2026届高考数学总复习精练册课件：5 1　平面向量的概念及线性运算 基本定理及坐标表示

5.1平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标表示五年高考考点1平面向量的概念及线性运算考点2平面向量基本定理及坐标表示目录三年模拟基础强化练能力拔高练五年高考考点1平面向量的概念及线性运算1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记

=m,

=n,则

=()A.3m-2n

B.-2m+3n

C.3m+2n

D.2m+3nB解析

因为点D在边AB上,且BD=2DA,所以

=2

,即

-

=2(

-

),所以

=3

-2

=3n-2m,故选B.2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则

=

()A.2

-

B.2

-

C.2

+

D.2

+

A解析

∵D为△ABC的边AB的中点,∴

=

(

+

),∴

=2

-

.故选A.3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则

()A.a⊥b

B.|a|=|b|C.a∥b

D.|a|>|b|A解析

由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,

=3

,则

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

A解析

如图,∵

=

+

,

=3

,∴

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.

考点2平面向量基本定理及坐标表示1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=

()A.2

B.3

C.4

D.5D解析

由题意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=

=5,故选D.2.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是

()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)B解析

设a=k1e1+k2e2,k1,k2∈R,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴

无解.B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴

解得

故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=

.解析

由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=

.4.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ

∈R),则

=

.

4解析

建立坐标系如图,

不妨设小正方形网格的边长为1,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),由c=λa+μb,可得

解得λ=-2,μ=-

,∴

=4.5.(2020江苏,13,5分,中)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使

得AP=9,若

=m

+

(m为常数),则CD的长度是

.

或0解析

如图建系,设P(x,y),则

=(-x,-y),

=(4-x,-y),

=(-x,3-y),∵

=m

+

,

∴

解得

又AP=9,∴(8m)2+(9-6m)2=81,∴m=0或m=

,∴P(0,9)或P

.当P的坐标为

时,由点C、D、B三点共线,设

=λ

(λ∈R),由点A、D、P三点共线,设

=μ

+(1-μ)

(μ∈R),因为

=(4,-3),所以

=λ(4,-3)=(4λ,-3λ)①,又

=

,

=(0,-3),所以

=μ

+(1-μ)(0,-3)=

②.由①②可得(4λ,-3λ)=

,所以

解得

则

=

,此时|

|=

.当P的坐标为(0,9)时,点A、C、P均在y轴上,又A、D、P三点共线,则D与C重合,|

|=0.综上,|

|=

或0.一题多解同上面的解法得m=0或m=

,此时P(0,9)或P

.∴直线PA的方程为x=0或y=

x,易得直线BC的方程为

+

=1,当直线PA的方程为y=

x时,由

解得

即D

,∴CD=

=

.当直线PA的方程为x=0时,CD=0.综上,CD=

或0.三年模拟1.(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,

=2

,

=

,则

=

()A.

-

B.

-

C.

-

D.

-

C解析

∵

=2

,∴

=

,∴

=

(

+

)=

+

×

=-

+

(

-

)=

-

.故选C.2.(2024天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为

的是

()A.-(

+

)-(

+

)B.-

-

+

C.(

-

)-

D.

-(

+

)B解析

对于A,-(

+

)-(

+

)=-(

+

+

+

)=-(

+

+

+

)=-

=

,故A不符合题意;对于B,-

-

+

=

-

+

=-

+2

,故B符合题意;对于C,(

-

)-

=

-

-

=

+

+

=

,故C不符合题意;对于D,

-(

+

)=

-0=

,故D不符合题意.故选B.3.(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足

=2

,M是AD的中点,若

=λ

+μ

,则λ+μ=

()A.

B.

C.

D.

C解析

=

(

+

)=

=

+

,所以λ=

,μ=

,则λ+μ=

+

=

.故选C.4.(2025届广东茂名联考,5)如图,O为△ABC内一点,D为BC的中点,

=a,

=b,

=c,则

=

()A.a+

b+

c

B.-a+

b+

cC.a-

b-

c

D.-a-

b-

cB解析

=

+

=

+

+

+

=

+

+

=-a+

b+

c.故选B.5.(2024福建福州质检,3)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量,则

()A.

=-2

B.λμ=-2

C.

=2

D.λμ=2D解析

设2e1+λe2=t(μe1+e2),t∈R,因为e1,e2是两个不共线的向量,所以

解得λμ=2.故选D.6.(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量

=(-1,2),则与

方向相同的单位向量是

()A.

B.

C.

D.

C解析

由题意得,|

|=

=

,则与

方向相同的单位向量为

,即

.故选C.7.(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,5)在△ABC中,D为BC中点,

=λ

,

=

+

,若

=

+

,则λ=

()A.

B.

C.

D.

C解析

因为D为BC中点,所以

=

+

,又

=

+

=

(

+

)+

=

(

+λ

)+

=

[

+λ(

-

)]+

=

+

,所以

解得λ=

.故选C.8.(2025届湖南衡阳二中开学考,2)已知O是△ABC所在平面内一点,且2

=

+

,若

=λ

+μ

,则λ+μ=

()A.

B.

C.

D.

C解析

因为2

=

+

,所以2

-2

=

-

+

-

,即4

=

+

,即

=

+

,又因为

、

不共线,且

=λ

+μ

,所以由平面向量基本定理可得

所以λ+μ=

.故选C.9.(2024湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,

则|c|=

()A.3

B.4

C.

D.

D解析

设c=(x,y),由a∥c及a=(1,2),可得y=2x,由a+c=(1+x,2+y),(a+c)∥b及b=(1,1)可得1+x=2+y,

解得

即c=(-1,-2),所以|c|=

=

.故选D.10.(2025届湖南衡阳一模,12)已知三角形ABC中,E,F是AC边上的中线BD的三等分点,满

足DE=EF=FB,记

=x

+y

,则x+y=

.1解析

如图,

=

=

(

-

)=

-

=

+

(

+

)=

+

-

×

,则

=

+

,所以x=y=

,则x+y=1.1.(2024河北衡水第三次质检,6)如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,E为AD

的中点,F为CO的中点,若

=x

+y

,则x-2y=

()A.1

B.2

C.

D.

B解析

由题可得

=

,

=

=

(

-

)=

-

=

+

,所以

=

-

=

-

=

-

,又因为

=x

+y

,所以

因此x-2y=1-2×

=2.故选B.2.(2024湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的

工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中

心为O,则下列选项中不正确的是

()

A.

·

=

·

B.

·

+

·

=0C.

和

是一对相反向量D.|

-

+

+

-

|=aC解析

A项,因为∠ABC=∠BCD=135°,AB⊥CD,所以

·

-

·

=

·

=0,A正确.B项,因为每条边对应的中心角为45°,所以∠AOB=45°,∠COF=135°,所以

·

+

·

=|

|·|

|cos45°+|

|·|

|cos135°=

|

|2-

|

|2=0,B正确.C项,

和

方向相反,但长度不等,因此不是一对相反向量,C错误.D项,因为

=-

,

=-

,所以|

-

+

+

-

|=|

|=a,D正确.故选C.3.(2024山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则

()A.|2a|>|2a+b|

B.|2a|<|2a+b|C.|2b|<|a+2b|

D.|2b|>|a+2b|D解析

因为|a+b|=|b|和|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=|b|+|b|=2|b|.因为a,b是非零

向量,所以a+b≠b,所以上式中等号不成立,所以|a+2b|<|2b|.故选D.4.(2025届江苏南通期中,7)在▱ABCD中,

=

,

=2

,

=x

+(1-x)

,x∈R.若AP∥MN,则x=

()A.

B.

C.

D.

C解析

因为

=

,

=2

,所以

=

-

=

-

=

+

=

+

,

又AP∥MN,所以有

=λ

=

λ

+

λ

,λ∈R,又

=x

+(1-x)

,所以

解得

故选C.5.(2025届河南部分名校期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2-c2=

28,点O在△ABC所在的平面内,满足

+

+

=0,且cos∠OAC=

,则a()A.有最大值10

B.有最小值10C.有最大值8

D.有最小值8D解析

由a2-b2-c2=28及余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2+28,即bccos∠BAC=-14.

+

+

=

+

(

+

)+

(

+

)=0,因此

=-

,由

、

都为单位向量,得AO平分∠BAC,故cos∠BAC=cos2∠OAC=2cos2∠OAC-1=-

,则bc=-

=18,则a2=28+b2+c2≥28+2bc=28+36=64,当且仅当b=c=3

时,等号成立,即a≥8,故a有最小值8.故选D.6.(2024河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足

+

+

=0,过点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若

=x

,

=y

(xy≠0),则

+

=

()

A.4

B.3

C.2

D.1B解析

因为

+

+

=0,所以G为△ABC的重心,所以

=

(

+

)=t

+(1-t)

=tx

+(1-t)y

,(根据G,D,E三点共线得到)所以tx=

且(1-t)y=

,所以

+

=3,故选B.7.(2024北京首都师大附中开学考,8)在平面直角坐标系xOy中,已知A(

,0),B(1,2),动点P满足

=λ

+μ

,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图形的面积为

(

)A.1

B.2

C.

D.2

C解析

设P(x,y),则

=λ

+μ

=(

λ+μ,2μ)=(x,y),所以

得

由λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],得

即

则所有点P构成的图形如图所示(阴影部分),其面积为S=

×

×2=

.故选C.

8.(2025届湖南长沙雅礼中学入学考,13)已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(3,1),若a∥b,则sin2θ+

sin2θ的值为

.解析

已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(3,1),若a∥b,则有sinθ=3cosθ,∴sin2θ+sin2θ=

=

=

=

.9.(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且

=

+

,则△ACD与△BCD的面积比为

.1∶2解析

由题得5

=2

+

,所以2

-2

=

-3

=

-

-2

=

-2

,所以2

=

-2

,即

=-2(

+

),如图所示,以

,

为邻边作平行四边形ADCE,连接DE,交AC于点O,则

+

=

=2

,所以

=-2(

+

)=-4

=4

,即OD∶BD=1∶4,又△COD和△BCD的高相等,所以S△ACD∶S△BCD=S△ECD∶S△BCD=2S△COD∶S△BCD=2OD∶BD=2∶4=1∶2.小题速解由小题答案的唯一性知,无论△ABC的形状如何,△ACD与△BCD的面积比

为定值,不妨取|CA|=