《信号与系统》课件1第5章 2

第5章离散时间信号与系统的时域分析5.1离散时间信号及运算5.2采样定理5.3离散时间系统的描述5.4常系数线性差分方程的解5.5离散时间系统的单位脉冲响应5.6卷积和5.7利用MATLAB实现离散时间信号与系统的时域分析

5.1离散时间信号及运算

5.1.1序列的定义

同连续信号一样，离散信号也是人们对社会、生活、生产及自然现象的一种数学概括和抽象。在生产实践中，离散信号大致有两个来源：一个是研究对象本身就具有离散特性，比如某地某段时间的平均气温就是一个离散信号；另一个来源就是信号原本是连续的，但为了分析、传输或处理的某种需要(比如抗干扰、多路复用等)而人为地将其变为离散信号，比如我们熟悉的移动电话，就是将连续的语音信号变为离散信号(数字信号)进行传输和处理的。连续信号可以通过采样的方法变为离散信号(如图5-1所示)，然后再通过量化和编码就可成为数字信号。图5-1连续信号的采样序列的定义可表述为：对模拟信号x(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

x(t)|t=nT=x(nT)，－∞<n<∞

(5-1)

这里n取整数。对于不同的n值，x(nT)这个有序的数字序列就是离散时间信号。为了表述方便和更具一般性，可将离散信号直接以整数n作为宗量(自变量)，通常写成x(n)、f(n)或s(n)等形式(相对于连续信号f(t)、x(t)和s(t))，称之为“序列”。

序列除了可以用公式表示外，还可以用图形表示；如果序列是通过观测得到的一组离散数据，还可以用集合表示。5.1.2常用序列

1．单位脉冲序列δ(n)

单位脉冲序列的定义为(5-2)单位脉冲序列也叫做单位采样序列(如图5-2所示)，特点是仅在n=0时取值为1，其他均为0。它类似于模拟信号中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时取值为无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1；而单位脉冲序列δ(n)在n=0时取值为有限值1。图5-2单位脉冲序列

2．单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列的定义为(5-3)单位阶跃序列的图形如图5-3所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。

δ(n)与u(n)之间的关系如式(5-4)和式(5-5)所示。

δ(n)=u(n)－u(n－1)

(5-4)(5-5)图5-3单位阶跃序列令n－k=m并代入上式得到(5-6)

3．矩形序列RN(n)

矩形序列的定义为(5-7)RN(n)的图形如图5-4所示。RN(n)和δ(n)、u(n)的关系如下：

RN(n)=u(n)－u(n－N)

(5-8)(5-9)图5-4矩形序列

4．实指数序列

x(n)=anu(n)(5-10)

式中，a为实数。当|a|<1时，序列是收敛的；而当|a|>1时，序列是发散的；a为负数时，序列是摆动的，如图5-5所示。图5-5几种实指数序列

5．正弦序列

正弦序列是包络为正、余弦变化的序列。

正弦序列定义为

x(n)=Asin(Ω0n+)

(5-11)

式中，Ω0称为正弦序列的数字角频率。不难推出，若2π/Ω0为整数m，则序列的值每隔m单位重复一次；若2π/Ω0不为整数，但为有理数，则序列的变化仍为周期性；若2π/Ω0为无理数时，正弦序列就不再是周期序列了。

对模拟正弦信号xa(t)=Asin(ω0t+

)采样可以得到正弦序列，如下所示：

x(n)=xa(t)|t=nT=Asin(ω0nT+

)

(5-12)由上式可见，有ω0T=Ω0。其中，Ω0为离散时间正弦序列的数字角频率，而ω0是模拟正弦信号的模拟角频率。实际上，不管离散时间信号是否由模拟信号采样而来，数字角频率和模拟角频率都是这种线性关系。图5-6所示是一种正弦序列的波形。图5-6正弦序列的波形

6.任意序列

单位取样脉冲表示为(5-13)任意序列可以用单位取样脉冲序列的加权和表示为(5-14)

7.序列的能量

序列的能量可由下式表示：(5-15)

8.周期序列若任一序列x(n)满足x(n)=x(n+N)，N为最小正整数，则称x(n)为周期序列。5.1.3序列的运算

1．相加

两个序列相加是指同一时刻(n时刻)两序列的序列值相加，即

x(n)=x1(n)+x2(n)(5-16)

2．相乘

两个序列相乘是指同一时刻(n时刻)两序列的序列值相乘，即

x(n)=x1(n)·x2(n)

(5-17)

3．数乘

数乘是指序列的每一项都乘以常数a所形成的序列，即

y(n)=ax(n)

(5-18)

4．移位

移位运算是指序列在时轴上左右移动而得到的序列，即

y(n)=x(n－m)

其中，当m>0时，序列向右平移；当m<0时，序列向左平移。图5-7所示分别为序列x(n)、x(n－1)和x(n+1)。图5-7序列的移位运算

5．翻转

翻转运算是指序列以n=0的纵轴为对称轴翻转而形成的新序列，即

y(n)=x(－n)

(5-19)

显然，序列y(n)和x(n)是偶对称的。

6．尺度变换(时域)

尺度变换有两种形式：y(n)=x(mn)和y(n)=x(n/m)。

y(n)=x(mn)是指序列的抽取，即序列y(n)是序列x(n)每m点取一个点得到的，也即将序列x(n)的n轴压缩m倍。例如当m=2时，波形如图5-8所示。图5-8序列的抽取

y(n)=x(n/m)是指序列的插值，即序列y(n)是序列x(n)每两个点之间插入m－1个零值得到的，也即将序列x(n)的n轴扩展了m倍。例如当m=2时，波形如图5-9所示。图5-9序列的插值

7．差分

序列x(n)的一阶前向差分的定义为

Δx(n)=x(n+1)－x(n)

(5-20)

序列x(n)的一阶后向差分的定义为

x(n)=x(n)－x(n－1)

(5-21)

例如单位阶跃序列的一阶后向差分为u(n)－u(n－1)=δ(n)，即单位阶跃序列的一阶后向差分为单位脉冲序列。

5.2采样定理

1.理想采样

采样器相当于一个定时开关，每隔T秒闭合一次，每次闭合时间为τ秒，从而得到样值信号(即离散信号)fs(t)。因此，只要用一个周期为T，宽度为τ的矩形脉冲串即采样脉冲序列PT(t)控制电子开关，就可实现采样，如图5-10所示。图5-10信号的采样过程由图5-10可知，fs(t)是一个脉冲序列，其脉冲幅度为此刻f(t)的值。这样每隔T秒采样一次的采样方式称为均匀采样，T称为采样周期，fs=称为采样频率，称为采样角频率。

采样脉冲序列PT(t)如图5-11所示，可表述为(5-22)这样，图5-10所示的采样原理可表述为f(t)与采样脉冲序列PT(t)的乘积，即

fs(t)=f(t)·PT(t)

(5-23)图5-11采样脉冲序列PT(t)现在，令τ→0，则采样脉冲序列是冲激函数序列δT(t)，即(5-24)采样得到的样值函数fs(t)也是一个冲激函数序列，其各个冲激函数的冲激强度为该时刻f(t)的瞬时值，这种采样称为理想采样，理想采样及其相关波形如图5-12所示。图5-12理想采样的过程

2.采样定理

设信号f(t)为带限信号，其最高频率为fm，最高角频率为ωm=2πfm，即当|ω|>ωm时，F(jω)=0。假设带限信号f(t)的波形及其频谱如图5-13(a)所示。

用δT(t)对f(t)进行采样，得样值信号fs(t)为(5-25)显然，fs(t)是每隔T秒均匀采样的样值函数，它的波形如图5-13(c)所示。现在证明样值函数fs(t)是否包含f(t)的全部信息。对式(5-25)取傅里叶变换，则有(5-26)因为

F(jω)=F

［f(t)］(5-27)所以(5-28)图5-13采样定理(a)信号波形及频谱；(b)采样脉冲序列及频谱；(c)样值信号fs(t)及频谱讨论：

由式(5-28)知：样值函数fs(t)的频谱Fs(jω)是原信号f(t)的频谱F(jω)的周期延拓，延拓的周期为ωs，其幅度则为F(jω)的1/T倍，如图5-13(c)所示。显然，只要满足ωs≥2ωm，样值函数fs(t)的频谱Fs(jω)就不会发生混叠现象。只要通过一个截止频率为ωm的低通滤波器就可从频谱Fs(jω)中取出F(jω)，经傅里叶反变换即得原信号f(t)。由ωs≥2ωm得：采样频率fs≥2fm，通常称fs=2fm为奈奎斯特频率，而称T=为奈奎斯特采样间隔。采样定理：频带有限信号f(t)(f≤fm)，可由它在均匀间隔上的采样值唯一决定，只要其采样间隔。

由采样定理可知，对于频带有限的信号f(t)，设其最高频率为fm，那么只要采样频率fs≥2fm，就可由各离散时刻的样值信号fs(nT)唯一确定原信号f(t)，或者说可以由样值信号fs(t)恢复原来的信号f(t)。因此，只要满足fs≥2fm条件，各离散时刻的样值信号fs(t)就包含了f(t)的全部信息。这里要特别强调的是，对于频带无限的信号f(t)，只要其高频部分所占的比重很小，就可以用一个截止频率合适的低通滤波器滤掉其高频分量，然后再以低通滤波器截止频率的两倍或两倍以上的采样频率对滤波后的信号进行采样，就可由采样信号恢复出原来的信号。否则，不管用多高的采样频率也无法实现信号的恢复。

3.信号的恢复(信号重构)

由以上的讨论可知，只要满足条件fs≥2fm，样值信号fs(t)中就包含了f(t)的全部信息，因而由样值函数fs(t)可以恢复原信号f(t)。由图5-13(c)可以看出，样值函数fs(t)经过一个截止频率为ωm的低通滤波器即可从频谱Fs(jω)中取出F(jω)，从时域角度而言，这样就恢复了原始信号f(t)，即

F(jω)=Fs(jω)·H(jω)

(5-29)

式中，H(jω)为理想低通滤波器(LPF)的频率特性，即要求(5-30)上述从样值函数fs(t)恢复f(t)的原理过程如图5-14所示。图5-14f(t)的恢复原理

5.3离散时间系统的描述

5.3.1离散时间系统的差分方程

输入、输出都是离散时间信号的系统叫做离散时间系统。离散时间系统的作用是将离散输入信号变换为离散输出信号，它可用箭头表示为x(n)→y(n)。也可以用一个黑箱表示，如图5-15所示。

这里输入是引起变换的“原因”，输出反映了变换的“结果”，而变换作用则完全取决于系统本身。图5-15离散系统的黑箱表示按离散时间系统的性能，可以将其划分出线性、非线性、时变、时不变等多种类型。与连续时间系统的情况类似，对于离散时间系统，本书仅限于讨论线性时不变系统(LTI)。

在离散时间系统中，信号的自变量是离散量，系统可用差分方程来描述。描述线性时不变离散时间系统的差分方程是常系数线性差分方程，其一般形式为

aky(n+k)+ak－1y(n+k－1)+…+a1y(n+1)+a0y(n)

=bmx(n+m)+bm－1x(n+m－1)+…+b0x(n)

(5-31)

或记为(5-32)式中x(n+j)(j=0，1，2，…，m)是输入及其移位序列；y(n+i)(i=0，1，2，…，n)是响应及其移位序列，差分方程的阶数等于未知响应序列的最高序号与最低序号之差，因此式(5-31)是一个k阶差分方程。

在式(5-31)的差分方程中，各序列的序号自n以递增方式给出，称为前向差分方程。差分方程也可以用另一种形式给出，即

aky(n－k)+ak－1y(n－k+1)+…+a1y(n－1)+a0y(n)

=bmx(n－m)+bm－1x(n－m+1)+…+b0x(n)

(5-33)

一般情况下，a0=1。或记为(5-34)这种表示形式中各序列的序号自n以递减的方式给出，称为后向差分方程。在常系数线性差分方程中，各序列的序号都增加或减少同样的数目，该差分方程所描述的输入和输出关系不变，因此我们能够很容易地将前向差分方程改写为后向差分方程，或者反之。例如：

y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=x(n+1)+x(n)

上式为常系数线性二阶前向差分方程式，将各序列之序号减2，即可改写成

y(n)+3y(n－1)+2y(n－2)=x(n－1)+x(n－2)

而变成常系数线性二阶后向差分方程。在应用中，究竟采用哪种形式的差分方程比较方便，要视具体情况而定。

求解差分方程的方法有以下几种：

1.递推法

例如，某LTI系统的差分方程为y(n)=

,设输入信号x(n)=δ(n)，求系统的零状态响应。

因为是求零状态响应，所以有y(－1)=0，这样，有由此得这其实就是系统的单位脉冲响应，单位脉冲响应我们将在5.4节详述。递推法用计算机求解较为方便。这种方法简单，概念清楚，但一般只能得出数值解而不能直接给出完整的解析解。

2.时域经典法时域经典法实际上是求差分方程的齐次解与特解，这种方法虽然是基本的，但求解过程较麻烦，现已较少采用。

3.零输入与零状态解法

这是利用线性系统的分解性，将响应分成零输入与零状态两个分量，用范德蒙矩阵方法求零输入响应，用卷积和方法求零状态响应。这是现今通行的时域解法，也是我们这一章需重点讨论的问题之一。

4.其他方法

Z变换法和状态空间分析法，这两种方法通过变换域来求解差分方程，我们将在第7章和第8章讨论。5.3.2离散时间系统的算子方程

在离散时间系统分析中，我们列入E算子(超前算子)表示将序列提前一个单位时间的运算；E－1算子(迟后算子)表示将序列延迟一个单位时间的运算，即：

Ex(n)=x(n+1)，Ekx(n)=x(n+k)

E－1x(n)=x(n－1)，E－kx(n)=x(n－k)

应用中，统称E算子和E－1算子为差分算子。

利用差分算子，可将差分方程式(5-33)写成下述形式：

akE－ky(n)+ak－1E－(k－1)y(n)+…+a1E－1y(n)+a0y(n)

=bmE－mx(n)+bm－1E－(m－1)x(n)+…+b0x(n)

(5-35)或写成

(akE－k+ak－1E－(k－1)+…+a1E－1+a0)y(n)=(bmE－m+bm－1E－(m－1)+…+b0)x(n)

则有(5-36)式中，

B(E)=bmE－m+bm－1E－(m－1)+…+b0

A(E)=akE－k+ak－1E－(k－1)+…+a1E－1+a0若令(5-37)则式(5-36)可表示为

y(n)=H(E)·x(n)

(5-38)

式(5-38)称为离散时间系统的算子方程。式中的H(E)称为离散时间系统的传输算子。它完整地描述了离散时间系统的输入输出关系，或者说集中反映了系统对输入序列的传输特性。例如，设某离散时间系统的差分方程为

y(n+1)+ay(n)=x(n)

以单位延迟算子E－1作用于方程两边后，得到

y(n)+ay(n－1)=x(n－1)显然，上面两个方程所描述的系统，其传输算子是一样的，表示两系统的输入、输出关系也是相同的。实际上，它们都表示任一离散时刻的输出与前一离散时刻输入和输出之间的同一关系。因此，当两系统具有相同初始状态和输入序列，且在相同观察时刻条件下，其输出也必然相同。

图5-16给出了用传输算子H(E)表示的离散系统的输入输出模型。图5-16用H(E)表示离散系统根据差分算子的定义，容易证明：可见，对于同一序列而言，超前算子与迟后算子的作用可以互相抵消，或者说作用于同一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允许消去。

5.4常系数线性差分方程的解

5.4.1经典解法

与微分方程的时域经典解类似，差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用符号yh(n)表示，特解用符号yp(n)表示，即

y(n)=yh(n)+yp(n)

(5-39)

1.齐次解

设k阶LTI离散时间系统的传输算子H(E)为(5-40)相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为

aky(n－k)+ak－1y(n－k+1)+…+a1y(n－1)+y(n)

=bmx(n－m)+bm－1x(n－m+1)+…+b1x(n－1)+b0x(n)

(5-41)式中，ai(i=0，1，…，k)、bj(j=0，1，…，m)均为常数，a0=1。当式(5-41)中的x(n)及其各移位项均为零时，齐次方程

aky(n－k)+ak－1y(n－k+1)+…+a1y(n－1)+y(n)=0

(5-42)的解称为齐次解，记为yh(n)。通常，齐次解由形式为cλn的序列组合而成，将cλn代入式(5-42)，得到

akcλn－k+ak－1cλn－k+1+…+a1cλn－1+cλn=0

消去常数c，并同乘λk－n，得

ak+ak－1λ+…+a1λk－1+λk=0

(5-43)

式(5-43)称为差分方程(4-41)或(5-42)的特征方程，一般有k个不等于零的根λi(i=1，2，…，k)，称为差分方程的特征根。由于特征方程(5-43)左端与传输算子H(E)的分母式具有相同的形式，因此，差分方程的特征根就是传输算子H(E)的极点。

根据特征根(或传输算子极点)的不同取值，差分方程齐次解的函数形式如表5-1所列，表中的A、B、Ci、等为待定常数。

2.特解

特解用yp(n)表示，它的函数形式与输入的函数形式有关。将输入x(n)代入差分方程式(5-41)的右端，所得结果称为“自由项”。表5-2中列出了几种典型自由项函数形式对应的特解函数。将相应的特解函数代入原差分方程，按照方程两边对应项系数相等的方法，确定待定常数Pi、Q等，即可得到方程的特解yp(n)。将式(5-41)的齐次解和特解相加就是该差分方程的完全解。如果一个k阶差分方程，特征根λ1为r重根，其余特征根均为单根，那么，该差分方程的完全解可表示为式中的各系数ci、cj由差分方程的初始条件，即n个独立的y(n)值确定。

【例5-1】

描述某二阶系统的差分方程为y(n)－y(n－1)+

y(n－2)=x(n)，已知初始条件为y(0)=1，y(1)=，激励x(n)=u(n)，求方程的全解。

【解】(1)齐次解：

上述差分方程的特征方程为可解得其特征根为二重根，则其齐次解为

(2)特解：由表5-2可知特解yp(n)=P0，n≥0将yp(n)、yp(n－1)、yp(n－2)和x(n)代入原差分方程，得解得故

(3)全解：差分方程的全解将已知的初始条件代入上式，得由以上两式解得最后得方程的全解为差分方程的齐次解也称为系统的自由响应；特解称为强迫响应。本例中由于特征根|λ|<1，自由响应随着n的增加逐渐衰减为零，故自由响应也称为瞬态响应。其强迫响应随着n的增加保持常数，故称为稳态响应。5.4.2零输入与零状态解法

离散时间系统的全响应y(n)可分为零输入响应和零状态响应，即

y(n)=yf(n)+yx(n)

我们以二阶系统为例，对零输入响应和零状态响应的求解作一说明。

设某二阶系统的差分方程为

y(n)+a1y(n－1)+a0y(n－2)=x(n)

(5-44)

其初始状态为y(－1)，y(－2)。通常，激励x(n)在n=0时接入系统，在n<0时，激励尚未接入，因此，系统的初始状态是指n<0时的y(n)值，即

y(－1)，y(－2)，…，y(－k)，它们给出了系统以往历史的全部信息。对于二阶系统，零输入响应yx(n)是指初始状态

y(－1)、y(－2)作用引起的响应。根据零输入响应的定义，式(5-44)二阶系统的零输入响应满足(5-45)设二阶差分方程的两个特征根为单实根，则其零输入响应(5-46)式中常数根据初始状态yx(－1)、yx(－2)来确定。根据零状态响应的定义，式(5-44)的零状态响应满足(5-47)式(5-47)仍是非齐次差分方程，其零状态响应(5-48)式中

为待定常数。我们知道，系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是式中，可见，两种分解方式有明显区别。虽然自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同。仅由系统的初始状态所决定；而Ci由初始状态和激励共同决定。另外，零状态响应还可以由系统的输入信号和系统的单位脉冲响应的离散卷积来求解，我们将在后续内容中介绍。

【例5-2】

若描述离散系统的差分方程为已知激励x(n)=2n，n≥0；初始状态y(－1)=1，y(－2)=0。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

【解】①零输入响应yx(n)。零输入响应满足首先求初始值yx(0)、yx(1)，将差分方程改写为令n=0，1，并将yx(－1)、yx(－2)代入上式，得差分方程的特征方程为特征根为零输入响应将初始值代入上式，得解得故该系统的零输入响应②零状态响应。零状态响应满足首先求初始值yf(0)和yf(1)，将x(n)代入差分方程，并改写为令n=0，1，并代入yf(－1)=yf(－2)=0，得差分方程的特征方程为特征根为零状态响应的齐次解特解yp(n)=P(2)n将yp(n)代入方程，得解得故特解零状态响应将初始值yf(0)、yf(1)代入上式，得解得，故零状态响应③全响应。自由响应

5.5离散时间系统的单位脉冲响应

单位脉冲序列δ(n)作用于LTI离散时间系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应，用符号h(n)表示，它的作用与连续时间系统的单位冲激响应h(t)相同。

单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取值δ(0)=1，在n为其他值时都是零，利用这一特点可以方便地用迭代法求出h(n)。

【例5-3】

若某离散时间系统的差分方程为

y(n)－0.5y(n－1)=x(n)，n≥0

求其单位脉冲响应h(n)。

【解】

根据单位脉冲响应h(n)的定义，它应满足方程

h(n)－0.5h(n－1)=δ(n)

对于因果系统，由于δ(－1)=0，故h(－1)=0。

采用迭代法将差分方程写成

h(n)=δ(n)+0.5h(n－1)

代入初始条件，可得

h(0)=δ(0)+0.5h(－1)=1

类似地，依次迭代可得

h(1)=δ(1)+0.5h(0)=0.5

h(2)=δ(2)+0.5h(1)=0.52故

h(n)=0.5nu(n)

用迭代法求系统的单位脉冲响应不易得出解析形式的解。为了能够给出解析解，可采用等效初始条件法。对于因果系统，单位脉冲序列瞬时作用后，其输入变为零，此时描述系统的差分方程变为齐次方程，而单位脉冲序列对系统的瞬时作用则转化为系统的等效初始条件，这样就把问题转化为求解齐次方程，由此得到h(n)的解析解。单位脉冲序列的等效初始条件可以根据差分方程和零状态条件y(－1)=0，…，

y(－k)=0递推求出。下面举例说明这种方法。

【例5-4】

若描述某离散时间系统的差分方程为

y(n)+3y(n－1)+2y(n－2)=x(n)

求系统的单位脉冲响应h(n)。

【解】

根据单位脉冲响应h(n)的定义，它应满足方程

h(n)+3h(n－1)+2h(n－2)=δ(n)

①求等效初始条件。

对于因果系统，有h(－1)=0，h(－2)=0，代入上面的方程，可以推出等效初始条件

h(0)=δ(0)－3h(－1)－2h(－2)=1

h(1)=δ(1)－3h(0)－2h(－1)=－3求解该系统需要两个初始条件，可以选择h(0)和h(1)作为初始条件，也可以选择h(－1)和h(0)作为初始条件。选择初始条件的基本原则是必须将δ(n)的作用体现在初始条件中。

②求差分方程的齐次解。

特征方程为

λ2+3λ+2=0

特征根为

λ1=－1，λ2=－2

齐次解的表达式为

h(n)=C1(－1)n+C2(－2)n代入初始条件，有解得C1=－1，C2=2故系统的单位脉冲响应为h(n)=－(－1)n+2(－2)n，n≥0

【例5-5】

已知描述某LTI离散时间系统的差分方程为y(n)－5y(n－1)+6y(n－2)=x(n)－3x(n－2)，n≥0求系统的单位脉冲响应h(n)。

【解】

根据单位脉冲响应h(n)的定义，它应满足方程

h(n)－5h(n－1)+6h(n－2)=δ(n)－3δ(n－2)

①假定差分方程右端只有δ(n)作用，不考虑3δ(n－2)的作用，求此时系统的单位脉冲响应h1(n)。

δ(n)的等效初始条件为h1(0)=δ(0)=1，选择h1(－1)=0，h1(0)=1作为初始条件。由差分方程的齐次解可写出h1(n)=C1(3)n+C2(2)n，代入初始条件h1(－1)=0，h1(0)=1，有

解得C1=3，C2=－2，故h1(n)=［3(3)n－2(2)n］u(n)②只考虑3δ(n－2)作用引起的单位脉冲响应h2(n)。由系统线性时不变特性得

h2(n)=－3h1(n－2)=－3[3(3)n－2－2(2)n－2]u(n－2)

③将h1(n)与h2(n)叠加，即得系统的单位脉冲响应h(n)。

h(n)=h1(n)+h2(n)=[(3)n+1－(2)n+1]u(n)－3[(3)n－1－(2)n－1]u(n－2)

单位脉冲响应h(n)也可由系统的传输算子H(E)求出，下面我们讨论几个具体例子，仅限于讨论线性时不变因果系统的情况。

【例5-6】

若系统的传输算子为

H(E)=Ek

则相应的差分方程可写为

y(n)=Ekx(n)令x(n)=δ(n)，此时yx(n)=h(n)，于是有

h(n)=Ekδ(n)=δ(n+k)

所以

H(E)=Ek→h(n)=δ(n+k)

【例5-7】

若系统的传输算子为则相应的差分方程有

(E－λ)y(n)=Ex(n)令x(n)=δ(n)时，yx(n)=h(n)，故有

(E－λ)h(n)=Eδ(n)或

h(n+1)－λh(n)=δ(n+1)

(5-49)

由于

δ(n+1)=0，n≤－2

同时，对于因果系统必有

h(n)=0，n≤－2

利用该式作为初始条件，用递推法可由式(5-49)求得h(n)的各个序列项。分别令式(5-49)中n=－2，－1，0，1，2，…，可得

h(－1)=λh(－2)+δ(－1)=0

h(0)=λh(－1)+δ(0)=1

h(1)=λh(0)+δ(0)=λ

h(2)=λh(1)+δ(1)=λ2

h(n)=λh(n－1)+δ(n)=λλn－1=λn

即

h(n)=λnu(n)

按式(5-49)的算子表示，形式上将有即(5-50)在式(5-50)两边对λ进行微分运算，有现在我们总结一下由传输算子H(E)求解h(n)的一般方法。设离散时间系统的传输算子为(5-51)求单位脉冲响应h(n)的方法如下：

第一步：从H(E)中提出一个E，得到H(E)=EH'(E)(H'(E)是提出E后H(E)的余式)。

第二步：将H'(E)进行部分分式展开。

第三步：将E再乘入部分分式展开式，得到H(E)的部分分式展开式。式中λi为系统的特征根，qi为该特征根的重数，Ai为部分分式项系数，P为H(E)相异特征根个数。第四步：利用式(5-49)、式(5-50)、式(5-51)求出每个Hi(E)对应的单位脉冲响应分量hi(n)。

第五步：求出系统的单位脉冲响应。

【例5-8】

一系统的差分方程为

y(n+2)+3y(n+1)+2y(n)=2x(n+1)+x(n)求其单位脉冲响应。

【解】

传输算子为利用式(5-49)和式(5-50)，有

【例5-9】

系统的传输算子为求其单位脉冲响应。

【解】

h(n)=H(E)·δ(n)得h(n)=nu(n)+u(n)+2nu(n)

5.6卷积和

5.6.1序列的卷积和

1.卷积和的定义

与两个连续时间信号卷积积分运算相对应，两个离散时间信号(序列)的卷积和运算有着类似的形式，但是因为变量是离散的，故积分变为求和，其定义是：若x1(n)和x2(n)都是因果序列，则(5-53)(5-52)

2.卷积和的性质

1)交换律

x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n)

(5-54)

由式(5-52)的定义有

2)结合律

[x1(n)*x2(n)]*x3(n)=x1(n)*[x2(n)*x3(n)]

(5-55)

3)分配律

x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)

(5-56)

4)δ(n)是离散卷积的单位元

x(n)*δ(n)=x(n)

(5-57)

5)δ(n－1)是单位延迟器

x(n)*δ(n－1)=x(n－1)

(5-58a)

一般地有

x(n)*δ(n－k)=x(n－k)

(5-58b)

其中k可为任意整数。

6)u(n)是数字积分器(5-59)

3.卷积和的计算

1)直接按定义或性质计算

【例5-10】

设有离散信号x1(n)=u(n)，x2(n)=，求y(n)=x1(n)*x2(n)。

【解】

由定义式(5-53)得该题也可利用性质6)，u(n)是数字积分器进行计算：

2)图解法

由卷积和的定义可见，卷积和的运算包括了序列的翻转、位移、相乘及累加等运算过程，其计算步骤如下：

(1)变量置换。把离散信号x1(n)和x2(n)的变量都用m置换，变为x1(m)和x2(m)。

(2)翻转。将x2(m)翻转，变为x2(－m)。

(3)移位。把x2(－m)移位，变为x2(n－m)。n>0，把x2

(－m)向右移位；n<0，把x2(－m)向左移位。

(4)相乘。把x1(m)与x2(n－m)相乘。

(5)累加。计算累加。

【例5-11】

用图解法求解例5-10。

【解】

图5-17(a)、(b)、(c)所示分别表示变量置换信号x1(m)和x2(m)，x2(－m)为静止位置(n=0)的翻转信号。图

5-17(d)、(e)所示分别为n=1、n=2时的x2(n－m)。图5-17卷积和的图解法

由此可以画出卷积和y(n)的图形(见图5-17(f))。图解法比较简便，概念清楚，但不易得到闭合形式的解。

3)竖式法

用竖式法计算卷积和，是采用与竖式乘法一样的格式，只是各点分别乘，分别加，不跨点进位，卷积结果的起始序号等于两序列起始序号之和。

【例5-12】

用竖式法计算x1(n)={2，1，5}，x2(n)={3，1，4，2}的卷积y(n)=x1(n)*x2(n)。

【解】即y(n)={6，5，24，13，22，10}。此例中序列x1(n)的长度是3，x2(n)的长度是4，y(n)的长度是3+4－1=6。

一般地，如果两序列长度分别为n1和n2，则它们的卷积的长度为n1+n2－1，这与连续卷积的时长等于两函数的时长之和是不同的。

以上都是作理论分析时计算离散卷积的方法，而在工程实际中，离散卷积是用计算机计算的。如果序列点数很多，可用快速傅里叶变换(FFT)变换到频域相乘，再用IFFT方法变换回时域，这些内容将会在数字信号处理课程中讨论。5.6.2用卷积和求零状态响应

设离散时间系统的输入为x(n)，对应的零状态响应为yf(n)，由式(5-14)知道，输入x(n)可以表示成众多单位脉冲信号的线性组合，即根据线性离散时间系统特性，可利用单位脉冲响应h(n),分别求出每个位移脉冲信号x(m)δ(n－m)作用于系统的零状态响应，然后把它们叠加起来就可以得到系统对输入x(n)的零状态响应yx(n)。因此,我们也可采用连续时间系统中类似的做法推导出离散时间系统的零状态响应的计算公式。对于线性时不变离散时间系统，我们有如下输入的零状态响应关系。由单位脉冲响应定义得：

δ(n)→h(n)

由时不变特性得：

δ(n－m)→h(n－m)

由零状态响应齐次性得：

x(m)δ(n－m)→x(m)h(n－m)

由零状态响应可加性得：由式(5-14)和卷积和的定义可得

x(n)→yf(n)

这就表明线性时不变离散时间系统的零状态响应等于输入信号和单位脉冲响应的卷积和。

物理可实现的系统是因果的，即其单位脉冲序列应满足

h(n)=h(n)u(n)

因此，因果系统的零状态响应为(5-60)通常系统输入都是从n=0算起的，而将n=0以前的输入响应折算为系统的初始条件。单边序列x(n)=x(n)u(n)，这样，因果系统对于单边输入序列的零状态响应为(5-61)

【例5-13】

已知离散时间系统的输入信号x(n)=u(n)－u(n－5)，单位脉冲响应h(n)=

u(n)，试求系统的零状态响应yf(n)。

【解】

由式(5-60)知

yf(n)=x(n)*h(n)

=[u(n)－u(n－5)]*h(n)

由卷积和的分配律，有

yf(n)=u(n)*h(n)－u(n－5)*h(n)由系统的时不变特性，得于是，系统的零状态响应为

【例5-14】

描述某离散时间系统的差分方程为

y(n)－0.7y(n－1)+0.12y(n－2)=2x(n)－x(n－1)若输入x(n)=(0.2)nu(n)，零输入响应初始条件yx(0)=8，yx(1)=3，试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。

【解】

写出系统的算子方程

(1－0.7E－1+0.12E－2)y(n)=(2－E－1)x(n)其传输算子为先求系统的零输入响应yx(n)。H(E)的极点(即特征根)为0.3和0.4，所以有

yx(n)=[C1(0.3)n+C2(0.4)n]u(n)将初始条件代入上式，有解得C1=2，C2=6。故有零输入响应

yx(n)=［2(0.3)n+6(0.4)n］u(n)

再求系统的零状态响应yf(n)。此时，需要求出系统的单位脉冲响应。为此，将展开成部分分式，有即由式(5-50)，写出系统的单位脉冲响应h(n)=[4(0.3)n－2(0.4)n]u(n)按式(5-60)计算零状态响应

yf(n)=x(n)*h(n)

=(0.2)nu(n)*[4(0.3)n－2(0.4)n]u(n)

=(0.2)nu(n)*4(0.3)nu(n)－(0.2)nu(n)*2(0.4)nu(n)

=[40(0.3)n+1－10(0.4)n+1－30(0.2)n+1]u(n)

=[12(0.3)n－4(0.4)n－6(0.2)n]u(n)

最后，将零输入响应yx(n)和零状态响应yf(n)相加，得到系统的全响应y(n)=yx(n)+yf(n)

=[2(0.3)n+6(0.4)n]u(n)+[12(0.3)n－4(0.4)n－6(0.2)n]u(n)=2[7(0.3)n+(0.4)n－3(0.2)n]u(n)

5.7利用MATLAB实现离散时间信号与系统的时域分析

5.7.1离散时间信号的MATLAB表示

对任意离散序列x(n)，常用两个向量来表示。一个表示n的取值范围，另一个表示序列的值。例如序列x(n)={2，1，1，－1，3，0，2}可用MATLAB表示为

n=－2：4；

x=［2，1，1，-1，3，0，2］；

若序列是从n=0开始，则只用一个向量x就可表示序列。由于计算机内存的限制，MATLAB无法表示一个任意的无穷序列。

1.指数序列

离散指数序列的一般形式为an，可以用MATLAB中的数组幂运算a.^n实现。

例如x(n)=(－0.6)n可用MATLAB程序表示如下：

%program1exponentialsequence

n=0：10；

A=1；a=－0.6；

xn=A*a.^n；

stem(n，xn)

运行结果如图5-18所示。

修改程序中A和a的值，可以得到其他指数序列。图5-18指数序列

2.正弦序列

离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号相同，只是用stem(n，x)画出序列的波形。例如正弦序列x(n)=sin(π/6)n的MATLAB实现如下：

%program5-2discrete-timesinusoidalsignal

n=0：39；

xn=sin(pi/6*n)；

stem(n，xn，′filled′)

ylabel(′sin(n＼pi/6)′)；

axis(［0，40，-1.2，1.2］)；

运行结果如图5-19所示。图5-19正弦序列

3.单位脉冲序列

单位脉冲序列的定义为一种简单的方法是借助MATLAB中的零矩阵函数zeros表示。零矩阵zeros(1，N)产生一个由N个零组成的列向量，对于有限区间的δ(n)可以表示为

n=-20：20；

delta=［zeros(1，20)，1，zeros(1，20)］；

stem(n，delta，′.′)程序运行结果如图5-20所示。图5-20单位脉冲序列另外一种更有效的方法是将单位脉冲序列写成MATLAB函数，利用关系运算“等于”来实现它。单位脉冲序列δ(n－n0)在n1≤n≤n2范围内，MATLAB函数可写为

function［x，n］=impseq(n0，n1，n2)

%产生x(n)=delta(n-n0)；n1<=n<=n2

n=［n1：n2］；x=［(n-n0)==0］；

程序中关系运算(n－n0)==0的结果是一个0－1矩阵，即n=n0时返回“真”值1，n≠n0时返回“非真”值0。

4.单位阶跃序列

单位阶跃序列的定义为一种简单的方法是借助MATLAB中的单位矩阵函数ones表示。单位矩阵函数ones(1，N)产生一个由N个1组成的列向量，对于有限区间的u(n)可以表示为

n=-20：20；

un=［zeros(1，20)，ones(1，21)］；

stem(n，un，′.′)运行结果如图5-21所示。图5-21单位阶跃序列与单位脉冲序列的MATLAB表示相似，也可以将单位阶跃序列写成MATLAB函数，并利用关系运算“大于等于”来实现它。单位阶跃序列u(n－n0)在n1≤n≤n2范围内的MATLAB函数可写为

function［x，n］=stepseq(n0，n1，n2)

%产生x(n)=u(n－n0)；n1<=n<=n2

n=［n1：n2］；x=［(n-n0)>=0］；

程序中关系运算(n－n0)>=0的结果是一个0－1矩阵，即n≥n0时返回“真”值1，n<n0时返回“非真”值0。5.7.2LTI离散时间系统时域分析的MATLAB实现

MATLAB提供了许多仿真函数来进行离散系统的时域分析，包括：

(1)调用filter函数作数字滤波，求解系统的响应序列:

y=filter(b，a，fn)

(2)调用dinitial函数求零输入响应:

yx=dinitial(b，a)

(3)调用lsim函数求零状态响应和全响应:

y=lsim(b，a，fn)

(4)调用impz函数求单位脉冲响应: