（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题19 数列求和归类（原卷版）

第页专题19数列求和归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】公式法求和1（等差） 1【题型二】公式法求和2（等比） 3【题型三】倒序求和 5【题型四】错位相消 6【题型五】正负相间求和 7【题型六】裂项相消基础 8【题型七】分组求和1：等差等比分组 10【题型八】分组求和2：裂项分组 12【题型九】分组求和3：正负相间分组 13【题型十】分段数列求和 14【题型十一】裂项相消拔高1：f（x）型裂项 16【题型十二】裂项相消拔高2：指数型裂项 17培优第一阶——基础过关练 18培优第二阶——培优拔尖练 24【题型一】公式法求和1（等差）【典例分析】已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求.【提分秘籍】基本规律等差数列求和公式：(1)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.【变式训练】在等比数列中，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【题型二】公式法求和2（等比）【典例分析】已知数列满足，.(1)记，写出，，并求数列的通项公式；(2)求的前12项和.【提分秘籍】基本规律等比数列有关公式：通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（3）【变式训练】在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.问题：已知等比数列的前项和为，___________.(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，且，求的值.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【题型三】倒序求和【典例分析】已知函数．(1)证明函数的图像关于点对称;(2)若，求；【变式训练】设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【题型四】错位相消【典例分析】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.(1)证明：数列是等差数列；(2)若数列满足，记，证明：.【提分秘籍】基本规律错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．思维结构结构图示如下【变式训练】数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和.【题型五】正负相间求和【典例分析】已知等比数列的前项和为为常数）.(1)求的值，并写出数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【提分秘籍】正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以相邻的正负两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【变式训练】已知数列的各项均为正数的等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【题型六】裂项相消基础【典例分析】已知等差数列中，，为其前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)令，，，若对一切成立，求最小正整数的值.【提分秘籍】基本规律基本规律裂项相消法：常用的裂项公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； 【变式训练】已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，并求使得成立的最小正整数.【题型七】分组求和1：等差等比分组【典例分析】已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加（减）【变式训练】已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．【题型八】分组求和2：裂项分组【典例分析】已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律形如an＝，用分组+裂项求和法求和，分别求和而后相加减【变式训练】已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和Tn．【题型九】分组求和3：正负相间分组【典例分析】已知数列的前n项和公式为．(1)求证：数列是等比数列；(2)令，求数列的前n项和；【提分秘籍】基本规律形如，多可以通过奇偶取值，再各自求和，得到奇数项或者偶数项和【变式训练】在等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【题型十】分段数列求和【典例分析】已知数列满足(1)求的值；(2)求的前50项和．【提分秘籍】基本规律有分段型（如），可奇偶各段各自求和。分段型，还包括符号型（如），周期型（如）等等【变式训练】已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.(1)求数列，的通项公式；(2)定义，记，求数列的前20项和.【题型十一】裂项相消拔高1：f（x）型裂项【典例分析】已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【提分秘籍】基本规律1.形如，可列为型。其中，分子a-b是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出这种形式。2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。【变式训练】已知正项数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值.【题型十二】裂项相消拔高2：指数型裂项【典例分析】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.【提分秘籍】基本规律形如指数型，其中f（n）可构造为，化为。注意构造过程中指数幂的运算【变式训练】已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和，求；（3）若数列的前项积为，求.（4）数列满足，，其中，，求.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．2．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．3．已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.（1）证明：；（2）若，证明：数列是等比数列；（3）求和：.4．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.5．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．培优第二阶——培优拔尖练1．已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.2．已知正项数列的前n项和为，且满足，.(1)证明：数列为