江西省鹰潭市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷

学校 姓名 班级 考号 iz1在复平面内对应的点坐标为(13z2z1iz2的虚部为（ B．

D．

1 如图，在VABCPBC上，满足2BPPCOAPBO3BAλBC，则的值为（A．

B．

C．

D．已知αP(223，则cos2α（． B．

D．ytan2x的对称轴方程为（xkπkC．x2k1πk

xkπkD．xkπk

42，侧棱长为

，则该正四棱台的体积为（ B．

C．

D．112的取值范围是（

fxsinxcosx①fx是偶函数②fxxπ③fx的最小值为 ④fx在π,0上不单调其中所有正确结论的编号是（） VABCAB,C的对边分别为abc，若sinB2sinCcosAac

则VABC ． B．

z在复平面内对应的点为Zi为虚数单位，则下列说法正确的是（z1z1z若1z ，则点Z的集合所构成的图形的面积为ii2i3i2025若1ix2pxq0pq 2 fx在区间π5π 6yfxy

向右平移

cosxx 确的是（）ACPBB1PAD1截正方体所得的截面的面积为 PAPBD1APADD1A1

已知向量a1,2,bx,2，且a⊥b，则2ab 设当xθ时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cosθ 边形ABCD是边长为2的正方形，且aADE,aBCF均为正三角形，EF∥CD,EF4，则该木楔子的外接球 zziz

1

izz在复平面内所对应的向量分别是mn，若向量λmn与m2n的夹角为钝角，求实数λ的取记VABC的内角ABC的对边分别为abcab12absin2C3abcosCccosB求VABC若sinAsinB1ab的值 ABCA1B1C1AA1ABCABBCACAA1DBC的中点求证:AC1DBCC1B1ABCDAB50BC

殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OEEF和OF，考虑到整体规划，要求OABEBCFAD上，且EOF90，设BOEα．当tanα1EF为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC的三个内角均小于120时，使得AOBBOCCOA120的点O即为费马点；当VABC有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知VABC的内角ABC所对边分别为abc，且cos2Bcos2C1cos2AP为VABC的费马点．VABC若VABC的面积为3，且c1，求tan∠PBAPBPCz1在复平面内对应的点坐标为(13z113iz2z1i13ii=3+iz23iz2的虚部为1.【详解】由已知OAPAOxAPx0,1 BOBAAOBAxAPBAxABBP1xBAxBP又2BPPCBP

BC， BOBAAO1xBA

xBC，1 则 x 解得 【详解】解：Q角αP(223x2，y r4cosαx21 ytan2xytan2x因此对称轴方程满足2xkπkZxkπkZ xkπkZ【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为O1O2，则O1O2取过正四棱台的轴O1O2ABCDAD4BC848，腰长为

则

4AB2BCAD20所以正四棱台的体积为V122242AB2BCAD20

3

A00B40E1

,G9

2APAB4xx19，

22PEFAPAB最小，最小值为2，PGHAPAB最大，最大值为18，【详解】①fxfxfx是偶函数，①②fπxsinπxcosπxsinxcosxfxfxxπ对称，②③因为f sinxcosx,x2kππ,2kπ πfx

2sinx,x2kπ,2kπ π2sinx,x2kππ,2kπ x2kπ2kππfx1,2 x2kππ2kπ2πfx1,2 fx1,2fx的最小值为1，③ ④xπ0fxsinxcosxsinxcosx2sinxπ 4 令txπysintt5ππ 4 ysint在t3ππ上单调递减，在tπ,π 2 22 fx在π0上不单调，④正确【详解】由sinB2sinCcosA可得sinCA2sinCcosA0,sinCcosAcosCsinA2sinCcosA0cosCsinA3sinCcosA0，故tanA3tanC，tanBtan(AC)

tanA+tanC1tanAtan

1

3tanCtanB

则tanB,tanC同号，故B,C为锐角， 3tanC23，

13tanC

3tanC

B的最大值为π故 1acsinB1ac11ac 3，故面积的最大值为3a

Az13iz1A 对于B中，由复数的几何意义，可得1z 是以半径为1和半径 的圆构成的圆环其中圆环的面积为Sπ(2)2π12πB正确；Ci4ni4n1i4n2i4n30可得ii2i3i20255060i2025i50641iCD中，由复数1ix2pxq0可得复数1ix2pxq0则p1i1i)2且q(1i)(1i)2p2q2，pq4D不正确.f02sinφ1，则sinφ1，且φπ 2π15π，得0ω12ω fx π

5π

π 2sin2x6xπ6x06 0πB 6

π

y

π πfx2sin2x6向左平移6个单位得到函 2sin2x662cos2x，故C正确 2xπ2xπ23πxx4πx4πx

所以cosxxcos4π2xcosπ2x 1 1 π π 因为2sin2x162，所以sin2x164 因为cosπ2xcosπ2xπsin2xπ3 1 6 6 所以cosxx3D正确 AABCDA1B1C1D1ACBDACBB1，BB1BDBBB1BDBDD1B1ACBDD1B1.因为PQ1BC2，AD ，APDQ5，所以等腰梯形APQD的高为32 222所以梯形面积为S 29，所以B错误 C当P为B1C中点时，因为BPB1C，所以BP取得最小值， 此时因为aB1CD1为等边三角形，且边长为 ，PD1B1C，所以PD1也取得最小值，为22 6 2，故C正确DACBD1BD1ACB1PB1CPPHADD1A1HHA1DAHAP，则PAHAPADD1A1成的角tanPAHPH

2AH

2，所以tanPAH

2PBC中点时取”.D正确 ⊥bbx40x4 2222

210故答案为： 25【详解】f(x)＝sinx－2cos

2 2sinx cosx sinφ＝－25

ABEF的垂线，垂足分别为GHDG,CHEG4212222AE2AE2

3AD的中点O，连接AGGD,GOAD，则GO

AGADAGAD2 ABCD的中心O1ABCDEF的中点O2，且所求外接球的球心O在这条直线上，如图.设球ORR2OO2AO2R2OO2EO2 从而OO2OO22，即OOOOOOOO2 当点O在线段O1O2内（包括端点）时，有OO1OO2GO ，得OO1OO2 从而OO1 ，即球心O在线段EF的中点，其半径R2.11 当点O在线段OOOO22OO2OO22，解得OO11 故所求外接球的体积V 32π15．(1)z1（1）zabiabR，zi是实数知b10，即b1，

1

aia1a1)i1 即a10且a10，所以a1，z1i （2）由（1）z1i，则m11n1,1 所以mnm2n0，且λmn与m2n即λ13λ10，且3λ1λ1(2)

2

2C（1）由ab12absin2，得ab12sin2 所以abcosC由正弦定理a2RsinAb2RsinBc得3sinAsinBcosC所以3sinAcosCsinBcosCcosBsinCsinBCsinπA由sinA0，得cosC所以ab

1由sinC01

211所以VABC的面积S1absinC1322 a2b2（2）由余弦定理得abcosCab 化简得a2b2c2设VABC由正弦定理得a2RsinAb2RsinBc所以ab4R2sinAsinB，解得所以2R3

4R2

3所以c2RsinC32

2所以a2b22c2216所以ab2a2b22ab186由ab0，得ab所以ab26

c得

3所以c218sin2C188所以a2b22c2216所以ab2a2b22ab186由ab0，得ab所以ab26 由（1）知cosC1sinC2 所以sinAsinBsinAsinAC1sin2A22 sin2A1122sin2Acos2A 化简得22sin2Acos2A因为sinAsinBsinAsinAC4sinA22cosA2

所以sinAsinB282sin2Acos2A

2sin28 91cos2A21cos2A2sin2 822sin2Acos2A3839 2 2由sinAsinB0，得sinAsin22所以由正弦定理得absinAsinB 17．(1)

2 (2)(3)5（1）

OA1CDBCODA1B，A1BAC1D，ODAC1D，ABBCACDBCAD⊥BCBB1､BCBCC1B1ADBCC1B1ADAC1D，AC1DBCC1B1BCC1B1CCEC1DE由（2）AC1DBCC1B1AC1DBCC1B1C1D，则CEAC1D，∠CAEACAC1D所成的角，在直角aCCD中，令CD1BCaCC=2a，则CD5aCECC1CD2a

在直角aCAE中，sinCAECE 5 5 ACAC1D所成角的正弦值为5 απ18．(1)l

[,]6EF125当BEAF25米时，照明装置费用最低，最低费用为 元（1）在RtaBOERtaAOF中，由BOEAFOα，得OE25OF25OE2OFOE2OF 25)2(25又Rt△EOFEF

因此l

25

25

25(1sinαcosα)，

FD时，此时α的值最小，απE在点C时，此时α的值最大，απ π所以函数关系式为l ，定义域为[,] 6（2）由（1）EF

,tanα1

2EF125

sin2α

（3）依题意，要使费用最低，只需OEOF由（1）

t2

π[,]6OEOF

设sinαcosαt，则sinα

t2

t2

t1t2sin(απ，由

π[,

5παπ7πsin7πsin 6

sin(ππ)

2(1

3)

62，于是31t f(t)t1f(t)t1在(0, 则当t 时，OEOF最小，且最小值为

，此时απ所以当BEAF25米时，照明装置费用最低，最低费用为 元19．(1) 3223（1）由cos2Bcos2C1cos2A，得12sin2B12sin2C112sin2A，即sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理得a2b2c2，所以VABC是直角三角形（2）由（1）Aπb2VABC的面积为S1bcsinA1b1 3，则b3,ab2

2 所以在Rt△ABC中，sinBb 3,sinCc1 BπCπ P为VABC的费马点，得APBBPCCPA2π设PBAθ，则BAPPBCπθBCP在aPAB

sin

sinPABsin

sin(π

,BP

2sin(π

,BP4在△PBC中，由正弦定理得sinCPBsinPCB，则sin 2sin(π

因此

cosθsinθ2sinθ

所以

3，即tanPBA 3 （3）P为VABC的