《信号与系统》课件第6章 3

第６章连续时间系统的Ｓ域分析6.1

连续时间系统的系统函数6.2利用系统函数求系统的响应6.3频率响应函数6.4系统的稳定性6.5劳斯判据(补充内容)6.6小结习题用时域法求解连续LTI系统的线性微分方程时，要分别求出系统的零输入响应和零状态响应，将二者相加后才能得到全响应。本章介绍用拉普拉斯变换分析法求解常系数线性微分方程的方法，其特点是：

（1）拉普拉斯变换分析法能将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化；（2）系统的起始状态（条件）可以自动包含到象函数中，从而求得方程的完全解；

（3）用拉氏变换分析电网络系统时，甚至可以不必列写系统的微分方程，而直接利用电路的S域模型列写电路方程，获得响应的象函数，再反变换得到原函数。

本章将重点介绍连续LTI系统的S域系统函数，并根据系统函数获得系统的响应及判断系统的稳定性。6.1连续时间系统的系统函数

6.1.1微分方程的拉普拉斯变换

设连续LTI系统的输入信号为e(t)，输出信号为f(t)，描述n阶系统的输入、输出微分方程的一般形式为（6.1）式中:ai(i=1，2，…，n)和bj(j=1，2，…，m)均为实数；设系统的初始状态为r(0－)，r′(0－)，…，r(n－1)(0－)。若,则由拉氏变换的时域微分性质可得，输出信号r(t)及其各阶导数的拉氏变换为（6.2）注意：系统的初始状态r(0－)，r′(0－)，…，r(n－1)(0－)可能不为零。由于输入信号e(t)是在t=0时接入，因而在t=0－时，e(t)及其各阶导数均为零，则输入信号e(t)及其各阶导数的拉氏变换为（6.3）对微分方程两边取拉普拉斯变换并将式（6.2）和式（6.3）代入，有从而可得（6.4）下面以具体例子说明分析的过程。

例6.1

已知描述某连续LTI系统的微分方程为

r″(t)+3r′(t)+2r(t)=e－3t·u(t)

已知r(0－)=1，r′(0－)=3，试求系统的全响应。

解：对方程两边求拉氏变换，并代入起始状态，得

s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)+3sR(s)－3r(0－)+2R(s)=E(s)

又可知输入信号e－3t·u(t)的拉氏变换为

可得上式可分解为解得K1=5.5,

K2=－5,

K3=0.5反变换获得系统的全响应为

r(t)=(5.5e－t－5e－2t+0.5e－3t)·u(t)

例6.2

如图6.1所示电路，t=0时开关闭合，求回路电流i(t)。已知电感初始电流为i(0－)，电容初始电压为uC(0－)。图6.1例6.2电路图解换路后，利用基尔霍夫定律可得电路的微分方程为利用拉氏变换的微分、积分性质，对上式进行拉氏变换，得可解得对上式进行拉氏反变换，即可得系统的回路电流i(t)。上式中，等式右端第一项为由输入信号e(t)产生的输出部分，即零状态响应Izs(s);第二项为由初始条件产生的输出部分，即为零输入响应Izi(s)。6.1.2系统函数的直接构造

如前所述，对于单输入-单输出的连续LTI系统，输入信号e(t)和输出信号r(t)之间的关系可由n阶常系统线性微分方程描述，即（6.5）设输入信号e(t)为在t=0时刻加入的因果信号，且系统为零状态，则有对式（6.5）取拉氏变换，根据微分性质，可得系统的零状态响应rzs(t)的象函数Rzs(s)为（6.6）式中:。显然，关于激励信号的象函数E(s)和零状态响应Rzs(s)的方程为代数方程。因此系统函数H(s)定义为系统的零状态响应的象函数Rzs(s)与激励的象函数E(s)之比，即（6.7）由式(6.7)可见，系统函数H(s)与系统的激励和响应的形式无关，只取决于输入和输出所构成的系统本身，因此它决定了系统的特性。一般情况下，H(s)是一个实系数有理分式，其分母多项式的根为实数或共轭复数。系统函数H(s)可由零状态下的系统模型求得。

系统函数取决于系统的结构与元件参数，对于电网络系统可直接由系统的电路图来确定，而不必首先确定输入

-输出的微分方程。如上述例6.2，不必列出输入-输出的微分方程，就可以直接获得响应的象函数。在电阻、电容和电感元件的时域模型（如图6.2(a)、(b)和(c)所示）中，元件的电压-电流函数关系为

u(t)=Ri(t)

(6.8)（6.9）（6.10）对上述三个方程取拉氏变换，可得复频域（S域）中元件的电压-电流象函数关系为

U(s)=RI(s)（6.11）（6.12）（6.13）式中:和sL分别为电容和电感的S域阻抗。电容上的初始电压和电感中的初始电流在S域中等效地看做电压源，分别用和LiL(0－)表示，反映了电容和电感储能对响应的影响。电阻、电容和电感元件的S域模型如图6.2(d)、(e)和(f)所示。图6.2电阻、电容和电感元件的S域模型在S域中分析电路时，将时域基尔霍夫定律进行拉氏变换，即可获得S域的方程:（6.14）在电网络系统中，用拉氏变换法分析电路时，只需将每个元件用S域模型代替，再将信号源用其象函数表示，就可以做出整个电路的S域模型，然后应用所学的线性电路的各种分析方法和定理(如节点法、网孔法、叠加定理、戴维南定理等)求解S域电路模型，就可获得响应的象函数，最后通过反变换获得响应的时域解。当电路为零状态时，可以很方便地获得输出响应与输入激励之间的比，即系统函数。例6.2中的电路为简单RLC串联电路，t=0时开关闭合，当激励信号为e(t)，电路的电流i(t)为响应时，可以直接求出电路的系统函数。

首先获得RLC串联电路的S域电路模型，如图6.3(b)所示。利用基尔霍夫定律可得电路方程为根据系统函数定义，得系统零状态下响应与激励的象函数之比为图6.3RLC串联电路图

例6.3

如图6.4(a)所示电路，以u1(t)为输入，求响应分别为i1(t)、i2(t)和uC(t)时的系统函数。图6.4例6.3电路图解由图6.4(b)所示的S域模型，可用节点法列写方程:可解得再分别可以获得从而得出以下系统函数:6.1.3方框图的系统函数

连续LTI系统有时候用方框图来表示，它由许多互联的“方框”组成，每个方框可以用一个系统函数来表示，这些方框可以看成是组成已知系统的一个个子系统。下面研究互联系统的系统函数。

1．串联系统

当系统由两个子系统串联构成时（如图6.5（a）所示），系统函数H(s)等于两个子系统函数H1(s)与H2(s)的乘积，即（6.15）上述结果可推广到任意数目子系统的串联。

2.并联系统

当系统由两个子系统并联构成时（如图6.5（b）所示），系统函数H(s)等于两个子系统函数H1(s)与H2(s)之和，即（6.16）同样，上述结果可推广到任意数目子系统的并联。图6.5互联系统的系统函数

3.反馈系统

现在研究如图6.5（c）所示互联系统的系统函数。在这种联系方式中，第一个子系统G(s)的输出通过第二个子系统H1(s)反馈到输入端，这种连接称为反馈连接，H1(s)的输出称为反馈信号。“+”代表正反馈，即输入信号与反馈信号相加；“－”代表负反馈，即输入信号与反馈信号相减。如果反馈通路是断开的，则系统为开环系统;具有反馈通路的系统称为闭环系统。下面我们计算闭环系统的系统函数:

R(s)=F(s)G(s)=［E(s)±H1(s)R(s)］G(s)

=G(s)E(s)±H1(s)R(s)G(s)

即有

G(s)E(s)=［1H1(s)G(s)］R(s)

从而有（6.17）用于连续LTI系统模拟的三种基本单元也可以用其对应的S域方框图表示，它们的符号如图6.6所示。图6.6S域基本单元方框图一般地，可通过系统函数H(s)建立系统模拟图。设系统函数为令m=n，并不失一般性，上式可改写为故响应为设中间变量为则有

E(s)=D(s)X(s)（6.18）

R(s)=N(s)X(s)（6.19）展开式（6.18）得

E(s)=(1+an－1s－1+…+a1s－n+1+a0s－n)X(s)

进而有

X(s)=E(s)－(an－1s－1+…+a1s－n+1+a0s－n)X(s)（6.20）

展开式（6.19）得

R(s)=(bn+bn－1s－1+…+b1s－n+1+b0s－n)X(s)（6.21）

利用图6.6所示的基本单元框图，可由式（6.20）和式（6.21）获得模拟系统的方框图，如图6.7所示。图6.7根据系统函数构建系统的S域方框图由图6.7可见，系统函数H(s)的分子多项式对应指向输出R(s)的前向支路；H(s)的分母多项式正好对应指向输入E(s)的反馈支路。

例6.4

已知某连续系统的系统函数为试画出系统的复频域方框图。解由系统函数定义知从而可得

s3Rzs(s)=－5s2Rzs(s)－3sRzs(s)－Rzs(s)+E(s)

由此可得零状态下的S域方框图，如图6.8所示。图6.8零状态下的S域方框图6.2利用系统函数求系统的响应

6.2.1零状态响应与零输入响应

如6.1.1节所述，描述连续LTI系统微分方程的一般形式为式中:e(t)为输入;r(t)为输出;系数ai(i=1，2，…，n)和bj(j=1，2，…

，m)均为实数。设系统的初始状态为r(0－)，r′(0－)，…，r(n－1)(0－)。若，运用拉氏变换的性质，则可得输出响应的象函数为式中：等式右边第一项仅与系统的初始状态有关而与输入无关，为系统的零输入响应rzi(t)的象函数Rzi(s)；等式右边第二项仅与输入有关而与系统的初始状态无关，是系统的零状态响应rzs(t)的象函数Rzs(s)。于是上式可写为

R(s)=Rzi(s)+Rzs(s)（6.22）

反变换可得系统的全响应为

r(t)=rzi(t)+rzs(t)（6.23）

例6.5

描述连续LTI系统的微分方程为

r″(t)+3r′(t)+2r(t)=e－3t·u(t)

已知r(0－)=1，r′(0－)=3，试求系统的零输入响应及零状态响应。

解对方程两边进行拉氏变换，并代入起始状态，则得

s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)+3sR(s)－3r(0－)+2R(s)=E(s)

即由上可知以上两式可分解为解得

K1=0.5,K2=－1,K3=0.5,K4=5,K5=－4零状态响应为

rzs(t)=(0.5e－t－e－2t+0.5e－3t)·u(t)反变换获得系统的零输入响应为

rzi(t)=(5e－t－4e－2t)·u(t)6.2.2冲激响应与阶跃响应

若系统函数H(s)和输入信号的象函数已知，则有系统零状态响应函数为

Rzs(s)=H(s)E(s)（6.24）

这一结果并不偶然，由第2章内容可知冲激响应h(t)与输入e(t)的卷积为rzs(t)，即

rzs(t)=h(t)*e(t)

由拉氏变换的卷积定理知，系统函数H(s)和系统的冲激响应h(t)构成拉氏变换对，即（6.25）综上所述，系统函数H(s)为系统冲激响应h(t)的拉氏变换，也就是说系统冲激响应h(t)可以通过对系统函数H(s)的拉氏反变换获得。连续LTI系统时域分析与复频域分析的对应关系如图6.9所示。图6.9连续LTI系统时域分析与复频域分析的对应关系当系统的激励为est时，系统的零状态响应可由时域内的卷积求得为（6.26）式(6.26)表明，若激励信号为指数函数est，则系统的零状态响应仍是系统复频域的指数函数，只是“幅度”变化了H(s)。由前述内容可知，阶跃响应与冲激响应的关系为从拉氏变换的积分定理得（6.27）故系统的阶跃响应为若连续LTI系统的系统函数H(s)和激励信号象函数E(s)已知，由系统函数的定义可得系统零状态响应的象函数为

Rzs(s)=E(s)H(s)（6.28）对式(6.28)进行拉氏反变换，即可得系统的零状态响应。

例6.6

某LTI系统的阶跃响应s(t)=(1－e－2t)·u(t)，求当系统的输入信号e(t)为多少时，系统的零状态响应为r(t)=

(1－e－2t－te－2t)·u(t)。

解阶跃响应的复频域象函数为由式（6.27）可得系统零状态响应的象函数为则由系统函数的定义得输入信号的象函数为反变换即得输入信号为6.2.3系统函数的零极点对时域响应的影响

如前所述，系统在复频域内联系输入-输出特性的纽带是系统函数H(s)，它一般可表示为

H(s)的分母多项式D(s)=0的根称为系统函数的极点，而H(s)的分子多项式N(s)=0的根称为系统函数的零点。极点使得H(s)变为无穷大，零点使得H(s)变为零。利用系统函数的零、极点，可以将H(s)的分子、分母写为线性因子的乘积:（6.29）式中:z1,z2,…,zm为系统函数的零点；p1,p2,…,pn为系统函数的极点;为一常数。若H(s)的零点、极点和H0已知，则系统函数就完全确定。为了掌握系统函数零、极点的分布情况，可将系统函数的零、极点标在s

复平面上，称为系统函数的零、极点图，其中零点用“○”表示，极点用“×”表示。若为n重零点或极点，可在其旁注以“（n）”。

实际电系统的参数必为实数，故系统函数的分子、分母多项式系数必为实数，因而实际系统的系统函数必定是复变量s的实有理函数，它的零点或极点一定是实数或成对出现的共轭复数。例6.7

某连续LTI系统的系统函数为试求系统的冲激响应，并画出零、极点分布图。解系统函数可写为可解得

K1=0.4，K2=0.6－2.2j,K3=0.6+2.2j

根据系统函数与冲激响应的关系

H(s)h(t)

系统冲激响应为

h(t)=［0.4e－4t+2e－t(0.6cost+2.2sint)］·u(t)

系统的零、极点分布图如图6.10所示。图6.10例6.7的零、极点分布图

例6.8

已知系统函数H(s)的零、极点分布图如图6.11所示。已知h(0+)=1，若激励e(t)=u(t)，求系统零状态响应rzs(t)。图6.11例6.8的零、极点分布图解由系统函数零、极点分布图得系统函数为又由解得

H0=1所以系统函数为系统零状态响应的象函数为故零状态响应为由于复频域内的系统函数H(s)与时域内系统的冲激响应h(t)是一对拉氏变换对，因此根据H(s)的零、极点分布就可以确定系统冲激响应的模式。设系统函数H(s)具有单极点时，系统函数可按部分分式法展开为（6.30）其反变换为（6.31）可见，冲激响应h(t)的性质完全由系统函数H(s)的极点pi决定。pi称为系统的自然频率或固有频率。归纳起来，H(s)的极点位置与冲激响应模式间的对应关系可描述如下：

（1）极点p=0。极点位于s平面的原点处，则H(s)对应的h(t)为阶跃函数。

（2）极点p=－α。当α>0时，极点位于s平面的负实轴上，则H(s)对应的h(t)为衰减指数函数；当α<0时，极点位于s平面的正实轴上，则H(s)对应的h(t)为增长指数函数。

（3）共轭极点p=－α±jω。当α>0时，共轭极点位于s平面的左半平面，则H(s)对应的h(t)为减幅振荡；当α<0时，极点位于s平面的右半平面，则H(s)对应的h(t)为增幅振荡；当α=0时，极点位于s平面的虚轴上，则H(s)对应的h(t)为等幅振荡。（4）设系统函数H(s)具有多重极点，若极点位于原点处，则当极点为二重极点时，h(t)=t·u(t)为增幅响应；当极点为三重极点时，h(t)=t2·u(t)也为增幅响应。若二重极点位于实轴上，则h(t)=teαt·u(t)。若二重共轭极点位于虚轴上，则h(t)=tsinω0t·u(t)。

综合以上讨论，可以得出以下结论：

（1）当系统函数H(s)的极点位于左半s平面时，系统单位冲激响应满足，即系统稳定。

（2）当系统函数H(s)的极点落在虚轴上时，若极点为单极点，则系统单位冲激响应h(t)的模式是等幅振荡或直流；若为重极点，则h(t)为增幅响应。（3）当系统函数H(s)的极点有一个落在右半s平面时，系统单位冲激响应h(t)为增幅响应。

（4）系统函数H(s)的零点位置只影响冲激响应的幅度

和相位，对冲激响应的变化模式没有影响。现举例说明如

下。设其零点为z1=－3，极点为p1=－3+j2，p2=－3－j2，对应的冲激响应为

h(t)=e－3tcos2t·u(r)若系统函数变为其极点不变，零点变为z1=－1，则其反变换为可见，零点位置不会改变冲激响应的变换模式，只会响应其幅度和相位。图6.12给出了系统函数H(s)极点与时域冲激响应的对应关系。图6.12系统函数与时域冲激响应的对应关系6.3频率响应函数

所谓频率响应，是指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况，包括幅度随频率的响应和相位随频率的响应。

系统的频域特性与H(s)的零、极点有密切的关系。利用系统函数的零、极点分布并借助于几何作图的方法可以确定系统的频率响应。

将系统函数H(s)中的s用jω代换即可获得系统的频率特性H(jω)，即（6.32）在s平面上，任一复数都可用一矢量来表示，如某一极点pj可以看成自坐标原点指向该极点的矢量，如图6.13(a)所示。当用矢量表示jω时，jω－pj就是矢量jω与矢量pj的差。当ω变化时，矢量jω－pj也随之变化。因此，对式（6.32）中分母的任一因子jω－pj可以用从

极点pj

引向虚轴上动点jω的矢量Nj表示；分子中的任一因子jω－zi可以用从零点zi引向虚轴上动点jω的矢量Mi表示，如图6.13(b)所示。即

jω－pj=Nj∠βj（6.33）

jω－zi=Mi∠αi（6.34）

若系统函数为一对共轭复极点和一个实零点，则频率响应为其几何图形如图6.13(c)所示。图6.13零点与极点的矢量表示当ω从零逐渐增大并最后趋于无限大时（jω在虚轴上从0点向上移动），H(jω)的幅值和相位也随之变化，其中

称为幅频特性，j(ω)=α1－β1－β2称为相频特性。因此，可用图解的方法定性地画出|H(jω)|和j(ω)随ω变化的曲线。6.3.1一阶系统

研究如图6.14（a）、（b）所示RC低通网络、RC高通网络的频率响应。图6.14RC一阶系统RC低通网络和RC高通网络的系统函数分别为可见，RC低通网络和RC高通网络都有一阶实极点为-1/RC，其频率响应分别为令τ=RC，则频率响应分别为（6.36）因此RC低通网络的幅频特性和相频特性分别为（6.37）RC高通网络的幅频特性和相频特性分别为（6.38）

RC低通网络的零极点分布图如图6.15(a)所示。由图可知，当ω增加时，N增大，|H1(jω)|随ω增加而单调下降，如图6.15(b)所示。当ω由0变化至∞时，j1(ω)由0变化至

－90°，如图6.15(c)所示。由于|H1(jω)|从|H1(0)|=1到最小值|H1(∞)|=0单调递减，因此RC低通网络描述的是一个低通滤波器。同时，系统的相位在ω=0处的相位为0°，然后逐渐下降，当ω→∞时为－90°；在ω=1/τ处的相位为－45°，该网络也称为相位滞后网络。图6.15RC低通网络的频率响应

RC高通网络零极点分布图如图6.16(a)所示。由图可知，当ω=0时，|H2(0)|=0，ω增加时，M和N均增大，|H2(jω)|随ω增加而单调上升，当ω→∞时，|H2(j∞)|=1，如图6.16(b)所示。当ω由0变化至∞时，j2(ω)则由90°变化至0，如图6.16(c)所示。由于|H2(jω)|从|H2(0)|=0到最大值|H2(∞)|=1单调递增，因此RC高通网络描述的是一个高通滤波器。同时，系统的相位在ω=0处有最大值90°，然后逐渐下降，当ω→∞时为0°；在ω=1/τ处的相位为45°，该网络也称为相位超前网络。图6.16RC高通网络的频率响应6.3.2二阶系统

图6.17所示RLC电路为二阶系统，下面分析该系统的频率响应。首先，由电路网络可知其系统函数为图6.17RLC带通网络若电路中R=1Ω，L=1H，C=1F，则系统有共轭极点

，z1=0为零点。系统的频率响应为

（6.39）其幅频特性和相频特性分别为（6.40）二阶系统的零极点分布图如图6.18(a)所示。由图可知，当ω=0时，|H(jω)|=0,j(ω)=90°;当时，|H(jω)|=1，j

(ω)=0；当ω=∞时，|H(jω)|=0，j(ω)=－90°，幅频特性和相频特性分别如图6.18(b)和(c）所示。图6.18RLC带通网络的频率响应例6.9

设某系统的系统函数为试用矢量作图的方法绘出粗略的幅频响应曲线和相频响应曲线。解系统有一对共轭极点p1,2=－1±j2，有一对共轭零点为z1,2=±j。系统的频率响应为其幅频特性和相频特性分别为系统零极点分布图如图6.19(a)所示。当ω=0时，|H(jω)|=0.2，j(ω)=0；当ω从0趋向于1时，|H(jω)|单调减小并趋向于0，j(ω)单调减小趋向于－26.6°；当ω>1时，

j(ω)从153.4°单调减小并趋向于0；当ω=∞时，|H(jω)|=1。系统的幅频特性和相频特性分别如图6.19(b)和（c）所示。图6.19例6.9系统的频率响应6.3.3最小相移网络与全通网络

1.最小相移网络

比较如图6.20(a)、(b)所示两个网络的零极点分布，它们的特点是极点相同，二者的零点以虚轴成镜像关系。显然，它们的幅频特性是相同的，但相频特性不同。分别用j1(ω)与j2(ω)表示图6.20(a)、(b)所示网络的相频特性，如图6-20(c)所示。当ω=0时，j1(ω)=j2(ω)=0；当ω=∞时，j1(ω)=0，j2(ω)=－2π。我们称图6.20(a)所示的网络为“最小相移网络”，即零点仅位于左半平面或虚轴的系统函数称为“最小相移网络”，或最小相位系统；否则，为“非最小相移网络”。图6.20相移网络的频率响应

例6.10

试判断以下系统是否是最小相位系统:解由前述内容分析可知，三个系统具有相同的幅频特性，但相位不同。

H1(s)在右半平面没有零点，是最小相位系统。H2(s)和H3(s)是非最小相位系统。

2.全通网络

若系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于虚轴互为镜像，则系统函数称为全通函数。设某一系统的系统函数为

（6.41）其极点p1=－a，位于s的左半平面；零点z1=a，位于s的右半平面。极点和零点对于虚轴是镜像对称的，如图6.21(a)所示。由零极点图可知，对任意ω都有M=N，则其幅频特性为

|H(jω)|=1（6.42）

其相频特性为（6.43）幅频特性和相频特性分别如图6.21(b)和(c)所示。因幅频特性为一常数，对所有频率的信号其系统函数的模相等，因而该系统称为全通系统或全通网络。只有一个极点的全通网络称为一阶全通网络。图6.21一阶全通网络的频率响应将上述结果进行推广，可得三阶全通网络的频率特性，如图6.22所示。由图6.22可见，对于任何频率，幅频特性为一常数。当ω=0时，j(0)=π；当ω=∞时，j(∞)=－2π。

全通网络对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输通过，但相频特性不受约束。因而，全通网络可以保证不影响待传输信号的幅频特性，只改变信号的相频特性，在传输系统中常用来进行相位校正。如用作延迟均衡器，全通网络与其他滤波器级联可以调节相位或对相位失真进行补偿。图6.22三阶全通网络的频率响应6.4系统的稳定性

6.4.1稳定性的定义

稳定性的概念在系统分析和设计中非常重要。系统是否稳定工作是系统分析和设计的基本问题，系统能够稳定工作也是系统性能符合设计要求应满足的最低条件，所以判断系统稳定与否是十分重要的。

直观地看，若一个系统受到某个干扰信号作用，其所引起的系统响应在干扰消失后会最终消失，即系统仍能回到干扰作用前的状态，则系统是稳定的。

由于冲激函数δ(t)是在瞬时作用又立即消失的信号，若把它视为“干扰信号”，则冲激响应的变化模式就可以说明系统的稳定性，这是因为冲激响应及其对应的系统函数H(s)都能反映系统本身的属性。根据6.2.3节系统函数的极点位置与时域响应h(t)的对应关系可知，若系统函数H(s)的所有极点位于

s的左半平面，则对应的h(t)将随时间t逐渐衰减，当t→∞时，h(t)→0，这样的系统称为稳定系统。若H(s)仅有s=0的一阶极点，则对应的h(t)是阶跃函数，随t的增长，响应恒定；而当H(s)仅有虚轴上的一阶共轭极点时，其响应将为等幅振荡，以上两种情况对应的系统称为临界（边界）稳定。若H(s)有极点位于s的右半平面，或者在原点和虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则对应的h(t)为单调增长或增幅振荡，这类系统称为不稳定系统。可以证明，对于一般系统，系统稳定的充要条件是冲激响应h(t)绝对可积，即（6.44）综上所述，由H(s)的极点分布可以判断系统的稳定性:（1）若H(s)的极点全部位于s的左半平面，则系统是稳定的；（2）若H(s)在虚轴上有p=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面，则系统是临界稳定的；（3）H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。

例6.11

判断以下因果系统是否稳定：解（1）系统的极点为p1=－1+j2，p2=－1－j2，均在s的左半平面，所以系统是稳定的；（2）系统的极点为p1=－1，p2=3，有极点位于s的右半平面，所以系统是不稳定的；（3）系统有一对共轭极点p1=+j2，p2=－j2，位于虚轴上，所以系统是临界稳定的。

例6.12

某反馈系统的S域方框图如图6.23所示。为使系统稳定，试确定K值的范围。已知系统中图6.23例6.12反馈系统方框图解由该系统方框图知，反馈系统的系统函数为将G(s)和H1(s)代入上式，得由此可得系统的极点为为使系统稳定，极点应全部在S的左半平面，故4－K>0,即K<4。利用系统极点位置判断系统稳定性时，必须求出系统函数的全部极点，这对于二阶及以下系统是可行的，但对于三阶以上的高阶系统，人工求解极点一般说来很困难。本章6.5节将介绍劳斯判据，它采用一种简便的代数方法，不需要求解系统函数极点的确切值，就可判断系统的稳定性。6.4.2反馈控制

自动控制是利用控制装置自动地有目的地控制机器设备的运行或生产过程，使之具有指定的工作状态和性能，即自动控制的任务是控制某些物理量按照预先制定的规律进行变化，如电机控制、导弹火箭的自动导航等。

如果控制系统只是根据给定的输入量（控制量）工作，而输出量（被控制量）在整个过程中对控制量不产生任何影响，这样的系统称为开环系统，如图6.24(a)所示。反馈系统是实施自动控制的系统。所谓反馈，是将输出信号全部或部分返回到系统输入端与输入信号叠加。具有反馈的系统称为闭环系统，如图6.24(b)所示。图6.24开环系统与闭环系统可以用微分方程法，也可以用系统函数法分析闭环控制系统，但是微分方程法难以找到系统微分方程系数对系统被控量影响的一般规律，若设计结果不满足要求，也无法从

解答中找到改进方案。而采用S域模型的系统函数具有很大

优势，它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以通过对系统的机构和参数变化对系统性能影响的研究，来改善系统的设计。

在自动控制系统中，负反馈起着重要的作用。对于图6.24(b)所示的负反馈系统，其总的闭环系统函数为（6.45）反馈的重要应用是稳定一个原先没有反馈的开环不稳定系统。先考虑一个简单一阶连续时间系统的例子，其系统函数为（6.46）若a>0，则系统不稳定。若选择系统函数H2(s)为一常数K，则负反馈闭环系统的系统函数为（6.47)若（6.48)则闭环系统的极点移到s的左半平面，该系统一定是稳定的。因此，通过在负反馈通路中加入一个常数增益的系统，当常数增益满足上式时，就能使原来不稳定的系统稳定。这种系统中被反馈回来的信号与系统输出是成比例的，因此，这种类型的反馈系统称为比例反馈系统。作为另一个例子，考虑二阶系统（6.49）若a>0，系统函数的极点位于虚轴上，系统的单位冲激响应是正弦变化的；若a<0，系统函数总有一个极点位于s的右半平面。因此，不论a取何值，系统都是不稳定的。考虑对此二阶系统利用比例加微分的负反馈，即取H2(s)为一常数K1+K2s，可得该反馈系统的系统函数为（6.50）根据稳定性判据，只要选择K1和K2满足

K2b>0,a+K1b>0（6.51）闭环系统极点就一定位于s的左半平面，因此闭环系统稳定。另外，在负反馈系统中局部单元性能发生变化时，负反馈可使总系统的性能不发生大的变化。如图6.25所示的简单反馈系统，设前置放大器增益K1=100，功率放大器增益K2=10，反馈通路的增益（反馈系数）为β=0.099，则系统的总增益为当系统中功率放大器因元件老化、温度等的影响，其增益变为K2′=5时，此系统的总增益为上述分析表明，虽然系统的前向通路增益减半，但由于负反馈的作用，系统的总增益变化仅为1%。可见，负反馈对于稳定自动控制系统的增益性能非常重要。

6.5劳斯判据(补充内容)

将系统的特征方程（即系统函数H(s)的分母多项式等于零）写成如下标准形式:

D(s)=ansn+an－1sn－1+…+a1s+a0=0（6.52）

则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列系数也为正值。劳斯阵列的形成如表6-1所示。阵列前两行的元素可直接从多项式系数得到，第三行元素可由前两行的元素按照下列运算关系获得:（6.53）以下各行元素依次类推，直到a项用完。第四行由前两行按照下列的运算关系产生:（6.54）用同样的方法计算下面各行，直到阵列终止在只有一个元素的s0行。

在计算劳斯阵列时，有某行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。这时，下一行的所有元素都以这个元素为分母而无法计算，阵列将无法继续排下去。此时，可用有限小的正数ε代替零来计算。

在计算劳斯阵列时，有某行全为零的情况，阵列也无法继续排下去。这种情况表明特征方程有一些大小相等、方向相反的根，即在虚轴上有极点。此时，可由全零行的前一行元素组成一个辅助多项式，用此多项式的导数的系数替代全零行，继续排出劳斯阵列。除了检查劳斯阵列第一列是否有符号变化之外，还需检查辅助多项式的根，如在虚轴上的根为单根，则系统临界稳定；如在虚轴上有重根，则系统不稳定。获得劳斯阵列后，第一列元素的符号变化次数等于特征根在s的右半平面的个数。

对于三阶系统，其特征方程为

D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0=0

其劳斯阵列如表6-2所示。

三阶系统稳定的充分必要条件是D(s)的各项系统全为正，且满足

a1a2－a0a3>0（6.55）

例6.13

线性系统的特征方程为s3+4s2+3s+K=0。求系统稳定时K的取值范围。

解根据三阶系统的劳斯判据，要使系统稳定，应有

K>0,12－K>0

故K的取值范围为

0<K<12

例6.14

利用劳斯阵列判定特征根方程s4+3s3+4s2+6s+4=0的系统是否稳定。

解该系统排出的劳斯阵列如表6-3所示。由于出现全行为零，可由前一行构成辅助多项式A(s)=2s2+4，其导数为A′(s)=4s。用导数的系数替代全零行。继续排劳斯阵列，

如表6-4所示。阵列第一列系数没有符号变化，即系统没有

正实部根,但有共轭根存在，且满足方程A(s)=2s2+4=0，得

，故该系统是临界稳定的系统。

例6.15

如图6.26所示的倒立摆系统中，小车可以前后运动，其位置由s(t)给出。长度为L的杆用铰链与小车相连，它仅能在和小车运动的相同方向上移动。杆的位置由角度θ(t)给出。假设杆的全部质量都集中在杆末端的一个小球上。x(t)是一个角加速度，它是由外力作用在杆上引起的。为了平衡这根杆，小车必须有一个适当的加速度a(t)。

沿着垂直于杆的方向，在质量上将所有的力平衡，得到微分方程：图6.26倒立摆显然，这不是一个线性微分方程。非线性系统的分析通常比较困难，然而，对于小的θ(t)可以将这个方程线性化，这样就能够考查杆处于接近垂直状态时的动态特性，这也是我们想要的状态。这时，对|θ(t)|<<π，可以作以下小角度近似：

sin［θ(t)］≈θ(t),cos［θ(t)］≈1

非线性微分方程可以线性化，得到线性微分方程：

现在，假设L=1m，g=9.8m/s2，分析下面问题：

（1）如果小车是静止的，即a(t)=0，求关于输入x(t)和输出θ(t)的系统函数，求系统的极点，分析此时系统是否稳定。

（2）设计一个比例控制器，即用一个正比于角度θ(t)的小车加速度a(t)=kθ(t)作为反馈系统，求加上比例控制器的系统的系统函数，并讨论系统的稳定性。（3）设计一个比例微分控制器，即

作为反馈系统，求加上比例微分控制器后系统的系统函数

k1、k2满足什么条件时系统能够稳定？

解（1）当a(t)=0时，系统微分方程为

系统函数为系统的极点为，因为系统有一个极点在s的右半平面，所以系统是不稳定的。（2）设计比例控制器为a(t)=kθ(t)，比例控制器的系统函数为根据反馈系统的系统函数确定方法，此时系统函数H2(s)为系统的极点为，当k<9.8时，系统的两个极点在实轴上，且关于虚轴对称，有一个极点在s平面的右半平面，系统是不稳定的；当k=9.8时，在s平面的原点上有s=0的二阶极点，系统也是不稳定的；当k>9.8时，极点为虚轴上的一对共轭极点，系统呈临界稳定。（3）设计比例微分控制器为，

比例微分控制器的系统函数为根据反馈系统的系统函数确定方法，此时系统函数H3(s)为系统的劳斯阵列如表6-5所示。要使系统稳定，需要满足k2>0且k1－