新课标高中数学必修2知识点总结经典 (一)

新课标高中数学必修2知识点总结经典

第一章空间几何体

1.1空间几何体的结构

定义：有两个而互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何沐。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱A8c-A‘3c

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形：侧面、对角面都是平行四边形：侧极平行且相等：平行于底面的截面是与底面全等的多边

形。

2、极锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥P-ABCZ)£

几何特征：侧面、对角面都是三角形：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

定义：用一个平行于极锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如四棱台ABCD—A'B'CD'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱推的顶点

4、圆柱

:6

\O

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆：②母线与轴平行：③轴与底面圆的半径垂直：④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥

S

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆：②母线交于咧锥的顶点：③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆：②侧面母线交于原圆锥的顶点：③侧面展开图是一个弓形。

球体

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

※空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影与平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照射卜形成的投影叫做平行投影。

2,三视图

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

画二视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3、直观图：斜二测画法

斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标粕；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于，，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面枳的和。

<2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，卜为斜前，1为母线)

S直枝柱网面积=chS回柱侧=2mhS正梭锥恻面枳=/M锥侪面积=7irl

S正校台刚海=+°2)“S即台侧面积=(厂+我)用

S圆柱表=2加，(〃+/)S圆惟我="(「+/)s网台表=4(/+〃+/?/+*)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

『柱=Sh%柱=Sh=7rrh/=gSh崛惟=

=—(SI-JsSiS)h%^=Q(S4-SS+S)h—-7r{r~+rR+R2)h

333

士)*、

(4)球体的表面枳和体积公式：v球=?:s球面=4〃R-

第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

>--------------=/ucr公理】的作用：判断直线是否在平面内

/.\y(Ae«,Becr

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A,B,C不共线，则A,B,C确定平面a

推论1：过直线的宜线外一点有且只有一个平面

若4任/,则点A和/确定平面a

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若〃7r|〃=A，则m,〃确定平面a

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若〃?11〃，则m,n确定平面a

公埋2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

Pwa,Pw°=an0=/且。G/

公理3作用：(1)判定两个平面是否相交的依据：(2)证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.人na||c

5,星理，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

a||a\b||〃'且N1与N2方向相同=>N1=N2

6/||a\b||〃'且NI与N2方向和I反=Nl+Z2=180°

方向府同则方向相反则

N1=N2Nl+N2=180・

作用：该定理也叫等角定理，可以用来记明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。a\\b,。0人=4凡6异面

(1)没有任何公共点的两条直线平行

(2)有一个公共点的两条直线相交

(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交

aua

8、面而位置关系:平行、相交。

则该直线与此平面平行。

①一角形中位线定理：二角形中他线平行并等干底切的一半：

②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行：

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行;

⑵宜线与平面平行的性质：如果一条立线平行于一个平面，经过这条立线的平面与这个平面相交，那么这条立线和它们的交线平行；(上

面的③)

10、面面面行:(即两平面无任何公共点)

(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

,__________aua,bua

aC\b=A>=>a\\P

4/。||民以|夕

(2：两平面平行的性质：

性质I:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行:

|\刈月

/［「7=4=4

11〃

/an"zj

性质H：?行于同一平乎的两平面平行;

4一/。明”

-------Z

性质III:夹在两平行平面间的平行线段相等：

____________"

A.Cetz

­=>AC=BD

，XB【D/rB,Du0

AB||CD

性质IV：两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行:

夕或

aca)au/3

A_/

ii、线面垂克:

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交宜线都垂宜则该宜线与此平面垂直。

/I"

1______』L

1La

/\xm/〃zn〃=A

An/m,nua

⑶性质I:垂直于同一个平面的两条直线平行。

ala

bLa

ZJZ57

力卜

性质n：垂直于同一直线的两平面平行

12、面而面直:

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

/QT-B直二面角

/a则IB

fa7

面面垂直的判定定理

面面垂直的定义

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。>na_L/

Iua

（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

aLp

aD夕=m

lua

I_Lin

证明两直线垂直和上要方法:面面垂直的性质定理

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直：

③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

如图：PO_La=Q4是PA在平面a上的射影

'=>aA.PA

又直线aua.且。_LOA

即：线影垂直n线斜垂直，反之也成立。

空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的•条上取一点，过该点作另一条直发平行线,

如图：自•线a与b异面，b//b',直线a与直线b'的夹角为两异

面直线.与人所成的角，界面直线所成角取值范围是（0°,90°]

2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面。的•条斜线，A为斜足，0为垂足，0A叫斜线PA在平面

a上射影，NPAO为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角。一/一用，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小.二面角的

平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直.

如图：在二面角a-/•加30棱上一点，OAua,OBud

且04J./,08，，则NAO8为二面角a-l-燃平面角。

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？

而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）/

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。/I

如图：o为P在平面a上的射影，/人[

线段OP的长度为点P到平面a的距离求法选常有：定义法和等体积法//0,

等体积法：就是将点到平面的距离看成是

三棱锥的一个高。如图在三棱锥V-A3c

中有：^S-ABC=^A-SBC=^B-SAC=^C-SAB八.

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。度。因

此，倾斜角的取值范围是0°WaV180°

（2）直级的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜用的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即&=1@11=。斜率反映直线与轴

的倾斜程度。

90

当ae卜，'）时，A:>0;当ae（90°,180°）时，k<0,当。=90时，Z不存在。

②过两点的直线的斜率公式：21

注意：（D当』="2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°：

（2）k与Pl、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

3.2直线的方程

①点斜式:八％=/一芭）直线斜率k,且过点（加x）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是y=yl.

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因1上每一点的横坐标都等于xl,所以它的方程是

y=kx+b直线斜率为匕直我在y轴上的截距为b

②斜截式:

二xf

%—X%2-X（X工人2，y尸>2）直线两点（Xp'1

③两点式:

宰=1

④截矩式：ab

其中直线/与K轴交于点（火°）,与）'轴交于点（°乃），即/与X轴、）'轴的截距分别为

⑤-般式：Ax+8y+C=°（A,B不全为0）

注意：①各式的适用范围②特殊的方程如：

平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）；

(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

半仃十已知直线外+14'凡卅小全为。的常数)的真线系：4°*+"°)'+。=°(C为常数)

(-)过定点的直线系

(i)斜率为k的直线系：y—)‘°=&(了一%),直线过定点(/，%)：

(ii)过两条直线4:4/+与)'+G=°,/2：4%+32丁+。2=0的交点的直线系方程为

（尔+打+G）+刈2+为y+C?）=0（%为参数）其中直线4不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当.：y=k[X+b[4：y=七工+&时，

/.//L<=>匕=k”b[wb/1_L。—1

IXIXI47・l/

注怠：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与距离公式

1、两条直线的交点

/[：+8J+G=°，2：+员)，+。2=0相交

\x+B]〉+C]=0

交点坐标即方程组l&'+^y+G=0的一组解。

方程组无解=/J〃2；方程组有无数解04与/2重合

2、两点闰距离公式：设"与，必)是平面直角坐标系中的两个点，

则IAB|=J*2-M)2+()，2一片)2

d=+By。+C|

3、点到直线距离公式：一点尸Go,)'o)到直线A：Ar+By+C=0的距离JA°+夕

4、两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第四章圆与方程

4.1圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫网，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

(1)标准方程(人一力十(y一功~=，'2,圆心&"),半径为r；

(2)-段方程/+/+6+呼十八0

八2,r?2/17、八r=—VD2+E2-4F

当D+七一4尸>U时，方程表示圆，此时圆心为I22),半径为2

当。2十g_4尸=0时，表示一个点；当。2+1_"<()时，方程不表示任何图形。

(3)求回方程的方法：

一•般都采用待定系数法：先设后求。确定•个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a,b,r：若利用一股方程，需要求出D,E,F：

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

4.2直线、圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

|Aa+Bb+C\

⑴设直线/：Ax+By+C=°,圆C:(x-a)2+()，-/»2=/,圆心C(a,%]的距离为JT+心,则有

〃>〃=/与Cffl离,d=ro/与C相切.〃〈〃。/与仃目交

，，

(2)设直线/：4x+8)，+C=0,圆c：(x-a『+()，-5)2=〃，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为

△，则有

△<o=/与chi离；△=。3/与c相切；AAO"/.。相交

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式少°=〃去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标