重难点解析北师大版9年级数学上册期中测试卷附参考答案详解（完整版）

北师大版9年级数学上册期中测试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（

）A． B．或 C． D．2、把标号为1，2，3的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于3的概率是（

）A． B． C． D．3、已知实数满足，则代数式的值是(

)A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或34、关于的一元二次方程的两根应为（

）A． B．， C． D．5、在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．6、如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．7、如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（

）A．3 B．4 C．4.8 D．5二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的有（

）A．若，则方程必有实数根B．若，，则方程必有两个不相等的实根C．若是方程的一个根，则一定有成立D．若是一元二次方程的根，则2、若是方程的一个根，则的值是（

）A．1 B． C．3 D．3、如图，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点C、D．连结AC、BC、AD、BD，则四边形ADBC一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为_____．2、一个正方形的面积为，则它的对角线长为________．3、如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于___；移动的距离AA′等于___时，两个三角形重叠部分面积最大．4、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.5、在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________．6、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．7、如图，四边形、是正方形，点、分别在、上，连接，过点作，交于点，若，，则________．8、如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．9、对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．10、对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（

）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（

），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（），请说明理由．2、如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．(1)求证：AE=CD；(2)当AB、AC满足什么条件时，①四边形AEBD是矩形？请说明理由；②四边形AEBD是菱形？请说明理由；③四边形AEBD是正方形？请说明理由．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8cm2?4、如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接.(1)填空：菱形的边长_________；(2)求直线的解析式；(3)动点从点出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，①当时，求与之间的函数关系式；②在点运动过程中，当，请直接写出的值.5、（1）计算：（2）解方程：2（x﹣3）2＝506、如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF，求证：∠BAE=∠DAF．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得(8-t)×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．故选A．【考点】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．2、D【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和大于3的有6种，∴两次摸出的小球标号的和大于3的概率是，故选：D【考点】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3、A【解析】【分析】将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解；当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，故选A．【考点】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．4、B【解析】【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可．【详解】x2−3ax+a2=0，△=(−3a)2−4××a2=a2，x=.所以x1=a,x2=a.故答案选B.【考点】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法解一元二次方程.5、A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选A．【考点】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.6、A【解析】【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A．【考点】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．7、D【解析】【分析】观察图形可知阴影部分小长方形的长为，再根据去除阴影部分的面积为950，列一元二次方程求解即可．【详解】解：由图可得出，整理，得，解得，（不合题意，舍去）．故选：D．【考点】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．二、多选题1、ABD【解析】【分析】A正确，利用判别式判断即可．B正确，证明Δ＞0，即可判断．C错误，c＝0时，结论不成立．D正确，利用求根公式，判断即可．【详解】解：A、当x=2是，4a＋2b＋c＝0，故x＝2是方程的根；则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根，A正确，B、∵Δ＝b2−4ac＝（3a＋2）2−4a（2a＋2）＝9a2＋12a＋4−8a2−8a＝a2＋4a＋4＝（a＋2）2，∵a＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故B正确．C、∵若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，∴c（ac＋b＋1）＝0，∴c＝0或ac＋b＋1＝0，故C错误．D、∵t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根∴t＝，∴b2−4ac＝（2at＋b）2，故D正确，故答案为：A，B，D．【考点】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．2、AD【解析】【分析】把代入方程中，得到关于的一元二次方程，然后解方程即可．【详解】解：把代入方程中，得：，解得：，，所以的值为1或，故选AD．【考点】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元二次方程．3、BD【解析】【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【详解】解：由作图可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形且为平行四边形，故选：BD．【考点】本题考查基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．三、填空题1、【解析】【分析】取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．根据菱形的性质，可得△ADB是等边三角形，从而得到△AEN是等边三角形，可证得△AEF≌△NEG，进而得到点G的运动轨迹是射线NG，继而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中，由勾股定理，即可求解．【详解】如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∴D，E关于射线NG对称，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，∴BH＝BE＝，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝，∴GD+GC≥，∴GD+GC的最小值为．故答案为：．【考点】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．2、【解析】【分析】根据正方形的面积求得正方形的边长，再由勾股定理求得正方形的对角线长即可.【详解】∵正方形的面积为，∴正方形的边长为9cm，∴正方形对角线的长为.故答案为.【考点】本题考查了正方形的性质，熟知正方形的性质是解决问题的关键.3、

1cm或3cm##3cm或1cm

2cm【解析】【分析】如图，设交于交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.【详解】解：如图，设交于交于由平移的性质可得：四边形是平行四边形，由正方形可得：是等腰直角三角形，同理：也是等腰直角三角形，设cm，则解得：cm或cm重叠部分的面积为：当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2所以当cm时，重叠部分的面积最大.故答案为：1cm或3cm；2cm【考点】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.4、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．5、x2﹣6x+6＝0【解析】【分析】根据根与系数的关系分别求出b和c即可．【详解】解：根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．故答案为：x2﹣6x+6＝0．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．6、【解析】【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.【详解】解：则或或解得：故答案为：【考点】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.7、【解析】【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．【详解】∵AB=4，AE=1，∴BE=AB−AE=4−1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB−AE=BC−CH，∴BE=BH=3．故答案为3．【考点】本题主要考查正方形和平行四边形，掌握正方形与平行四边形的判定与性质是解题的关键．8、【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：从而列不等式可得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，故答案为：【考点】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9、2或-3##-3或2【解析】【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案为：2或-3．【考点】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．10、或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【考点】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．四、解答题1、（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析．【解析】【分析】（1）利用直角的边长就可以表示出等边三角形、、的大小，满足勾股定理；（2）利用直角的边长就可以表示出半圆、、的大小，满足勾股定理；（3）利用BC、AD的长分别表示正方形、、、的大小，根据BC=2AD，即可求解．【详解】解：（1）由题意可得：，，，，，故答案为：；（2）由题意得：，，，，故答案为：；（3）过D作，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，故，又∵BC=2AD，∴，，∴，∵，，，，∴，故答案为：．【考点】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．2、(1)见解析(2)①AB=AC；理由见解析；②AB⊥AC；理由见解析；③AB=AC且AB⊥AC；理由见解析【解析】【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是△ABC的中线，即可证得．（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可．(1)证明：∵AE//BD，AD//BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．(2)（2）①AB=AC∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴ADCD，∴∠BDA=90°．∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是矩形，②AB⊥AC∵AB⊥AC，AD是△ABC的中线，∴BD=AD．∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是菱形．③AB=AC且AB⊥AC∵AB=AC且AB⊥AC，∴△ABC是等腰直角形∵AD是△ABC的中线，∴BD=AD，BD⊥AD，∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是正方形．【考点】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用．3、当t为2或4时，△QAP的面积等于8cm2．【解析】【分析】当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．【详解】解：当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依题意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴当t为2或4