福建省福州市台江区九校2024-2025学年高一下学期期末联考试题数学

20242025学年第二学期期末考试高一数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，若zi=i−1，则(

)．A.z=1−i B.z的虚部为C.|z|=2 D.z在复平面内对应的点在第三象限2.已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若a与b垂直，则实数m=(

)A.2 B.−2 C.12 D.3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)A.16 B.13 C.124.在▵ABC中，点D在BC边上，BD=2DC.记AB=a，AD=bA.−12a+32b B.5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则(

)A.A与C对立 B.B与C不互斥 C.A与B对立 D.B与C对立6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知∠ABC=45∘，AD=AB=1A.73π B.143π C.7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n B.若m//α，α//β，则m//βC.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m⊥α，m//β，则α⊥β二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则(

)A.样本中有12位男生的测试成绩 B.样本中女生测试成绩的第70百分位数是C.样本中女生测试成绩的方差为2 D.样本中所有学生测试成绩的平均数为7.7510.已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(

)A.若sinA>sinB，则A>BB.sin(B+C)=sinAC.若b2+cD.若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，A.FM//B.当E为A1CC.存在点E，使得平面BEF//平面CD.三棱锥B−CEF的体积为定值三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量a=(−3,4)，b=(2,2)，则a在b上的投影向量的坐标是______．13.已知事件A和事件B相互独立，事件B−是事件B的对立事件，P(A)=12，P(B)=3414.在▵ABC中，D是BC边上一点，且C=π3，ACBC=12，则ABAC=

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(本小题13分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z．(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，求实数p，16.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量m=(3a−b,a−c)，(1)求角C；(2)若△ABC的面积为3，sinB=1+cosA，点D为边AC的中点，求BD的长．17.(本小题15分)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人.年龄在[70,80)的老年人300人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；(2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差．18.(本小题17分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥求证：(1)AC1//(2)(3)若平面ACC1与平面CDB1的交线l为，求l19.(本小题17分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．

20242025学年第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准1.【答案】D

【解答】解：由题意得z=ii−1故选：D．2.【答案】A

【解析】解：根据题意，向量a=(−1,2)，b若a与b垂直，则a⋅b=−m+2=0故选：A．3.【答案】D

【解析】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n=6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m=4，则这2名学生来自不同年级的概率为P=m故选：D.4.【答案】A

【详解】根据题意，

在▵ABD中，BD故DC=又在▵ADC中，AC故选：A．5.【答案】C

【解析】解：根据题意，抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有Ω={正反，正正，反正，反反}共4种情况，其中事件A={正反，反正，反反}；事件B={正正}，事件C={反反}，依次分析选项：对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误；对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误；对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确；对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误．故选：C．根据题意，由互斥事件和对立事件的定义依次分析选项，即可判断．本题考查对立事件、互斥事件的定义，注意两者的不同，属于基础题．6.【答案】B

【解析】解：作出其平面图形，则在平面图形中AD=1，AB=2，BC=2，∠ABC=90所以圆台的上底面半径r=AD=1，下底面半径R=2，高ℎ=2，则圆台的体积：V=1故选：B．7.【答案】D

【解析】解：若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故A错误；若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；若m//β，过m作平面γ交β于n，则m//n，又m⊥α，则n⊥α，可得α⊥β，故D正确．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．8.【答案】C故选：C．9.【答案】ABC

【解析】解：对于A，由题意得，该学校高一年级共有540+360=900人，则样本容量为8360所以样本中男生有20−8=12人，A正确；对于B，由于8×70%=5.6，所以样本中女生成绩的70百分位数是第6项9，故B正确；对于C，样本中女生成绩的平均数为18所以样本中女生成绩的方差为18所以样本中女生成绩的方差为2，故C正确；对于D，样本中所有学生测试成绩的平均数为820×8+12故选：ABC．根据分层抽样的定义可知样本容量为20，进而求出样本中男生人数，再结合百分位数、标准差和平均数的定义求解．本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了平均数、百分位和方差的定义，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：对于A，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB，可得a>b，所以A>B，可知A项正确；对于B，由内角和定理得B+C=π−A，∴sin对于C，由b2+c对于D，若acosA=bcosB，则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，可得A=B或A+B=90°，所以△ABC是等腰或直角三角形，故D项错误．故选：AB．11.【答案】ABD

【解析】解：对于A，由于F，M分别是DA，DC的中点，故FM//AC．而AC/​/A1C1，所以对于B，当E是A1C1的中点时，由于BA1=BC1，故BE对于C，假设平面BEF/​/平面CC1D1D，则两平面没有公共点，从而两直线BF，CD没有公共点，又由于两直线BF，而BA//CD，这意味着F和A重合，矛盾，故C错误；对于D，设E到平面BCF的距离和F到直线BC的距离分别为ℎE−BCF和ℎF−BC，则从而三棱锥B−CEF的体积V=13⋅故选：ABD．12.【答案】(1【解析】解：因为a=(−3,4)，b所以a在b上的投影向量的坐标是a⋅故答案为：(由投影向量的求法计算即可．本题考查投影向量的求法，属于基础题．13.【答案】18【解析】解：事件A与事件B相互独立，则A与事件B也相互独立，且P(A)=12，P(AB)=3P(AB故答案为：18根据相互独立事件的概率公式即可求解．本题考查了相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式的相关知识，属于基础题．14.（第一空2分，第二空3分）【答案】3

；

2+【解析】【分析】设AC=b，则BD=2b.画出图形，运用余弦定理得到A=3b，进而得到AB【详解】设AC=b，则BD=2b．在▵ABCAB=ABAC在▵ABC中，由余弦定理cos∴3ac=a2∴ac≤∴S∴S面积最大值为2+故答案为：3；15.【答案】解：(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为1,3，0,2，2,1...........................................................................1设D的坐标为x,y，由于AD=BC，所以x−1,y−3=2,−1，所以x−1=2，y−3=−1，解得x=3，y=2，故D3,2，.......................................................................................................................................................则点D对应的复数z=3+2i．..........................................................................................................................................................6法一：因为3+2i是关于x的方程2x所以3−2i是关于x的方程2x2−px+q=0由韦达定理得3+2i+3−2i=p2，3+2i⋅解得p=12，q=26．...........................................................................................................................................................................13

法二：将3+2i代入得到2(5+12i)p(3+2i）q=0...........................................................................................................................................................q=0...........................................................................................................................................................8整理得(103p+q)+(242p)i=0............................................................................................................................................................9所以103p+q=0且242p=0............................................................................................................................................................11解得p=12，q=26...............................................................................................................................................................................1316.【答案】解：(1)由题意可得(3由正弦定理得a2+由余弦定理得cosC=a2因为C∈(0,π)，.....................................................................................................................................................................................5所以C=π6(2)因为sinB=1+cosA，所以sinB=1+cos(由差角余弦公式展开，整理得12sinB+即sin(B+π又0<B<5π6，所以π则

B+π3=π故b=c，A=2π3所以S△ABC所以b=c=2，....................................................................................................................................................................................13在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB217.【答案】解：(1)频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×2+0.08×3+0.18×4+0.26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35，....................3由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1−0.04×1=0.96，年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1−(0.05×1+0.04×1)=0.91，因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，........................................................................................................................4由7.5+1×0.95−0.91可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3．................................................................6(2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为x−，方差记为s年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为y−，方差记为s年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z−，方差记为s由(1)得x−=5.35，由题意得，sx2=3，则z−=由s2=可得s2=即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3．

.............................................................................................1518.【答案】解：(1)证明：连接BC1

，交B1C可知四边形BC1B1C是平行四边形，可得O又D是AB的中点，则OD//AC1又OD⊂平面B1CD，AC1所以AC1//平面(2)证明：根据题意，三棱柱ABC−A1B又由AC⊥BC，AC//A1CBC