2024-2025学年吉林省松原实验高级中学高一（下）期中数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省松原实验高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(3−4i)z=5，则z=(

)A.45−35i B.352.已知平面向量a=(3,−2),b=(1,λ+1)，若a⊥bA.12 B.−13 C.−3.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则(

)A.若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α//β

B.若a⊥α，α⊥β，则a//β

C.若α⊥β，α∩β=a，b⊥a，则b⊥α

D.若a，b为异面直线，a⊥α，α//β，则b不垂直于β5.若{a,b,A.a+b+c，a+b，c B.a−c，a，a+c

C.b+6.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(

)A.1483cm3 B.74cm37.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为(

)A.(15+452)m B.(45+152)m8.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在表面积为283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，则直线PC与AB所成角的余弦值为(

)A.26 B.24 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面α过点P(0,1,1)，其法向量为n=(1,1,2)，则下列点在平面α内的有(

)A.(2,1,0) B.(−1,0,2) C.(2,−1,2) D.(2,3,−1)10.已知z1，z2均为复数，且z2≠0A.若z1z2=0，则z1=0 B.若z1=z2−，则z1+z11.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=1，E，F为线段PD上的点(不包括端点)，则(

)A.AC⊥EF

B.PB//平面AEC

C.二面角E−BD−C的大小为定值

D.AE+CE的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用斜二测画法作出水平放置的正方形ABCD的直观图A′B′C′D′如图所示，则正方形ABCD与直观图A′B′C′D′的周长之比为

．

13.已知圆O的半径为2，AB，CD是圆O的两条直径，若AE=EO，则EC⋅14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，AA1上的点，且AM=AN=1，点P是正方体ABCD−四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a−2b|=|a+b|．

(1)若a与b的夹角为θ16.(本小题12分)

在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a=3ccosB+bsinC．

(1)求角C；

(2)若c=5，且△ABC的面积为217.(本小题12分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=4，E，F分别为AB，A1D1的中点，记AB=a,18.(本小题12分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M=3A1M.

(1)求证：D，B，F19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=2，PC=5，点Q为棱PC上一点．

(1)证明：PA⊥CD；

(2)当点Q为棱PC的中点时，求直线PB与平面BDQ所成角的正弦值；

(3)当二面角P−BD−Q

参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.ABC

11.CD

12.4313.−3

14.215.解：(1)因为|a−2b|=|a+b|，

所以a2−4a⋅b+4b2=a2+2a⋅b+b2，

因为|a|=2，|b|=1，所以a16.解：(1)在△ABC中，3a=3ccosB+bsinC，

由正弦定理可得3sinA=3sinCcosB+sinBsinC，

而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以3sinBcosC=sinBsinC，

因为sinB>0，

可得tanC=3，

又因为C∈(0,π)，

可得C=π3；

(2)c=5，△ABC的面积为23，

可得S△ABC=17.解：(1)因为E，F分别为AB，A1D1的中点，

所以EF=EA+AA1+A1F=−12AB+AA1+12AD=−12a+12b+18.19.解：(1)证明：因为PD=1,CD=2,PC=5，

所以PD2+CD2=PC2，

所以CD⊥PD，

又CD⊥AD，且AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

又PA⊂平面PAD，

所以PA⊥CD．

(2)因为PA=2,AD=PD=1，所以AD2+PD2=PA2，

则PD⊥AD．

由(1)可知PD，AD，DC两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，

当点Q为棱PC的中点时，Q(0,1,12),PB=(1,1,−1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,12)，

设平面BDQ的一个法向量m=(x0,y0,z0)