2024-2025学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=ex+ax在x=0处的切线与直线3x−2y−5=0平行，则实数a=A.−1 B.1 C.12 D.2.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2)，若a与b垂直，则|a|A.5 B.7 C.3 3.函数f(x)=2x3−3x+1的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为A.0 B.1 C.2 D.34.已知平面α的一个法向量为n=(1,1,1)，点M在a外，点N在α内，且MN=(1,−2,−2)，则点M到平面α的距离为(

)A.33 B.3 C.5.函数f(x)=2cos2x+3cos(x−π2)A.[3,4] B.[3,322+1] 6.从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为(

)A.23 B.12 C.257.已知一圆锥的底面半径是1，高为3，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是(

)A.32 B.23 C.8.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的靠近B的三等分点，点F分别为线段DM的中点，点N为线段AF的中点，过点N的平面α与棱AB，AC，AD分别交于O，P，Q，设四面体AOPQ的体积为V′，则V′V的最小值为(

)A.332

B.932

C.364二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10．

B.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是251

C.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B都发生的概率是13．

D.若样本x1，x2，⋯，xn的平均数和方差分别为2和3，则3x1+2，3x10.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，下列命题中正确的是(

)

A.−3和−1是函数y=f(x)的极值点

B.−1是函数y=f(x)的最小值点

C.y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增

D.y=f(x)在x=−311.已知四棱锥S−ABCD的底面为平行四边形，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，M，N分别为侧棱SB，SC上一点，且SB⋅SN=SC⋅SM，若SA=AC=A.BC//平面DMN B.MN⊥平面SAB

C.四棱锥S−ABCD的体积为43 D.点A到平面SBC的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,0,−1)，b=(2,1,1)，则3a+13.已知a>0，b>0，且2a+b=2，则4a+214.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有n(n≥2)个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为P，则当P取到最大值时n的值为______．四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题11分)

已知函数f(x)=lnx+tx2+x．

(1)若函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与直线x+6y−3=0垂直，求实数t的值；

(2)若t=−1，求函数16.(本小题12分)

如图，已知菱形ABCD和等边三角形BCE有公共边BC，点B在线段AE上，BC与DE交于点O，将△BCE沿着BC翻折成△PBC，得到四棱锥P−ABCD．

(1)求证：AD⊥平面POD；

(2)当直线PA与平面ABCD所成角取得最大值时，求平面PBC与平面ABCD夹角的余弦值．17.(本小题12分)

如图，在多面体ABCDEFG中，D，E，F，G四点共面，四边形ABCD为平行四边形，AB=AD=5，CG//BF//AE，且BF=DG=DE=2，AE=CG=1，DG⊥DE．

(1)若平面DEFG与平面ABCD的交线为l，证明：l⊥平面BDF；

(2)求平面BDG与平面BDE18.(本小题12分)

已知函数f(x)=ln(1+ax)−x，其中a≠0．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)当a>1时，设f(x)的两个零点为x1，x2，求证：x参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ABD

10.CD

11.ABC

12.(5,1,−2)

13.4

14.6

15.(1)根据题意知函数f(x)=lnx+tx2+x的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x+2tx+1，

根据题设知f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为6，即f′(1)=2t+2=6，因此t=2；

(2)因为t=−1，函数f(x)=lnx−x2+x的定义域为：

(0,+∞),f′(x)=1x−2x+1=−2x2+x+1x=(2x+1)(1−x)x，

当x∈(1,+∞)，16.解：(1)证明：翻折前，由已知可得，DC//BE，DC=BE，且BE=CE，则四边形BECD为菱形，又三角形BCE为等边三角形，

∴O为BC的中点，∴OD⊥BC，OE⊥BC，

翻折后，OP⊥BC，

∵OP∩OD=O，∴BC⊥平面POD，

在菱形ABCD中，AD//BC，

∴AD⊥平面POD；

(2)由(1)知，BC⊥平面POD，

又∵BC⊂平面ABCD，∴平面POD⊥平面ABCD，

如图，在平面POD中过点O作Oz⊥OD，

又平面POD∩平面ABCD=OD，

∴Oz⊥平面ABCD，

即直线OD，OB，Oz两两垂直，

以O为坐标原点，直线OD，OB，Oz分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

设|BC|=2，则O(0,0,0)，D(3,0,0)A(3,2,0)，B(0,1,0)，C(0,−1,0)，

令P(a,0,b)，其中a2+b2=3，a∈(−3,3)，b∈(0,3],

则AP=(a−3,−2,b)，

平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，

设直线PA与平面ABCD所成角为α，

则sinα=|cos〈AP,n〉|=|b|(a−3)2+(−2)2+b2，

∴sin2α=b2a2−23a+3+4+b2=3−a217.(1)如图，连接AC，EG，因为CG//AE，CG=AE，

所以四边形AEGC为平行四边形，所以AC//EG．

因为AC⊄平面DEFG，EG⊂平面DEFG，所以AC//平面DEFG，

因为AC⊂平面ABCD，平面DEFG∩平面ABCD=l，

所以AC//l．

因为四边形ABCD为平行四边形，AB=AD=5，

所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，所以l⊥BD，

由题意知CD=AD=5,CG=AE=1,DG=DE=2，所以CG2+DG2=CD2，

所以DG⊥CG，AE⊥DE，AE2+DE2=AD2．

因为CG//BF//AE，所以BF⊥DG，BF⊥DE．

因为DG∩DE=D，DG，DE⊂平面DEFG，所以BF⊥平面DEFG．

因为l⊂平面DEFG，所以BF⊥l．

因为BF∩BD=B，BF，BD⊂平面BDF，

所以l⊥平面BDF．

(2)如图，过点G作GH⊥BD，垂足为H，连接HE.取FB的中点M，连接AM，CM．

由(1)知，BF⊥平面DEFG，因为FG，FE⊂平面DEFG，所以BF⊥FG，BF⊥FE．

可知四边形CMFG和四边形AMFE都是矩形，所以CM=GF，AM=EF．

在Rt△CMB和Rt△AMB中，CB=AB，MB=MB，

所以Rt△CMB≌Rt△AMB，所以CM=AM，所以GF=EF．

因为CB=AB=5,BF=2，所以GF=EF=2,BE=BG=22．

因为DG=DE=2，所以△BDE≌△BDG，所以EH⊥BD，

所以∠GHE为二面角G−BD−E的平面角．

因为DG=DE=GF=EF=2，DG⊥DE，所以四边形DEFG是正方形，所以EG=DF=22．

在Rt△BDF中，因为BF=2,DF=22，所以BD=23．

因为BE=BG=22,DG=DE=2，18.(1)当a=2时，f(x)=ln(1+2x)−x，

则f′(x)=21+2x−1，所以f′(0)=1，f(0)=0，

所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x；

(2)因为f(x)=ln(1+ax)−x，x满足1+ax>0，

所以f′(x)=a1+ax−1，

当a>0时，1+ax>0⇒x>−1a，

所以f′(x)=a1+ax−1=−ax+a−11+ax=−a[x−(1−1a)]1+ax，

令f′(x)>0，则−1a<x<1−1a，令f′(x)<0，则x>1−1a，

所以f(x)的单调递增区间为(−1a,1−