《线性控制系统理论与方法》课件第6章

第6章动态系统的稳定性6.1外部稳定性和内部稳定性6.2

Lyapunov稳定性6.3线性系统的稳定性判据6.4离散时间系统的稳定性和判据 6.1外部稳定性和内部稳定性

定义6.1

对于一个线性因果系统，假设系统的初始条件为零,若对于一个有界的输入u(t)，即满足条件u(t)‖≤k1<+∞,t∈［t0,∞)的输入u(t)，产生的输出y(t)也是有界的，即成立y(t)‖≤k2<+∞,t∈［t0,∞)则称此系统是外部稳定，或称为是有界输入有界输出稳定的(简称为BIBO稳定)。线性系统的BIBO稳定性可根据系统脉冲响应阵或传递函数阵来判别。

证明首先，对于SISO情况，证明充分性。对于任意有界函数u(t)且满足|u(t)|≤k1<+∞,t∈［t0,∞)，则所以该系统是BIBO稳定的。再证必要性。反设存在某个t1∈［t0,∞),使得

定义如下有界输则这与BIBO相矛盾。对于MIMO情况，y(t)的分量yi(t)满足以下关系：

定理6.2（定常情况）对于零初始条件的线性定常系统，t0=0，G(t)为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，则该系统为BIBO稳定存在一个有限常数k，使G(t)的每一个元gij(t)(i=1,2,…,q；j=1,2,…,p)均满足关系式或者等价地，当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元的传递函数gij(s)的所有极点均具有负实部。^^^定义6.2

对于线性定常系统

定理6.3线性定常系统为渐近稳定的A的所有特征值均具有负实部。

证明因为,所以则其中，T为非奇异阵，满足A=TJT-1,J

为A的Jordan规范型，则因此,该系统渐近稳定的充要条件就是A的所有特征值具有负实部。

定理6.4设线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的，反之不真。

证明因为G(t)=CeAtB+Dδ(t),当系统渐近稳定时，有

，所以G(t)的每一个元gij(t)均满足关系式由定理6.2可知，该系统是BIBO稳定的。反例：由定理6.3易知，它不是渐近稳定的，而其传递函数为0，对任意输入函数其输出总是零，所以它是BIBO稳定的。

由系统结构的规范分解可知，线性定常系统分解为四部分，而输入/输出特征只能反映系统的能控能观测部分，BIBO稳定只意味着其能控能观测部分为渐近稳定的。定理6.5若线性定常系统为能控且能观，则其内部稳定性与外部稳定性是等价的。

证明：由定理6.4可知，由内部稳定性可推出外部稳定性。

反过来，G（s)=C(sI-A)-1B+D,因为（A，B)完全能控，(A,C)完全能观，所以sI-A与B左互质，sI-A与C右互质，故G(s)的每个元的分母多项式根集合与A的特征值集合相同，由定理6.2和6.3可得，外部稳定性可推出内部稳定性。【例6.1】给定一个连续时间定常系统为试判断:(1）系统是否为渐近稳定？

(2）系统是否为BIBO稳定？

解

(1）判断系统的渐近稳定性。已知A的特征多项式为由经典控制理论的稳定性判据知，α(s)=0的根均有负实部的必要条件是系数{α3,α2,α1,α0}同号。显然，α(s)的系数不满足上述必要条件。由此可知α(s)=0的根不全具有负实部，故给定系统不是渐近稳定的。

(2）判断系统的BIBO稳定性。由给定系统的状态空间描述，确定其传递函数为

6.2

Lyapunov稳定性

StabilityofLyapunov

一、基本概念

定义6.3（平衡点）设有外输入作用的动态系统称为非自治系统，记为

定义6.4

（Lyapunov稳定性）设xe为系统(6.1)的一个孤立平稳状态，若

ε>0,δ(ε,t0)>0，使得从满足不等式(6.2)的任一初态x0出发的状态￠(t;x0,t0)满足不等式‖￠(t;x0,t0)-xe‖≤ε,

t≥t0,则称xe为Lyapunov意义下稳定的。若式(6.2)定义中δ只依赖于ε,并与t0无关，则称xe是一致稳定的。若上式定义中δ,T分别只依赖于ε,μ并和t0无关，则称xe是一致渐近稳定的。

（iii）当时，有，亦即有。则系统的原点平衡点为全局一致渐近稳定的。

证明：①平衡状态xe是一致稳定的。

因为所以。由条件（i）可得，对任意ε>0和满足‖x0‖≤δ(ε)的任意x0，对一切t≥t0均有‖x(t)‖≤ε。所以原点为一致稳定的平衡状态。③对状态空间中的任意一个非零向量x0,轨迹x(t)都为一致有界的。

注意：

Lyapunov稳定性是保证系统全局一致渐近稳定的充分条件，当条件（iii）不能满足，且条件（i）和条件（ii）仅对原点的一个邻域Ω满足，则相应地，只能得到局部一致渐近稳定的。此时，需要研究的问题是如何确定出吸引区Ω。应用此定理的关键是找出Lyapunov函数，因为它常常是很复杂的。以下给出几个稳定性判别定理，它们是定理6.6的推论。定理6.7（定常系统全局渐近稳定判别定理）

对于定常系统x=f(x),t≥0,f(0)=0,即状态空间的原点即为系统平衡状态，若存在一个对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x),V(0)=0,且满足如下条件：

（i）V(x)为正定；

（ii）V(x)对时间的导数V(x)为负定；

（iii）当‖x‖→∞时，有V(x)→∞。

则系统的原点平衡点为全局一致渐近稳定的。

在构造V(x)时，常很难满足条件（ii），为此有如下弱化条件。..【例6.2】对系统【例6.3】给定一个二阶连续时间非线性时不变系统为

(1）定出系统所有平衡状态；（2）定出各平衡状态处线性化方程，并分别判定是否为渐近稳定。

解(1)确定系统平衡状态。设为系统的平衡状态分量，由平衡状态定义知由此，可得系统的平衡态为（2）确定平衡点处线性化状态方程并判断稳定性。

（i）当平衡点为

由一般关系式所以在这类平衡点的邻域内，一次近似为故给定非线性系统的线性化状态方程为其特征多项式为α(s)=s2+s+1，其根必具有负实部。所以线性化系统在这类平衡点邻域内渐近稳定。【例6.4】判断下述连续时间线性时变系统原点平衡状态是否为大范围渐近稳定。(2）计算V(x,t)并判断其定号性。.所以 为负半定。【例6.5】设有连续时间非线性定常自治系统表系统的Jacobi矩阵为求证：若FT(x)+F(x)负定，则系统原点平衡态xe=0为全局渐近稳定；并由此判断下述系统是否为全局渐近稳定。

解此结论称为克拉索夫斯基(Krasoviskii)定理。不妨设xe=0即原点是唯一平衡态，由此导出并设‖x‖→∞时，有‖f(x)‖→∞。

(1)选择Lyapunov函数V(x)=fT(x)f(x)，并且即V(x)=fT(x)f(x)为正定。(2)计算V(x)，得:

(3)由Lyapunov函数V(x)=fT(x)f(x)正定及FT(x)+F(x)负定可知(4)下面判断的大范围渐近稳定性。首先确定系统平衡状态。表平衡状态分量为xe1，xe2，按定义知，其满足方程组由第二个方程可得，代入第一个方程整理可得由此，可得平衡状态方程的所有解为由第二个方程可得，代入第一个方程整理可得由此，可得平衡状态方程的所有解为由于状态空间定义为实数域，复数平衡状态是没有意义的。所以是原点，xe=0是给定系统的唯一平衡点。

进而，判断系统的渐近稳定性。对给定系统，先计算其Jacobi矩阵并组成判别阵由此，可以判断F(x)+FT(x)负定。由克拉索夫斯基定理知，给定非线性定常系统为全局渐近稳定。正定，

6.3线性系统的稳定性判据

一、线性定常系统的稳定性判据定理6.12(特征值判据)对于线性定常系统，（i）系统的每一个平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。（ii）系统的唯一零平衡状态是渐近稳定的A的所有特征值均具有负实部。xe=eAtxe

由

所以系统的每一个平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的。即等价于A和特征值均具有负实部。

定理6.13对于线性定常系统，若某个平衡点是Lyapunov意义下稳定的则必是一致稳定，若是渐近稳定的则必是大范围一致渐近稳定。

由定理6.12的证明易得本论证。

所以此系统的每个平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的，但不是渐近稳定的。

定理6.14(Lyapunov判据)线性定常系统的零平衡状态为渐近稳定的对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的Lyapunov矩阵方程为ATP+PA=-Q

（6.3）有唯一正定对称矩阵解P。所以系统在零平衡状态是渐近稳定的。必要性，xe=0为渐近稳定，考虑如下矩阵方程其解阵为因为系统为渐近稳定，所以则X(∞)=0。又所以其中且易知,对任意的x0≠0，有所以P为唯一正定对称矩阵。

推论6.1在定理6.14中，若Q取为正半定，且（A,Q1/2）为完全能观测，则xe=0为渐近稳定的充要条件是Lyapunov矩阵方程(式(6.3))有唯一正定对称解P。

证明取V(x)=xTPx,则

推论6.2矩阵A的所有特征值的实部均小于负实数-σ，即Re［λi(A)］<-σ(σ>0;i=1,2,…,n)的充要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下推广形式的Lyapunov方程有唯一正定对称解阵P。

【例6.7】给定二阶连续时间线性时不变自治系统为试用Lyapunov判据证明：系统原点平衡点xe=0是大范围渐近稳定的条件为detA>0,a11+a22<0。

证明

(1)对给定系统导出稳定性等价的系统矩阵。给定系统的特征多项式为其中,β=-(a11+a22)。并且，考虑到与具有相同的特征多项式，故A为与给定系统稳定性等价的系统矩阵。

(2）对A组成并求解Lyapunov方程。取Q=I，组成Lyapunov方程，有即所以三、线性时变系统的稳定性判据

命题6.1如果线性时变系统（6.4）的零平衡点稳定，则其一切其他非零平衡点亦稳定。

证明设xe≠0为该系统(6.4)的一个非零平衡点。令(6.5)则由(6.5)和A(t)xe=0可得（6.6）由于系统(6.4)和(6.6)具有相同的响应特性，而由题设系统(6.4)的零平衡点稳定，从而对于任何ε>0，存在δ=δ(t0,ε)，使得当‖z0‖≤δ(t0,ε)时，系统(6.6)的以z0为初值‖z(t)‖≤ε,t≥t0

(6.7)由变换式(6.5)和式(6.7)可知，对于任何ε>0，存在δ=δ(t0,ε)，使得当时，有从而由稳定的定义有系统(6.4)的非零平衡点xe稳定。

由上述命题及其证明思路不难推知：对于线性系统而言，只要它的一个平衡点是稳定的，则它所有的平衡点均稳定。反之，若线性系统有一个平衡点不稳定，则其所有的平衡点均不稳定。从这一意义上讲，对于线性系统可直接言其本身稳定与否，而不必再指明其某平衡点是否稳定。线性系统稳定性的这一特点称之为线性系统不同平衡点的稳定性的等价性。

下面我们来讨论线性系统渐近性的特殊性。对此我们有下述命题：

命题6.2如果线性系统(6.4)的零解为渐近稳定的，则其必为全局渐近稳定。

证明由于系统(6.4)的零解为渐近稳定的，故对任何ε>0，存在δ=δ(ε,t0)，使得此外，对于任何x0满足还有另外，根据线性系统的运动分析理论有即(t;t0,x0′)有界，另外由式可得从而由定义知，系统(6.4)全局渐近稳定。上述命题说明，线性系统零平衡状态的局部渐近稳定性等价于其全局渐近稳定性。这一特性称为线性系统渐近稳定性的全局与局部的等价性。由这一特性可以推知，若线性系统的零解为渐近稳定的，则该系统一定不存在非零平衡点。从而对于系统(6.4)，如果它渐近稳定，则必有矩阵A非奇异。

对于线性系统的上述特性，今后我们可以直接言及系统渐近稳定与否。又由于指数稳定蕴含于渐近稳定，因而对于线性系统，我们亦可以说系统本身是否指数稳定。类似于命题6.2的证明，我们容易推得下述指数稳定的全局与局部的等价性。

命题6.3线性系统(6.4)的指数稳定性与全局指数稳定性等价。

关于线性系统稳定性的特殊性，在下面定理6.15我们还将证明指数稳定性和一致渐近稳定性的等价性。因而对于线性系统而言，上节介绍的八种稳定性定义便退化为稳定、一致稳定、渐近稳定和一致渐近稳定共四种稳定性。

(ii)系统的唯一零平衡状态在t0时刻是渐近稳定的是下式成立(6.9)xe=0在区间［0，∞)上为一致渐近稳定存在不依赖于t0的正数k1和k2，使得成立(6.10)

证明

(i)类似于定理6.12的证明，读者可自行完成。(ii)的第一个结论类似于定理6.12(ii)的证明，在此不再叙述。

(ii)的第二个结论的充分性易证，以下证明其必要性。

因为xe=0为一致渐近稳定，所以对某个δ>0和μ>0都对应存在一个正实数T>0，使得对满足‖x0‖≤δ的所有初态x0和任意的t0≥0有选取一个x0，使‖x0‖=δ成立,取,则有

定理6.16

(Lyapunov判据)对于线性时变系统，设零为其唯一平衡状态，A(t)的元均为分段连续的一致有界的实函数，则零平衡状态为一致渐近稳定的是对任意给定的一个实对称、一致有界和一致正定矩阵Q(t)，都存在正实数β2>β1>0使得0<β1I≤Q(t)≤β2I,

t≥t0成立，并且如下形式的Lyapunov矩阵方程为（6.11）有唯一的实对称、一致有界和一致正定矩阵解P,即存在正实数α2>α1>0,有

证明必要性。设线性时变系统是一致渐近稳定的，Φ(t,t0)为其状态转移矩阵，由定理6.15可知，存在与t0无关的正常数k1,k2，使得成立。因为Q(t)是一致有界、一致正定的，则如下积分：对于任何t>0收敛，容易验证它满足下述矩阵微分方程(6.12)由式（6.12）和式（6.13）可得充分性。令V(x,t)=xTP(t)x，由Lyapunov稳定性定理6.6易证本结论。

需要说明的是线性时变系统的稳定性一般不能由系统矩阵的特征值是否位于左半平面来判断，例如如下线性时变系统可以验证该系统的状态转移矩阵为定理6.17(线性化近似)对于一个非线性系统(6.14)可以表示为如下等价形式其中,假设向量g(t,x)满足若A(t)与t无关,则原非线性系统零平衡点的线性近似化模型为(6.15)(6.16)

证明:由于系统(6.16)的零解渐近稳定,则存在正定矩阵P>0,使得下式成立 6.4离散时间系统的稳定性和判据

StabilityandCriterionofDiscretetimeSystems（i）V(x)为正定；

（ii）ΔV(x)=V(x(k+1))-V(x(k))为负定；

（iii）当‖x‖→∞时，有V(x)→∞。

则系统的原点平衡点为全局一致渐近稳