·eq\f(2,n)＝eq\f(24i2,n3)＋eq\f(4,n)(i＝1,2，…，n)．(3)作和sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)s′i＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(24i2,n3)＋eq\f(4,n))＝eq\f(24,n3)(12＋22＋…＋n2)＋4＝eq\f(24,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6)＋4＝8(1＋eq\f(1,n))(1＋eq\f(1,2n))＋4.(4)逼近当n→＋∞时，8(1＋eq\f(1,n))(1＋eq\f(1,2n))＋4→12.所以这段时间内行驶的路程为12km.跟踪训练2解①分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为[eq\f(2i－1,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，Δt＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－1,n)＝eq\f(2,n)，把汽车在时间段[0，eq\f(2,n)]，[eq\f(2,n)，eq\f(4,n)]，…，[eq\f(2n－1,n)，2]上行驶的路程分别记为Δs1，Δs2，…，Δsn，则有sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si.②以直代曲取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，Δsi≈v(ξi)·Δt＝[－(eq\f(2i,n))2＋5]·eq\f(2,n)＝－eq\f(4i2,n2)·eq\f(2,n)＋eq\f(10,n)(i＝1,2，…，n)．③作和sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si≈eq\i\su(i＝1,n,[)－eq\f(4i2,n2)·eq\f(2,n)＋eq\f(10,n)]＝－eq\f(4×12,n2)·eq\f(2,n)－eq\f(4