2025年考研《自动控制原理》真题解析与根轨迹频域分析综合卷及答案

2025年考研《自动控制原理》真题解析与根轨迹频域分析综合卷及答案一、综合分析题（共3题，每题50分，总分150分）第一题：根轨迹分析与系统性能设计已知单位负反馈系统的开环传递函数为：\[G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}\]其中\(K>0\)为可调增益。（1）绘制系统的根轨迹图（要求标注起点、终点、渐近线、分离点/会合点、与虚轴交点等关键特征）；（2）确定系统临界稳定时的\(K\)值及对应的振荡频率；（3）若要求闭环系统主导极点的阻尼比\(\zeta=0.5\)，求此时\(K\)的取值，并判断系统是否存在非主导极点，说明其对动态性能的影响。解析与答案（1）根轨迹绘制步骤：-起点：开环极点\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-3\)，共3个起点；-终点：开环零点\(z_1=-2\)，1个有限零点，另2个终点趋向无穷远（因\(n-m=2\)）；-渐近线：渐近线数量\(n-m=2\)，角度\(\frac{(2k+1)\pi}{n-m}\)（\(k=0,1\)），即\(\pm90^\circ\)；渐近线与实轴交点\(\sigma_a=\frac{\sump_i-\sumz_j}{n-m}=\frac{(0-1-3)-(-2)}{2}=\frac{-2}{2}=-1\)；-实轴上的根轨迹：区间\((-\infty,-3]\)、\([-2,-1]\)、\([0,+\infty)\)（根据“奇数个开环零极点右侧”规则）；-分离点/会合点：设根轨迹在实轴上的分离点为\(d\)，满足\(\sum\frac{1}{d-p_i}=\sum\frac{1}{d-z_j}\)，即：\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+2}\]通分整理得\(2d^3+10d^2+14d+6=0\)，因式分解为\(2(d+1)(d^2+4d+3)=0\)，解得\(d=-1\)（重根，舍去）、\(d=-3\)（极点，舍去）、\(d=-1\)（重复），实际有效解需验证：代入\(d=-0.5\)附近，原方程左侧\(\frac{1}{-0.5}+\frac{1}{0.5}+\frac{1}{2.5}=-2+2+0.4=0.4\)，右侧\(\frac{1}{1.5}\approx0.67\)，不相等；再试\(d=-2.5\)，左侧\(\frac{1}{-2.5}+\frac{1}{-1.5}+\frac{1}{0.5}=-0.4-0.67+2=0.93\)，右侧\(\frac{1}{-0.5}=-2\)，不相等。说明实轴上无分离点，根轨迹从极点出发后直接向零点和无穷远延伸；-与虚轴交点：闭环特征方程\(s(s+1)(s+3)+K(s+2)=0\)，即\(s^3+4s^2+3s+Ks+2K=s^3+4s^2+(3+K)s+2K=0\)。令\(s=j\omega\)，代入得：\[(j\omega)^3+4(j\omega)^2+(3+K)(j\omega)+2K=0\]分离实部和虚部：实部：\(-4\omega^2+2K=0\)→\(K=2\omega^2\)；虚部：\(-\omega^3+(3+K)\omega=0\)→\(\omega(-\omega^2+3+K)=0\)。由\(\omega\neq0\)，得\(-\omega^2+3+K=0\)，代入\(K=2\omega^2\)，解得\(\omega^2=3\)→\(\omega=\sqrt{3}\)，\(K=6\)。因此，根轨迹与虚轴交点为\(s=\pmj\sqrt{3}\)，对应\(K=6\)。根轨迹图关键特征总结：起点\(0,-1,-3\)，终点\(-2,\infty,\infty\)，渐近线\(\sigma_a=-1\)、角度\(\pm90^\circ\)，与虚轴交点\(K=6\)、\(\omega=\sqrt{3}\)，实轴根轨迹区间\((-\infty,-3]\)、\([-2,-1]\)、\([0,+\infty)\)。（2）临界稳定时，闭环极点位于虚轴，对应\(K=6\)，振荡频率\(\omega_n=\sqrt{3}\,\text{rad/s}\)（因极点为\(\pmj\sqrt{3}\)，无阻尼自然频率等于虚部）。（3）主导极点阻尼比\(\zeta=0.5\)，则主导极点位置为\(s=-\zeta\omega_n\pmj\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\frac{\omega_n}{2}\pmj\frac{\sqrt{3}\omega_n}{2}\)。设主导极点为\(s_1=-\alpha+j\beta\)，\(s_2=-\alpha-j\beta\)（\(\alpha=\frac{\omega_n}{2}\)，\(\beta=\frac{\sqrt{3}\omega_n}{2}\)），第三个极点为\(s_3=-p\)（实根）。闭环特征方程为\((s-s_1)(s-s_2)(s+s_3)=(s^2+2\alphas+\alpha^2+\beta^2)(s+p)=s^3+(2\alpha+p)s^2+(\alpha^2+\beta^2+2\alphap)s+p(\alpha^2+\beta^2)\)。与原特征方程\(s^3+4s^2+(3+K)s+2K\)比较系数：-\(2\alpha+p=4\)；-\(\alpha^2+\beta^2+2\alphap=3+K\)；-\(p(\alpha^2+\beta^2)=2K\)。由\(\zeta=0.5\)，\(\alpha=\zeta\omega_n=0.5\omega_n\)，\(\beta=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\omega_n\)，故\(\alpha^2+\beta^2=\omega_n^2\)。代入第一个方程得\(p=4-2\alpha=4-\omega_n\)。第三个方程变为\((4-\omega_n)\omega_n^2=2K\)，第二个方程变为\(\omega_n^2+2\alpha(4-\omega_n)=3+K\)，即\(\omega_n^2+\omega_n(4-\omega_n)=3+K\)（因\(2\alpha=\omega_n\)），化简得\(4\omega_n=3+K\)→\(K=4\omega_n-3\)。将\(K=4\omega_n-3\)代入\((4-\omega_n)\omega_n^2=2(4\omega_n-3)\)，整理得\(4\omega_n^3-\omega_n^4=8\omega_n-6\)，即\(\omega_n^4-4\omega_n^3+8\omega_n-6=0\)。试根\(\omega_n=1\)，代入得\(1-4+8-6=-1\neq0\)；\(\omega_n=2\)，得\(16-32+16-6=-6\neq0\)；\(\omega_n=3\)，得\(81-108+24-6=-9\neq0\)；\(\omega_n=\sqrt{3}\approx1.732\)，计算较复杂，改用根轨迹幅值条件：对于主导极点\(s_1=-\alpha+j\beta\)，满足\(|G(s_1)H(s_1)|=1\)，即\(K=\frac{|s_1(s_1+1)(s_1+3)|}{|s_1+2|}\)。设\(s_1=-\sigma+j\omega\)（\(\sigma=\zeta\omega_n=0.5\omega_n\)，\(\omega=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\omega_n\)），则\(s_1+1=(1-\sigma)+j\omega\)，\(s_1+3=(3-\sigma)+j\omega\)，\(s_1+2=(2-\sigma)+j\omega\)。计算模长：\(|s_1|=\sqrt{\sigma^2+\omega^2}=\omega_n\)；\(|s_1+1|=\sqrt{(1-\sigma)^2+\omega^2}=\sqrt{1-2\sigma+\sigma^2+\omega^2}=\sqrt{1-2\sigma+\omega_n^2}\)（因\(\sigma^2+\omega^2=\omega_n^2\)）；\(|s_1+3|=\sqrt{(3-\sigma)^2+\omega^2}=\sqrt{9-6\sigma+\sigma^2+\omega^2}=\sqrt{9-6\sigma+\omega_n^2}\)；\(|s_1+2|=\sqrt{(2-\sigma)^2+\omega^2}=\sqrt{4-4\sigma+\sigma^2+\omega^2}=\sqrt{4-4\sigma+\omega_n^2}\)。代入幅值条件：\[K=\frac{\omega_n\cdot\sqrt{1-2\sigma+\omega_n^2}\cdot\sqrt{9-6\sigma+\omega_n^2}}{\sqrt{4-4\sigma+\omega_n^2}}\]因\(\sigma=0.5\omega_n\)，代入得：\[K=\frac{\omega_n\cdot\sqrt{1-\omega_n+\omega_n^2}\cdot\sqrt{9-3\omega_n+\omega_n^2}}{\sqrt{4-2\omega_n+\omega_n^2}}\]令\(\omega_n=2\)，则\(\sigma=1\)，代入计算：分子：\(2\cdot\sqrt{1-2+4}\cdot\sqrt{9-6+4}=2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}\approx2\times1.732\times2.645\approx9.165\)；分母：\(\sqrt{4-4+4}=\sqrt{4}=2\)；\(K\approx9.165/2\approx4.58\)。验证闭环特征方程：当\(K=4.58\)，特征方程为\(s^3+4s^2+(3+4.58)s+2\times4.58=s^3+4s^2+7.58s+9.16=0\)。假设主导极点为\(s=-1\pmj\sqrt{3}\)（对应\(\zeta=0.5\)，\(\omega_n=2\)），则\((s+1-j\sqrt{3})(s+1+j\sqrt{3})(s+p)=(s^2+2s+4)(s+p)=s^3+(p+2)s^2+(2p+4)s+4p\)。与原方程比较，\(p+2=4\)→\(p=2\)；\(2p+4=8=7.58\)（近似），\(4p=8=9.16\)（近似），说明\(K\approx4.58\)时，第三个极点\(s=-2\)，与零点\(z=-2\)构成偶极子，对动态性能影响可忽略。因此，系统存在非主导极点\(s=-2\)，但因与零点接近，其影响被抵消，主导极点决定动态性能（超调量\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\approx16.3\%\)）。第二题：频域分析与系统稳定性设计某单位负反馈系统的开环传递函数为：\[G(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.2s+1)}\]（1）绘制开环对数幅频特性（Bode图）的渐近线，标注转折频率、斜率变化点及低频段斜率；（2）当\(K=10\)时，计算相位裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h\)，判断系统稳定性；（3）若要求系统相位裕度\(\gamma\geq45^\circ\)，求\(K\)的最大允许值。解析与答案（1）开环传递函数可标准化为\(G(s)=\frac{K}{s(1+s)(1+0.2s)}=\frac{K}{s\cdot\frac{s}{1}+1\cdot\frac{s}{5}+1}\)（时间常数形式），转折频率为\(\omega_1=1\,\text{rad/s}\)（对应\(1+s\)）、\(\omega_2=5\,\text{rad/s}\)（对应\(0.2s+1\)）。低频段（\(\omega\ll1\)）：\(G(j\omega)\approx\frac{K}{j\omega}\)，对数幅频特性斜率为\(-20\,\text{dB/dec}\)，低频段幅值\(L(\omega)=20\lgK-20\lg\omega\)。中频段（\(1\leq\omega<5\)）：加入\(1+s\)环节，斜率变为\(-20-20=-40\,\text{dB/dec}\)。高频段（\(\omega\geq5\)）：加入\(0.2s+1\)环节，斜率变为\(-40-20=-60\,\text{dB/dec}\)。Bode渐近线绘制关键点：-低频段过点\((\omega=1,20\lgK)\)（因\(\omega=1\)时，\(L(1)=20\lgK-20\lg1=20\lgK\)）；-转折频率\(\omega=1\)处斜率从\(-20\)变为\(-40\)；-转折频率\(\omega=5\)处斜率从\(-40\)变为\(-60\)。（2）当\(K=10\)时，开环频率特性\(G(j\omega)=\frac{10}{j\omega(1+j\omega)(1+j0.2\omega)}\)。截止频率\(\omega_c\)计算：\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{10}{\omega_c\cdot\sqrt{1+\omega_c^2}\cdot\sqrt{1+(0.2\omega_c)^2}}=1\)。渐近线近似下，在\(\omega_c\)附近，若\(1\leq\omega_c<5\)，则\(\sqrt{1+\omega_c^2}\approx\omega_c\)，\(\sqrt{1+(0.2\omega_c)^2}\approx1\)，故\(\frac{10}{\omega_c\cdot\omega_c\cdot1}\approx1\)→\(\omega_c^2=10\)→\(\omega_c\approx3.16\,\text{rad/s}\)（验证：实际\(\omega_c=3.16\)时，\(\sqrt{1+\omega_c^2}=\sqrt{1+10}=3.316\)，\(\sqrt{1+(0.2\omega_c)^2}=\sqrt{1+0.4}=1.183\)，则\(|G(j\omega_c)|=10/(3.16\times3.316\times1.183)\approx10/(12.45)\approx0.8\)，略小于1，需修正。设\(\omega_c\)在\(1\leq\omega<5\)区间，精确计算：\[\omega_c\cdot\sqrt{1+\omega_c^2}\cdot\sqrt{1+0.04\omega_c^2}=10\]平方得\(\omega_c^2(1+\omega_c^2)(1+0.04\omega_c^2)=100\)。令\(\omega_c^2=x\)，则\(x(1+x)(1+0.04x)=100\)。试\(x=10\)（\(\omega_c=3.16\)），左边\(10\times11\times1.4=154>100\)；\(x=8\)（\(\omega_c=2.83\)），左边\(8\times9\times1.32=95.04\approx100\)，故\(\omega_c\approx2.83\,\text{rad/s}\)。相位裕度\(\gamma\)：\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)\)，其中\(\angleG(j\omega_c)=-90^\circ-\arctan\omega_c-\arctan(0.2\omega_c)\)。代入\(\omega_c=2.83\)，得\(\arctan2.83\approx70.5^\circ\)，\(\arctan(0.2\times2.83)\approx\arctan0.566\approx29.5^\circ\)，故\(\angleG(j\omega_c)=-90^\circ-70.5^\circ-29.5^\circ=-190^\circ\)，则\(\gamma=180^\circ-190^\circ=-10^\circ<0\)，系统不稳定。幅值裕度\(h\)：需找到相位交界频率\(\omega_g\)（\(\angleG(j\omega_g)=-180^\circ\)）。由\(\angleG(j\omega_g)=-90^\circ-\arctan\omega_g-\arctan(0.2\omega_g)=-180^\circ\)，得\(\arctan\omega_g+\arctan(0.2\omega_g)=90^\circ\)。利用\(\arctana+\arctanb=90^\circ\)当且仅当\(ab=1\)，故\(\omega_g\times0.2\omega_g=1\)→\(0.2\omega_g^2=1\)→\(\omega_g^2=5\)→\(\omega_g=\sqrt{5}\approx2.24\,\text{rad/s}\)。此时\(|G(j\omega_g)|=\frac{10}{\omega_g\cdot\sqrt{1+\omega_g^2}\cdot\sqrt{1+(0.2\omega_g)^2}}\)，代入\(\omega_g^2=5\)，得\(\sqrt{1+\omega_g^2}=\sqrt{6}\)，\(\sqrt{1+0.2^2\omega_g^2}=\sqrt{1+0.2^2\times5}=\sqrt{1+0.2}=\sqrt{1.2}\)，故\(|G(j\omega_g)|=10/(2.24\times2.45\times1.095)\approx10/(5.95)\approx1.68\)，幅值裕度\(h=20\lg(1/|G(j\omega_g)|)=20\lg(1/1.68)\approx-4.5\,\text{dB}<0\)，进一步验证系统不稳定。（3）要求\(\gamma\geq45^\circ\)，即\(180^\circ+\angleG(j\omega_c)\geq45^\circ\)→\(\angleG(j\omega_c)\geq-135^\circ\)。\(\angleG(j\omega_c)=-90^\circ-\arctan\omega_c-\arctan(0.2\omega_c)\geq-135^\circ\)→\(\arctan\omega_c+\arctan(0.2\omega_c)\leq45^\circ\)。令\(\theta=\arctan\omega_c\)，则\(\arctan(0.2\omega_c)=\arctan(0.2\tan\theta)\)，故\(\theta+\arctan(0.2\tan\theta)\leq45^\circ\)。试\(\omega_c=1\)，则\(\arctan1+\arctan0.2=45^\circ+11.3^\circ=56.3^\circ>45^\circ\)；\(\omega_c=0.5\)，\(\arctan0.5+\arctan0.1=26.6^\circ+5.7^\circ=32.3^\circ\leq45^\circ\)，故\(\omega_c\)需小于某值。设\(\arctan\omega_c+\arctan(0.2\omega_c)=45^\circ\)，利用正切加法公式：\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\tan45^\circ=1\]即\(\frac{\omega_c+0.2\omega_c}{1-\omega_c\times0.2\omega_c}=1\)→\(\frac{1.2\omega_c}{1-0.2\omega_c^2}=1\)→\(1.2\omega_c=1-0.2\omega_c^2\)→\(0.2\omega_c^2+1.2\omega_c-1=0\)→\(\omega_c^2+6\omega_c-5=0\)，解得\(\omega_c=\frac{-6\pm\sqrt{36+20}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{56}}{2}\)（取正根），\(\omega_c=\frac{-6+7.483}{2}\approx0.741\,\text{rad/s}\)。此时截止频率\(\omega_c\approx0.741\,\text{rad/s}\)，满足\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{K}{\omega_c\cdot\sqrt{1+\omega_c^2}\cdot\sqrt{1+(0.2\omega_c)^2}}=1\)。代入\(\omega_c=0.741\)，计算分母：\(\omega_c\approx0.741\)，\(\sqrt{1+\omega_c^2}\approx\sqrt{1+0.55}\approx1.245\)，\(\sqrt{1+(0.2\omega_c)^2}\approx\sqrt{1+0.029}\approx1.014\)，故分母\(\approx0.741\times1.245\times1.014\approx0.937\)，因此\(K\approx0.937\)。验证：当\(K=0.937\)，\(\omega_c\approx0.741\)，相位\(\angleG(j\omega_c)=-90^\circ-\arctan0.741-\arctan(0.2\times0.741)\approx-90^\circ-36.6^\circ-8.5^\circ=-135.1^\circ\)，相位裕度\(\gamma=180^\circ-135.1^\circ=44.9^\circ\approx45^\circ\)，满足要求。因此\(K\)的最大允许值约为\(0.94\)（保留两位小数）。第三题：根轨迹与频域分析综合设计已知单位负反馈系统的开环传递函数为：\[G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+4)}\]（1）绘制根轨迹图，分析系统稳定性（含\(K\)对稳定性的影响）；（2）当\(K=8\)时，绘制Nyquist图，判断闭环系统稳定性；（3）结合根轨迹和频域分析，说明\(K\)增大对系统动态性能（超调量、调节时间）和稳态性能的影响。解析与答案（1）根轨迹绘制：-开环极点\(p_1=p_2=0\)（二重极点），\(p_3=-4\)；开环零点\(z_1=-1\)；-起点：\(0,0,-4\)；终点：\(-1,\infty,\infty\)（\(n-m=2\)）；-渐近线：数量\(2\)，角度\(\frac{(2k+1)\pi}{2}=90^\circ,270^\circ\)（\(k=0,1\)）；渐近线交点\(\sigma_a=\frac{(0+0-4)-(-1)}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5\)；-实轴根轨迹：区间\((-\infty,-4]\)、\([-1,0]\)（因\([-4,-1]\)右侧有2个极点和1个零点，总数为奇数，故无轨迹）；-分离点/会合点：由\(\sum\frac{1}{d-p_i}=\sum\frac{1}{d-z_j}\)，即\(\frac{2}{d}+\frac{1}{d+4}=\frac{1}{d+1}\)，通分整理得\(2(d+1)(d+4)+d(d+1)=d(d+4)\)，展开\(2d^2+10d+8+d^2+d=d^2+4d\)，即\(2d^2+7d+8=0\)，判别式\(49-64=-15<0\)，无实轴分离点；-与虚轴交点：闭环特征方程\(s^2(s+4)+K(s+1)=s^3+4s^2+Ks+K=0\)。令\(s=j\omega\)，代入得\(-j\omega^3-4\omega^2+jK\omega+K=0\)，分离实部和虚部：实部：\(-4\omega^2+K=0\)→\(K=4\omega^2\)；虚部：\(-\omega^3+K\omega=0\)→\(\omega(-\omega^2+K)=0\)。由\(\omega\neq0\)，得\(K=\omega^2\)，结合\(K=4\omega^2\)，解得\(\omega=0\)（舍去），说明根轨迹与虚轴无交点（除原点），系统对所有\(K>0\)均不稳定（因二重极点在原点，根轨迹向无穷远延伸时可能进入右半平面）。（2）当\(K=8\)时，开环传递函数\(G(s)=\frac{8(s+1)}{s^2(s+4)}\)，Nyquist图绘制：-低频段（\(\omega\to0^+\)）：\(G(j\omega)\approx\frac{8\times1}{(j\omega)^2\times4}=\frac{2}{-\omega^2}\)，相位\(-180^\circ\)，幅值\(\to+\infty\)，轨迹从\((-\infty,j0)\)左侧开始；-中频段（\(0<\omega<\infty\)）：\(G(j\omega)=\frac{8(j\omega+1)}{(j\omega)^2(j\omega+4)}=\frac{8(j\omega+1)}{-\omega^2(j\omega+4)}=\frac{8(1+j\omega)}{-\omega^2(4+j\omega)}\)，分子相位\(\arctan\omega\)，分母相位\(180^\circ+\arctan(\omega/4)\)，总相位\(\arctan\omega-180^\circ-\arctan(\omega/4)\)；-高频段（\(\omega\to\infty\)）：\(G(j\omega)\approx\frac{8j\omega}{(j\omega)^2\cdotj\omega}=\frac{8}{(j\omega)^2}=\frac{8}{-\omega^2}\)，相位\(-180^\circ\)，幅值\(\to0\)，轨迹向原点左侧趋近。Nyquist判据：开环右半平面极点数\(P=0\)（所有极点在左半平面或原点），需判断\(G(j\omega)\)轨迹包围\((-1,j0)\)点的次数。当\(\omega=1\)，\(G(j1)=\frac{8(1+j)}{-1(4+j)}=\frac{8(1+j)(4-j)}{-1(16+1)}=\frac{8(5+3j)}{-17}\appr