2026届高考数学总复习精练册课件：9 2　二项式定理

9.2二项式定理五年高考考点1二项展开式中的特定项和特定项的系数考点2二项式系数和与各项系数和目录三年模拟基础强化练能力拔高练创新风向练五年高考考点1二项展开式中的特定项和特定项的系数1.(2024北京,4,4分,易)在(x-

)4的展开式中,x3的系数为

()A.6

B.-6

C.12

D.-12A解析

(x-

)4的展开式的通项为Tk+1=

x4-k(-

)k=(-1)k

,令4-

=3,得k=2,故展开式中x3的系数是(-1)2·

=6,故选A.2.(2024天津,11,5分,易)在

的展开式中,常数项为

.20解析

的展开式的通项为Tk+1=

=32k-6

x12-4k,k=0,1,…,6,令12-4k=0,可得k=3,所以常数项为30

=20.3.(2021上海,6,5分,易)已知二项式(x+a)5的展开式中,x2的系数为80,则a=

.2解析

(x+a)5的展开式的通项为Tk+1=

x5-kak,当k=3时,T4=

a3x2.根据已知条件有

a3=80,解得a=2.4.(2024全国甲理,13,5分,中)

的展开式中,各项系数中的最大值为

.5解析

的展开式中第r+1项的系数为

,由

解得

≤r≤

,又∵r为整数,∴r=8,∴各项系数中的最大值为

=5.5.(2022新高考Ⅰ,13,5分,易)

(x+y)8的展开式中x2y6的系数为

(用数字作答).-28解析

(x+y)8=(x+y)8-

(x+y)8.(x+y)8的展开式的通项为Tk+1=

x8-kyk,令k=6,则T7=

x2y6,令k=5,则T6=

x3y5,所以

(x+y)8的展开式中x2y6的系数为

-

=-28.考点2二项式系数和与各项系数和1.(2024上海,6,4分,易)在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为

.10解析

令x=1,则有(1+1)n=32,即2n=32,解得n=5.(x+1)5的展开式的通项为Tk+1=

·x5-k,令5-k=2,则k=3,∴T4=

x2=10x2.2.(2022浙江,12,6分,中)已知(x+2)·(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=

,a1+a2

+a3+a4+a5=

.8-2解析

由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展

开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=

(-1)3+2

·(-1)2=8.在(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.3.(2021浙江,13,6分,中)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=

;a2+a3+a4

=

.510解析

(x-1)3的展开式的通项为Tk+1=

x3-k(-1)k(k=0,1,2,3),(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=

x4-r(r=0,1,2,3,4).令3-k=3,4-r=3,得k=0,r=1,所以a1=

·(-1)0+

=5.令x=1,则24=1+a1+a2+a3+a4,所以a2+a3+a4=24-a1-1=16-6=10.4.(2020浙江,12,6分,中)设(1+2x)5=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5,则a5=

;a1+a2+a3=

.8051解析

由题意可知a5表示x4的系数,即a5=

·24=80.a1=1,a2=

·2=10,a3=

·22=40,∴a1+a2+a3=51.三年模拟1.(2025届安徽江南十校素质检测,5)已知(1+2x)n的展开式中各项系数的和为243,则该

展开式中的x4项的系数为

()A.5

B.16

C.40

D.80D解析

因为(1+2x)n的展开式中各项系数的和为243,则令x=1,可得(1+2)n=243=35,解得n=5,所以二项式为(1+2x)5,其展开式的通项为Tk+1=

15-k(2x)k

=

2k·x

k,k=0,1,2,3,4,5,令k=4,得x4项的系数为24·

=16×5=80.故选D.2.(2025届北京丰台怡海中学月考,7)已知

的展开式中,常数项为60,则a的值为()A.2

B.±2

C.3

D.±3B解析

的展开式的通项为Tk+1=

·(ax)6-k·

=

·(-1)ka6-k·

,令6-

=0,得k=4,因此,展开式中的常数项为T5=

(-1)4a2=60.则a2=4,a=±2.故选B.3.(2025届湖南长郡中学调研,3)

的展开式中的常数项是

()A.第673项

B.第674项C.第675项

D.第676项D解析

的展开式为Tk+1=

(

)2025-k

=(-2)k·

,令2025-3k=0,解得k=675,此时T676=(-2)675·

,所以

的展开式中的常数项为第676项.故选D.4.(2025届湖南衡阳一模,5)

的展开式中xy的系数为

()A.30

B.-30

C.60

D.-60D解析

=

,其通项为Tk+1=

yk,其中

的通项为

(x2)6-k-m·

=

·x12-2k-3m·(-1)m,令

得m=3.故xy的系数为

·

·(-1)3=-60.5.(2025届江西红色十校联考,4)

(x-1)7的展开式中的常数项为

()A.147

B.-147

C.63

D.-63C解析

二项式(x-1)7的展开式中含x2,x3的项分别为

x2·(-1)5,

x3(-1)4,所以

(x-1)7的展开式中的常数项为2

(-1)5+3

(-1)4=63.故选C.6.(多选)(2024山东临沂期中,10)已知(3x-2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则

()A.a0=210B.a0-a1+a2-a3+…+a10=1C.a0+a2+a4+…+a10=

D.展开式中二项式系数最大的项为第5项AC解析

令x=0,可得a0=210,故A正确;令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a10=(-3-2)10=510①,故B错误;令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a10=(3-2)10=1②,联立①②可得,a0+a2+a4+…+a10=

,故C正确;由题意可知展开式有11项,则第6项的二项式系数最大,故D错误.故选AC.1.(2025届江苏如皋中学质量调研(一),4)已知x∈N*,若122024=13x+y,0≤y<13,则y=()A.1

B.6

C.7

D.12A解析

∵122024=(13-1)2024=

132024-

132023+

132022-…-

·13+1,∴122024=13(

132023-

132022+

132021-…+

13-

)+1,∵x∈N*,122024=13x+y,0≤y<13,∴y=1.故选A.2.(2024浙江宁波鄞州中学期中,4)若227+a既能被9整除又能被7整除,则正整数a的最小

值为

()A.6

B.10

C.55

D.63C解析

因为227=(23)9=89=(1+7)9,所以227+a=

+

71+

72+

73+

74+

75+

76+

77+

78+

79+a=

71+

72+

73+

74+

75+

76+

77+

78+

79+1+a,所以若227+a能被7整除,则1+a=7m(m∈N),故a=7m-1(m∈N),又227=(23)9=89=(9-1)9,所以227+a=

99-

98+

97-

96+

95-

94+

93-

92+

91-

+a=

99-

98+

97-

96+

95-

94+

93-

92+

91-1+a,所以若227+a能被9整除,则-1+a=9n(n∈N),故a=9n+1(n∈N).对于A,若a=6,则由6=9n+1(n∈N)可知n无解,故A错误;对于B,若a=10,则由10=7m-1(m∈N)可知m无解,故B错误;对于C,若a=55,则由55=7m-1(m∈N)和55=9n+1(n∈N)得m=8,n=6,故C正确;对于D,若a=63,则由63=7m-1(m∈N)可知m无解,故D错误.故选C.3.(2025届福建厦门大学附属科技中学期中,7)当n∈N时,将三项式(x2+x+1)n展开,可得到

如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”:(x2+x+1)0=1(x2+x+1)1=x2+x+1(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1……

若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x8的系数为75,则实数a的值为

()A.1

B.-1

C.2

D.-2C解析

由题目中广义杨辉三角的信息可知(x2+x+1)n的展开式中,第k(k∈N)行共有(2k+1)个数,

从左向右第一个数是1,第2个数为k,从第3个数开始是它“头顶”上的数与其前、后两

个数之和,例如第4行的第3个数是10,则10=3+1+6,故由第4行的数为1,4,10,16,19,16,10,

4,1,知第5行的数为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1.故(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+5x+1,所以(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x8的系数为15+30a=75,解得a=2.故选C.4.(2025届重庆大联考,13)在(3-x)n的展开式中,若x2的系数为an(n≥2),则

+

+…+

=

.解析

(3-x)n的展开式的通项为Tk+1=

3n-k(-x)k=

3n-k·(-1)kxk,令k=2,可得x2的系数为

3n-2(-1)2=

3n-2,所以an=

3n-2=

·3n-2,则

=

=

=

-

,则

+

+…+

=

-

+

-

+…+

-

=18-

=

.1.(创新知识交汇)(2025届广东广州三校期中联考,5)古希腊数学家阿基米德的墓碑上

刻着一个圆柱(如图),圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这

个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的

表面积与球的表面积之比为n,则

的展开式中的常数项是()

A.-15

B.-20

C.15

D.20C解析

设球的半径为R,则球的体积为

πR3,圆柱底面积为πR2,高为2R,故圆柱的体积为πR2·2R=2πR3,故m=

=

,又球的表面积为4πR2,圆柱的表面积为2πR2+2πR·2R=6πR2,故n=

=

,故

的展开式的通项为Tk+1=

x6-k(-x-2)k=(-1)k

x6-3k,令6-3k=0,解得k=2,故常数项为T3=(-1)2

=15.2.(新定义理解)(2024吉林期中,8)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余有较

深的研究,设a,b,m(m>0)均为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记

为a≡b(modm),如9和21被6除得的余数都是3,则记9≡21(mod6).若a≡b(mod8),且a=

+

·2+

·22+…+

·220,则b的值可以是

()A.2022

B.2023

C.2024

D.2025D解