专题06有理数的分类与数轴（原卷版）

专题06有理数的分类与数轴1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；2.会对有理数进行分类。3.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；4.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；5.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．1.有理数的相关概念1）整数：正整数、、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．2）分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．3）有理数：整数和分数统称为有理数．4）有理数的分类：（1）（2）注意：1）会对整数和分数进行简单分类；2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；5）常用数学概念的含义1）正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负数，又是整数3）正分数：既是整数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数5）非正数：负数和06）非负数：正数和07）非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和02.数轴1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．2）数轴的画法①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．3）有理数与数轴的关系①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．【题型一】有理数的概念辨析【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．【典题1】（2021•天津期末）下列说法正确的有（）①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典题2】（2021·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（）A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数【变式练习】1.（2021•长乐区校级月考）下列说法错误的是（）A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．0既不是正数，也不是负数 D．负整数、负分数统称为负有理数2.（2021•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（）①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型二】有理数的分类【解题技巧】正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数。【典题1】（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：1，，，0.5，，，，0，2014，20%，正数集合：负数集合：整数集合：正分数集合：有理数集合：【典题2】（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤-27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；（1）整数集合：{…}；（2）负数集合：{…}；（3）非正数集合：{…}；（4）分数集合：{…}；（5）非负整数集合：{…}．【变式练习】1.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．5，14，﹣3，-312，0，2010，﹣35，6.2正数集合{…}；负数集合{…}；自然数集合{…}；整数集合{…}；分数集合{…}；负分数集合{…}；非负数集合{…}；非正整数集合{…}；2.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5【题型三】有理数中的新定义集合【解题技巧】【典题1】（2021•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．【典题2】（2021•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为集合，例如{﹣1，101}就是一个集合．若一个集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该集的元素的个数是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26【变式练习】1.（2021•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（）A．22 B．23 C．24 D．252.（2021•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合{-112【题型四】数轴的三要素及其画法【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示1，2，3，…….【典题1】（2021·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点其中正确的是（）A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④【典题2】（2021春•金华月考）下列关于数轴的图示，画法不正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式练习】1.（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B． C．D．2.（2020秋•红花岗区校级月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，【题型五】用数轴上的点与有理数的关系【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.【典题1】（2021•喀喇沁旗期末）在如图的数轴上，点A、B在2的左面，小巧在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，现在知道A点表示123，那么B点表示【典题2】（2021•昆明期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（）A．3 B．4 C．5 D．﹣1【变式练习】1.（2021•门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④2.（2021•正定县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是．【题型六】利用数轴比较有理数的大小【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。【典题1】（2021·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．B．C．D．【典题2】（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．【变式练习】1．（2022·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（）A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大2．（2021·河北初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a【题型七】数轴上两点之间的距离【解题技巧】【典题1】（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣413点距离为312的点所表示的数为【典题2】（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．【变式练习】1.（2021满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（）A．﹣5 B．0 C．1 D．22.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（）A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为1．（2021·青海中考真题）若，则实数在数轴上对应的点的位置是（）．A． B．C． D．2．（2021·广东云浮市·七年级期末）下列各项中，所画数轴正确的是（）A．B．

C．D．

3.（2021·绵阳市七年级期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．A．整体 B．方程 C．转化 D．数形结合4．（2021·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（）A．10 B．100 C．1 D．95．（2021·浙江温州市·）在数轴上位置的描述，正确的是（）A．在点的左边 B．在点和原点之间C．由点1向左平移4个单位得到 D．和原点的距离是6.（2022·邹平七年级月考）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（）个A．13或14个 B．14或15个 C．15或16个 D．16或17个7．（2020·浙江七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上表示“”“”的刻度分别对应数轴上的是和x所表示的点，那么x等于（）A．5 B．6 C．7 D．88.下列说法中，错误的是（）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．数轴上的原点表示0C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是D．数轴上表示的点在原点左边3个单位9．（2021·湖南常德市·七年级期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2020次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（）A．1010 B．1009 C．1009 D．101010.（2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期末）在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个11.（2021春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.212.（2021•东至县期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2不仅是有理数，而且是分数；⑥⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个13.（2021•下城区校级期中）数轴上点M表示有理数﹣3，将点M向右平移5个单位长度到达点N，点E到点N的距离为6，则点E表示的有理数为．14.（2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．15.（2021·江西·七年级期末）动点分别从数轴上表示和的两点同时出发，以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，_______秒后，点间的距离为个单位长度.16．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．17.（2021•罗庄区期末）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是．18.（2021•宁波期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（