重难点解析人教版8年级数学下册《平行四边形》同步测试练习题

人教版8年级数学下册《平行四边形》同步测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．22、在中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AO=CO B．AO=BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC3、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．2 C． D．4、如图，已知平行四边形ABCD的面积为8，E、F分别是BC、CD的中点，则△AEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．55、如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在处，若，要使，则的度数应为（）A．20° B．55° C．45° D．60°第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在正方形ABCD中，，E是AB的中点，P是AD上任意一点，连接PE，PC，若是等腰三角形，则AP的长可能是______．2、如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若，则GE的长为__________．3、如图，在正方形ABCD中，点O在内，，则的度数为______．4、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．5、如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在中，，D是边上的一点，过D作交于点E，，连接交于点F．（1）求证：是的垂直平分线；（2）若点D为的中点，且，求的长．2、如图，在矩形中，为对角线．（1）用尺规完成以下作图：在上找一点，使，连接，作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若，求的度数．3、如图，在矩形中，，，且四边形是一个正方形，试问点F是的黄金分割点吗？请说明理由．（补全解题过程）4、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）判断四边形ABFC的形状并证明；（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．5、（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，∴CD=AB，∵AB的长为10，∴DC=5，故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．2、C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD时平行四边形，AO⊥BO，∴是菱形；故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．3、D【解析】【分析】利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】解：四边形OABC是矩形，，在中，由勾股定理可知：，，弧长为，故在数轴上表示的数为，故选：．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．4、B【解析】【分析】连接AC，由平行四边形的性质可得，再由E、F分别是BC，CD的中点，即可得到，，，由此求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，∴∵E、F分别是BC，CD的中点，∴，，，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，与三角形中线有关的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．5、B【解析】【分析】设直线AF与BD的交点为G，由题意易得，则有，由折叠的性质可知，由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF与BD的交点为G，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、或或【解析】【分析】分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰三角形的性质和正方形的性质进行求解即可．【详解】解：如图1，当时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，BC=DC，∴，∴则，∵E是AB的中点，∴∴；如图2．当点P与点D重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠A=∠B=90°，∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴即PE=CE，是等腰三角形．∴；如图3．当时，设，则，在直角△PDC中，，在直角△AEP中，，则．解得，即．综上所述，AP的长可能是1或2或．故答案为：1或2或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质和正方形的性质．2、##【解析】【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF==13，S△ABF=AB•AF=BF•AH，∴12×5=13AH，∴AH=，∴AG=2AH=，∵AE=BF=13，∴GE=AE-AG=13-=，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．3、135°【解析】【分析】先根据正方形的性质得到∠OAC+∠OAD=45°，再由∠OAC=∠ODA，推出∠ODA+∠OAD=45°，即可利用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°，∴∠OAC+∠OAD=45°，又∵∠OAC=∠ODA，∴∠ODA+∠OAD=45°，∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=135°，故答案为：135°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质．4、①②③【解析】【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．5、【解析】【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS），∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵点O是斜边AB的中点，∴AO＝BO，在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS），∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝，∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）6【分析】（1）由BC=BD，可得∠BCD=∠BDC，再由及，可得∠ECD=∠EDC，则有EC=ED，从而可得点B、E在线段CD的垂直平分线上，从而可得结论；（2）由D点是AB的中点及BC=BD，可得△BDC是等边三角形，从而由30度的直角三角形的性质可分别求得EC、BE，由AE=BE，即可求得AC的长．【详解】（1）∵BC=BD∴∠BCD=∠BDC，点B在线段CD的垂直平分线上∵，∴∠BCD+∠ECD=∠EDC+∠BDC∴∠ECD=∠EDC∴EC=ED∴点E在线段CD的垂直平分线上∴BE是线段CD的垂直平分线（2）D点是AB的中点，∠ACB=90゜∴CD是Rt△ABC斜边上的中线∴CD=BD∴CD=BC=BD∴△BDC是等边三角形∴∠BCD=∠DBC=60゜∴∠ECF=90゜－60゜=30゜由（1）知，BF⊥CD∴EC=2EF=2，∴BE=2EC=4∵DE⊥AB，点D为AB的中点∴AE=BE=4∴AC=AE+EC=4+2=6【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，直角三角形斜边上的中线的性质，30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；题目虽不难，但涉及的知识点比较多，灵活运用这些知识是解题的关键．2、（1）图形见解析；（2）【分析】（1）利用尺规根据题意即可完成作图；

（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理可得的度数．【详解】（1）如图，点E和点F即为所求；

（2）∵，∠ABD=68°，

∴∠AEB=∠AEB=68°∴∠EAB=180°-68°-68°=44°，

∴∠EAD=90°-44°=46°，

∵AF平分∠DAE，

∴∠FAE=∠DAE=23°，

∴【点睛】题考查了尺规作图-作角平分线，矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．3、是，理由见解析【分析】根据已知得出只需求得其BF与BC的比是否符合黄金比即可．【详解】解：点F是BC的黄金分割点．理由如下：∵四边形是一个正方形，∴．又∵在矩形中，BC=AD=2，∴．∴点F是BC的黄金分割点．【点睛】此题主要考查了黄金分割点，根据已知条件和正方形的性质进行分析求解是解题关键．4、（1）矩形，见解析；（2）3【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．【详解】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．（2）∵四边形ABFC是矩形，∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，∴AE＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝3，∴EF＝3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩